1 Allgemeines

1 Allgemeines, Verfahrensweisen
1.1 Allgemeines
Definition einer Funktion
Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-Wert genau
einen y-Wert zuordnet. Dem y-Wert, welchem ein x-Wert zugeordnet
wird, nennt man Funktionswert von x oder f(x).
Definition von Definitionsbereich/Definitionsmenge
Der Definitionsbereich enthält alle Zahlen, die man für x in eine Funktion
f(x) einsetzen darf, ohne dass dabei ein ungültiges Ergebnis rauskommt.
Definition von Wertebereich/Wertemenge
Der Wertebereich enthält alle Zahlen, die für f(x) als Ergebnis
rauskommen können.
Definition von Zahlen
ℝ
π
√3
0,5
ℕ: Natürliche Zahlen
ℤ: Ganze Zahlen inklusive N
ℚ: Rationale Zahlen inklusive N und Z
ℝ: Reellen Zahlen inklusive Q, N und Z
ℚ
1
3
3
-2 -5
ℤ
-9
1 13
5 ℕ 4

Arten von Nullstellen
Ein Funktionsterm hat n-verschiedene Nullstellen, dann gilt:
₁ ∙ ₂ ∙ ₃ ∙ … ∙ , wenn eine der Nullstellen
-mal, also 1-mal, 2-mal, 3-mal usw. vorkommt so spricht man von einer -
fachen Nullstelle. ᵢ ᵏ
In der Umsetzung der Nullstellen sieht der Graph dann wie unten gezeigt aus:
1-fache Nullstelle:
ᵢ : Der Graph schneidet die
x-Achse genau einmal.
Bsp.:
Veranschaulichung: siehe blaue Gerade in
der Abbildung rechts.
2-fache Nullstelle:
ᵢ ²: Der Graph berührt die x-
Achse.
Bsp.: ²
Veranschaulichung: siehe roter Graph in
der Abbildung rechts.
3-fache Nullstelle:
ᵢ ³: Der Graph durchsetzt die
x-Achse.
Bsp.: ³
Veranschaulichung: Siehe blauer Graph in
der Abbildung links.
4-fache Nullstelle:
ᵢ ⁴: Der Graph berührt die x-
Achse.
Bsp.: ⁴
Veranschaulichung: Siehe roter Graph in der
Abbildung links.
4

Ordnung von Polstellen und die damit verbundenen Vorzeichenwechsel
Pole sind die Nullstellen des Nenners einer gebrochen-rationalen Funktion
(= Definitionslücken). Die Ordnung einer Polstelle entspricht der Vielfachheit
der Nullstelle.
Bsp.
!$%
!&
! " → Pol 2. Ordnung bei 0
'→ Pol 3. Ordnung bei 3
Um herauszufinden, ob es sich um einen Pol mit oder ohne Vorzeichenwechsel
handelt, kann man sich die Definitionslücke und deren Umgebung genauer
anschauen. Man nähert sich der Polstelle jeweils von links (Schreibweise:
→ 0 0) und rechts ( → 0 + 0) und schaut anschließend, ob der
Funktionswert f(x) gegen +∞ oder ∞ strebt. Allerdings kann man
verallgemeinert sagen, dass Pole gerader Ordnung ohne Vorzeichenwechsel
(also beides mal +∞ oder ∞) sind und Pole ungerader Ordnung mit
Vorzeichenwechsel (also einmal +∞ und einmal ∞).
Um das Verhalten von Graphen bei der Annäherung von an einen Pol zu
beschreiben, gebraucht man die Limesschreibweise:
Verhalten der Funktionen
lim
!→ &
lim
!→ $
! , ! ' , . ..
! ,
1 1 1
, , . . . ∞
1 , 1 , 1
0 ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel
Verhalten der Funktionen
lim
!→ &
lim
!→ $
0 ist ein Pol ohne Vorzeichenwechsel
5
1
1
. . . +∞
! " , ! 2 , . ..
! 3
1
² , 1 1
, . . . +∞
4 5
1
% , 1 1
, . . . +∞
4 5

