5 Gebrochen-rationale Funktionen 5.1 Definition

5 Gebrochen-rationale Funktionen5.1 Definition:Eine Funktion f, deren Term f(x) als Bruch Z(x)N(x)von zwei Polynomfunktion Z(x)und N(x) geschrieben werden kann und deren Nennergrad größer als 0 ist,heißt gebrochen-rationale Funktion. Des Weiteren ist eine gebrochen-rationaleFunktion eine Bruchfunktion f(x), die im Nenner mindestens eine Variable xstehen hat. Sie kann Definitionslücken besitzen.Im Folgenden wird die Funktion anhand der Grundfunktion und weiterenBeispielen genauer erläutert:Grundfunktion: 1 x Beispiel: xx²-1 x³x²-1x³x1x-1Abb. 1 Abb. 25.2 Ableitung‘ 1 x² ‘ 1 ∙ 3 ∙ ∙ 2 ∙ 1 3 ∙ 1 Mit Hilfe der Quotientenregel wird dieFunktion abgeleitet und im Anschlussvereinfacht.24

5.3 GrenzwerteDas Verhalten der Funktion im Unendlichen wird untersucht:lim 0lim→ → lim lim 0→→² ∞Der Bruch fällt weg, da sein Nennerunendlich groß wird und der Bruch somit 0.lim lim → → ² 1 ∞Das Verhalten der Funktion gegen die Definitionslücke wird untersucht:Tipp: Einsetzen von Zahlen nahe der Lücke erleichtert suche. ∞ ∞lim→!lim→! ∞lim→ lim→ lim→lim→ ∞ ∞ ∞5.4 NullstellenNullstellen erhält man, wenn man den Zähler der Funktion gleich null setzt undnach x auflöst.Bei einer Normalhyperbel gibt eskeine Nullstellen. Da der Zählerimmer 1 " 0 0 0 (dreifache NST)5.5 AsymptotenEs gibt drei verschiedene Arten von Asymptoten, die eine gebrochen-rationaleFunktion besitzen kann:WaagrechtEine waagrechte Asymptote liegt dann vor, wenn sich die Funktion imUnendlichen einem bestimmten y-Wert annähert. Die Asymptote lässt sichganz einfach aus der Summenform ablesen.25

5.6 Schreibformen der gebrochen-rationalen FunktionDie gebrochen-rationale Funktion kann man in verschiedene Schreibformendarstellen. Jede Schreibform ist für das Herauslesen bestimmter Kriterien gutgeeignet.BruchformBeispiel: (Vorteile: # • Aus der Bruchform kann man die waagrechte Asymptote herauslesen.Beispiel: Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad gibt eskeine waagrechte Asymptote.• Zudem lässt sich die Funktion aus der Bruchform gut ableiten.Beispiel: ) # ∙∙ # ( ∙∙ # ²• Ebenso kann man die Symmetrie überprüfen. * ∙ # # #Beispiel: ( # ³ # Es liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vorSummenformBeispiel: Vorteil: # • Aus der Summenform lässt sich die schräge Asymptote ablesen.Beispiel: + Faktorisierte FormBeispiel:Vorteile: (∙ • Aus der faktorisierten Form kann man die Definitionslückenherausfinden. (Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners.)Beispiel: Nullstellen des Nenners: 1; 1; - . \{1; 1}• Zudem lassen sich die Nullstellen der Funktion herauslesen (Zähler)Beispiel: 027

5.7 Umwandlung der FormenBruchform Faktorisierte FormDer Nenner wird mit Hilfe der Binomischen Formel (in diesem Fall Plus-Minus-Formel) umgeformt, so dass ein Malzeichen zwischen den Faktoren steht. ³² 1 1 ∙ 1Bruchform SummenformUm die Summenform zu erhalten, muss eine Polynomdivision durchgeführtwerden. (Siehe Verfahrensweisen zur Nullstellenbestimmung.) 1 → ÷ 1 ² 1³ 1 ∙ Da ² 1 nicht durch teilbar ist, bleibt derRest stehen.² 1 ² 1Faktorisierte Form BruchformUm die Bruchform zu erhalten, muss man den Nenner ausmultiplizieren. 1 ∙ 1 ³² 1Summenform BruchformUm von der Summenform auf die Bruchform zu kommen muss man denSummanden ohne mit den Nenner des Bruchs (2. Summand) erweitern. ² 1 ∙ 1² 1 ² 1 ³ ²² 1 ² 1Summenform Faktorisierte FormUm von der Summenform auf die Faktorisierte Form zu kommen, wandelt mandie Summenform zunächst in die Bruchform um und dann die Bruchform in dieFaktorisierte Form.28