Parameterverschiebung
1.Schritt: Verschiebung entlang der x-Achse
Die Funktion wird um den Wert 6, entlang der x-Achse, nach rechts
verschoben, wenn 7 kleiner als 0 ist, 7 . Ist der Faktor 7
größer als 0, + 7 , so wird die Funktion um den Wert 7, längs
der x-Achse, nach links verschoben.
2.Schritt: Stauchung/Streckung in x-Richtung
Die Funktion wird in x-Richtung um den Faktor 8 gestreckt bzw.
gestaucht 9 ∙ . Eine Streckung in x-Richtung erfolgt wenn 8
größer als 1 ist. Ist der Wert 8 jedoch kleiner als 1, so erfolgt eine
Stauchung in x-Richtung
3.Schritt: Stauchung/Streckung in y-Richtung
Alle y-Werte der Funktion werden mit dem Faktor 6 multipliziert
6 ∙ . Dadurch wird die Funktion in y-Richtung gestreckt bzw.
gestaucht. Der Graph wird in y-Richtung gestaucht, wenn der Wert
a kleiner als 1 ist. Nimmt a einen größeren Wert als 1 an, so wird
der Graph in y-Richtung gestreckt.
4.Schritt: Spiegelung an der x-Achse
Setzt man vor die Funktion ein Minuszeichen, – , so wird
der Graph an der x-Achse gespiegelt.
5.Schritt: Spiegelung an der y-Achse
Ein Minuszeichen in der Klammer vor dem x der Funktion, ,
spiegelt den Graphen an der y-Achse.
6.Schritt: Verschiebung an der y-Achse
Die Funktion wird um den positiven Faktor ;, + ;, an der y-
Achse nach oben verschoben. Ist der Faktor ; negativ, ;,
so verschiebt er die lineare Funktion um ; an der y-Achse nach
unten.
6

Alle Parameterverschiebungen im Überblick
• , spiegelt den Graphen an der x-Achse
• ,spiegelt den Graphen an der y-Achse
• + ;, verschiebt den Graphen an der y-Achse um ; nach oben
• ;, verschiebt den Graphen an der y-Achse um ; nach unten
• 7 , verschiebt den Graphen in Richtung der x-Achse um 7 nach
rechts
• + 7 , verschiebt den Graphen in Richtung der x-Achse um 7 nach
links
• 6 ∙ , staucht/streckt den Graphen in y-Richtung um den Faktor 6
o für 6 > 1 Streckung in y-Richtung größer als
o für 6 < 1 Stauchung in y-Richtung kleiner als
• 9 ∙ , staucht/streckt den Graphen in y-Richtung um den Faktor 8
o für 8 > 1 Streckung in x-Richtung
o für 8 < 1 Stauchung in x-Richtung
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen werden bestimmt indem man die Funktionsgleichung gleich 0
setzt und dann nach auflößt. Je nachdem wie kompliziert die Funktion ist,
wendet man verschiedene Verfahrensweisen an.
• Einfache Funktionen wie
6 ∙ ² + 9 ∙ auszuklammern
• Quadratischen Funktionen Mitternachtsformel oder Satz von Vieta
• Funktionen dritten Grades
und höher Polynomdivision
• Funktionen mit nur gerad-
zahligem Exponenten wie
6 ∙ 4 + 9 ∙ % + 7 Substitution
Wie man bei den einzelnen Verfahrensweisen vorgeht wird im Kapitel 1.2
Verfahrensweisen genauer erklärt.
7

Symmetrie
Achsensymmetrie:
Bei Achsensymmetrie wird, wie der Name schon sagt, immer von einer Achse
ausgegangen. Diese Achse kann sich irgendwo im Kooridnatensystem befinden,
also auch auf den Achsen des Koordinatensystems. In der Schule wird allerdings
nur die Achsensymmetrie zur y-Achse betrachtet. Eine Achsensymmetrie liegt
vor, wenn:
1. die eine Figur bzw. der Graph mit der/dem gespiegeltem Form
deckungsgleich ist
2. die Winkel gleich groß sind
3. die Strecken gleich lang sind
4. der Umlaufsinn der beiden Figuren gegensätzlich ist
Punktsymmetrie:
Bei der Punktsymmetrie wird von einem Symmetriezentrum ausgegangen an
dem sich einzelne Punkte Spiegeln. Die gespiegelte Form ist um 180° gedreht.
Das Symmetriezentrum, der Punkt an dem die zu spiegelnden Punkte gespiegelt
werden, kann überall im Koordinatensystem liegen, also auch auf dem Ursprung.
In der Schule wird meist nur die Symmetrie zum Punkt P 0/0 geprüft.
Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen
Um das Verhalten im Unendlichen einer Funktion zu bestimmen, reicht es z.B.
die höchste Potenz der Potenzfunktion zu betrachten, da keine andere Potenz
das Ergebnis so stark beeinflussen kann. Das Verhalten im Unendlichen gibt an,
welchem Wert sich die Funktion im betrachteten Bereich annähert. Funktionen
bei denen ein Grenzwert ermittelt werden kann, heißen konvergent. Liegt kein
Grenzwert vor, wird die Funktion als divergent bezeichnet.
Schreibweise:
lim
!→$?
lim
!→&?
lim
!→$?
lim
!→&?
Gesprochen:
„Limes von geht gegen plus/minus unendlich.“
8
+∞
∞

Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion zu erhält man, indem man x und y vertauscht (→
jedes wir zu einem @, jedes @ wird zu einem ). Nun löst man die neu
entstandene Funktion wieder nach @ auf und erhält so die Umkehrfunktion
& . Die Wertemenge von & entspricht der Definitionsmenge von
, genau so ist die Wertemenge von gleich der Definitionsmenge von
& Die Nullstellen der Umkehrfunktion erhält man auf dem üblichen Weg,
man setzt die Funktion gleich Null.
Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, wenn sie entweder nur streng monoton
steigend oder fallend ist, also wenn jeder @-Wert genau einen -Wert besitzt.
Man kann auch die Definitionsmenge so einschränken, dass sie nur in diesem
Bereich streng monoton steigend bzw. fallend und damit in diesem Bereich
umkehrbar ist.
Graphisch ist die Umkehrfunktion & Winkelhalbierenden des 1. Und
3. Quadranten gespiegelt.
dieselbe Funktion wie nur an der
Rechenbeispiel zur Grafik:
% @ + 4
@ % + 4
4 @ %
@ % + 4
@ ±√ + 4 &
Umkehrfunktionen sind
beispielsweise die
Exponentialfunktion und
Logarithmusfunktion oder Wurzelfunktion und Quadratische Funktion.
Abkürzungen zur Steigung einer Funktion
sms: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn gilt:
< % → < %
smf: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn gilt:
< % → > %
9

1.2 Verfahrensweisen
Regeln zur Ableitung
Die Ableitung dient zur Ermittlung von Hoch- und Tiefpunkten (indem man die
Ableitung null setzt). Leitet man die Ableitung nochmals ab, ergibt diese die 2.
Ableitung. Hiermit kann man die Wendepunkte berechnen (ebenfalls die
Gleichung null setzen.)
Potenzfunkion:
Summenregel:
Faktorregel:
Produktregel:
Kettenregel:
Quotientenregel:
10
C
6 ∙ C&
D + E
F D F + E F
7 ∙ D
F 7 ∙ D F
D ∙ E
‘ D‘ ∙ E + E‘ ∙ D
‘
E D
‘ E‘ D ∙ D‘
HD‘ ∙ E
D
E
]– HD ∙ E‘ ]
HE‘ ] %
Die oben vorgestellten Ableitungsregeln sind Methoden, um Funktionen besser
und schneller ableiten zu können, falls sie in der passenden Form (siehe oben)
vorliegen. Gebrochen-rationale Funktionen werden ausschließlich mit der
Quotientenregel abgeleitet.

Aufleiten
1
J
6 ∙ C + 1 + 7
Aufleiten ist das Gegenteil von Ableiten. Die gegebene Funktion ist die
Ableitung von der gesuchten Funktion. Die aufgeleitete Funktion wird
Stammfunktion genannt. Eine Funktion hat mehrere Stammfunktionen, daher
muss ein 7 am Ende der Stammfunktion addiert werden, dass die Verschiebung
in y-Richtung angibt (7 ∈ ℝ).
Das 7 gibt den Funktionsteil der Aufleitung an, der beim Ableiten der Funktion
verloren gegangen ist, da es kein enthält.
Verfahrensweisen zur Nullstellenbestimmung
Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel wird dazu verwendet, quadratische Gleichungen zu
lösen. Hierbei muss man die Gleichung so umstellen, dass auf einer Seite Null
steht. Man muss also die quadratische Gleichung in folgende Allgemeine Form
umwandeln:
L ∙ ² + M ∙ + N 0
Die Zahlen, die anstelle von a, b und c stehen müssen nun einfach abgelesen
werden und in die folgende Formel (Mitternachtsformel) eingesetzt werden:
9 ± O9² 4 ∙ 6 ∙ 7
/%
2 ∙ 6
Dies muss nun ausgerechnet werden. Einmal mit einem „+“ vor der Wurzel und
einmal mit einem „-“ vor der Wurzel. Denn man hat 2 Lösungen für eine
quadratische Gleichung.
Die Wurzel im Zähler der Mitternachtsformel nennt man Diskriminante.
Q 9² 4 ∙ 6 ∙ 7
• Ist die Diskriminante negativ so gibt es keine Nullstellen.
• Ist sie Null gibt es genau eine Nullstelle.
• Ist sie positiv gibt es zwei Nullstellen.
11
C

Satz von Vieta
Eine andere Möglichkeit quadratische Gleichungen zu lösen, ist das Anwenden
des Satzes von Vieta / pq-Formel. Hierbei muss die Gleichung zunächst in
folgende Allgemeine Form gebracht werden:
² + R ∙ + S 0
Hierbei ist zu beachten, dass vor dem x² eine 1 stehen muss. Das heißt, dass
gegebenen falls die Zahl vor ² ausgeklammert werden muss.
Nun müssen die Zahlen die an Stelle von p und q stehen in folgende Formel
eingesetzt werden:
x /%
U
2
± V U
2
12
² W
Zur Kontrolle müssen folgende Bedingungen überprüft werden (Satz von Vieta):
U + %
W ∙ %
Das Einsetzen von p und q in die Formel kann theoretisch auch umgangen
werden, indem man sich im Kopf ein Zahlenpaar durch Probieren heraussucht,
das genau diese beiden Bedingungen (Satz von Vieta) erfüllt.
Substitution
Unter Substitution versteht man in der Mathematik das Ersetzen eines Termes
oder Teile des Termes. Dies ist besonders hilfreich bei der
Nullstellenbestimmung mit mehreren geraden Exponenten in einer Gleichung.
Beispiel:
4 6 % + 5 0 Wir ersetzen % durch Z
Z % 6Z + 5 0 Jetzt kann man die Nullstellen der Funktion mit Z
berechnen
Z 1 ; Z % 5 Anschließend resubstituieren, das heißt Z ²
/% % 1; /4 % 5
/% ± 1; /4 ±√5

Polynomdivision
Die Polynomdivision wird angewendet, wenn man Nullstellen einer Funktion
herausfinden will, die man nicht mit der Mitternachtsformel oder mit dem Satz
von Vieta herausfinden kann. Also Funktionen dritten Grades oder höher.
Zuerst muss man eine Nullstelle durch Ausprobieren herausfinden. Hierbei ist
zu beachten, dass ganzzahlige Nullstellen eines Polynoms immer Teiler des
konstanten Summanden 6 sind.
Im Folgenden soll die Polynomdivision an einem Beispiel gezeigt werden:
+ 3 ∙ + 4
0 ³ + 3 + 4
Durch ausprobieren wird die erste Nullstelle heraus gefunden:
₁ 1 ;6 1 0
Jetzt wird die Polynomdivision durchgeführt wobei gilt:
÷
³ + 3 + 4 ÷ + 1 ² + 4
³ + ²
² + 3
²
4 + 4
4 + 4
0
Vorgehensweise bei einer Kurvendiskussion
Die Kurvendiskussion wird verwendet, um die geometrischen Eigenschaften
eines Graphen der gegebenen Funktion herauszufinden. Dazu verwendet man
folgende Schritte:
1. Schritt: Symmetrie
Wenn die Potenzen eines Graphen nur gerade sind z.B. 4 + 2 ²
ist der Graph achsensymmetrisch. Wenn die Potenzen eines
Graphen nur ungerade sind z.B. 1 + 3 ³ ist der Graph
punktsymmetrisch. Wenn es gerade und ungerade Potenzen geben
sind ist er weder achsen- noch punktsymmetrisch.
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2. Schritt: Verhalten im Unendlichen
Hierbei betrachtet man nur das mit der höchsten Potenz.
Anschließend lässt man dieses gegen + ∞ und ∞ gehen:
• Bei gerader Potenz mit positiven Vorzeichen erhält man immer
das Ergebnis +∞,
• bei negativen Vorzeichen immer – ∞.
• Bei ungerade Potenz mit positiven Vorzeichen verläuft der
Graph bei +∞ nach +∞, bei ∞ verläuft der Graph nach ∞
• Bei ungerade Potenz mit negativen Vorzeichen verläuft der
Graph bei +∞ nach ∞, bei ∞ verläuft der Graph nach +∞
3. Schritt: Nullstellen
In diesem Schritt werden die Nullstellen der gegebenen Funktion
berechnet.
4. Schritt: 1. Ableitung
Die gegeben Funktion wird nach den Ableitungsregeln (siehe
Verfahrenseisen im Allgemeinen Teil) abgeleitet. Anschließend
werden die Nullstellen der Ableitungsfunktion ′ berechnet,
um die Hoch-, Tief- oder Terassenpunkte des Graphen von
herauszufinden.
5. Schritt: 2. Ableitung
Hier wird die Ableitungsfunktion ′ nochmals abgeleitet zu
′′ . Anschließend werden die Nullstellen der 2. Ableitung
berechnet, um die Wendepunkte des Graphen zu ermitteln.
6. Schritt: Zeichnung des Graphen
In diesem Schritt wird der Graph mit den, in den vorherigen
Schritten erworbenen Kenntnissen gezeichnet.
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