3D-Computergrafik Heute Motivation Wie geht das ? 3D - Szene

3D-Computergrafik
Thomas Jung
t.jung@fhtw-berlin.de
Motivation
Theoretisches Fundament für die 3D-
Computergrafik
Voraussetzung für das Verständnis
der Vorlesungen zu 3D-Modellierung
und für die letzte Belegaufgabe
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Repräsentation von
3D-Oberflächen
Punktmenge mit jeweils 3 Koordinaten
Zusammenfassung zu Polygonen
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Heute
Aufbau von Szenen
Geometrische Transformationen
Renderingpipeline
Beleuchtung
Texturierung
Kamera /
Betrachter
Bildschirm
Objekte
Welt
Kamera
Welt
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Wie geht das ?
Teekanne Teekanne
Tülle Deckel
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3D - Szene
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Transformationen
Plazieren Objekte im Raum bezüglich
eines Referenzkoordinatensystems
Transformieren Objektkoordinaten in
einheitliche Weltkoordinaten
Bilden Objekte auf den Bildschirm ab
Ermöglichen Objektbewegungen
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Geometrische
Transformationen
Translation
Tx, Ty, Tz
Skalierung
Rotation
s (einheitlich)
Sx, Sy, Sz
(achsenabhängig)
Winkel plus Achse
(w, Rx, Ry, Rz)
Achtung: Bezugspunkt beachten !
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3D-Rotationsmatrizen
Rotation um x-Achse
Rotation um y-Achse
Rotation um z-Achse
Drehsinn gemäß Rechter-/Linker-Hand-Regel
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β
α
⎡1
⎢
⎢
0
Rotx
( α)
=
⎢0
⎢
⎣0
0 0 0⎤
cosα
− sinα
0
⎥
⎥
sinα
cosα
0⎥
⎥
0 0 1⎦
⎡ cosα
0
⎢
= ⎢
0 1
Rot y ( α)
⎢−
sinα
0
⎢
⎣ 0 0
sinα
0⎤
0 0
⎥
⎥
cosα
0⎥
⎥
0 1⎦
⎡cosα − sinα
0
⎢
= ⎢
sinα
cosα
0
Rotz
( α)
⎢ 0 0 1
⎢
⎣ 0 0 0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
Transformationsarten
Transformationen im 3D-Raum
Rotation
Translation
Scherung
Stauchung
Skalierung
Projektionen auf 2D-Fläche
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Homogene Koordinaten
3D−
Raum
3D−
Raum
Homogen
⎡x
⎤
⎢
y
⎥
⎢ ⎥ ⇒
⎢z
⎥
⎢ ⎥
⎣w⎦
⎡ x ⎤
⎢w
⎥
⎢ ⎥
⎢ y ⎥
⎢w
⎥
⎢ ⎥
⎢
z
⎥
⎢⎣
w⎥⎦
Homogen
⎡x
⎤
⎢
y
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
z ⎥⎦
⇒
⎡x
⎤
⎢
y
⎥
⎢ ⎥
⎢z
⎥
⎢ ⎥
⎣1
⎦
Zur Vereinheitlichung aller
Transformationen
Matrix-Vektor-Multiplikation
w = 0 bedeutet Richtung
Z. B. Beleuchtungsrichtung
x = y = z = w = 0 verboten!
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Weitere Transformationen
Translation
Skalierung
Scherung
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⎡1
⎢
⎢
0
Tran(
Tx,
Ty
, Tz
) =
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0
0
1
0
Tx
⎤
T
⎥
y ⎥
T ⎥ z
⎥
1 ⎦
⎡S
x
⎢
= ⎢
0
Skal(
Sx
, S y , Sz
)
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0
S y
0
0
0
0
S z
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1
⎢
= ⎢
0
Shear(
Shz,
Shy
)
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
Shz
Shy
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦

Transformation von Objekten
Beispiel
( x1
/ y1)
α
( x 3 / y3)
( x2
/ y2)
d x
⎡x′
′ ′
1 x2
x3
⎤ ⎡cosα − sinα
0 d x ⎤ ⎡x1
x2
⎢
′ ′ ′
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
y1
y2
y3⎥
= ⎢
sinα
cosα
0 0
⎥ * ⎢
y1
y2
⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 0
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣ 1 1 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 1 1
Tran ( d ) * Rot
x
( α )
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x
( 3 / 3)
y x ′ ′
( x ′ 2 / y′
2)
Projektionen
x3
⎤
y
⎥
3⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
Bilden 3D-Raum auf Bildebene ab
( x ′ 1 / y′
1)
Orthogonale Projektion Perspektivische Projektion
Perspektivische
Transformation
Berücksichtigung des Abstands
zwischen Objekt und Betrachter
Kameramodell
0 d z
Betrachter im Ursprung
schaut in Richtung der z-Achse
Bildschirm bei (0 0 d)
Strahlensatz:
x’ = x*d/z
y’ = y*d/z
⎡1
0
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
1
0
0
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0
0
1
1
d
0⎤
⎡x
⎤ ⎡x
xd ⎤ ⎡ z ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ yd
0
⎥
⎥ ⎢
y
⎥ = ⎢
y z
* ⎥ = ⎢ ⎥
0⎥
⎢z
⎥ ⎢z
⎥ ⎢ d ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0⎦
⎣1
z
⎦ ⎣ d⎦
⎣ 1 ⎦
0
y’
y
Verkettungen
Kombination mehrerer Transformationen in
einer homogenen Transformationsmatrix
Multiplikationen sind assoziativ
'
''
' ''
= T * P,
P = T * P ⇒ P = ( T * T ) * P
Pi 1 i i 2 i i 2 1 i
( T * T ) * T = T * ( T * T )
1
2
3
1
… aber nicht kommutativ !
∋ T , T : T * T ≠ T * T
1
2
1
2
2
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Parallele Projektion
Keine perspektivischen Effekte
Erhalt der x- und y-Koordinate
z wird auf die Bildebene abgebildet
Größenvergleich am Bildschirm (CAD)
3
2
⎡1
0 0 0⎤
⎡x⎤
⎡x⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
0 1 0 0
⎥ ⎢
y
⎥ = ⎢
y
* ⎥
⎢0
0 0 0⎥
⎢z
⎥ ⎢0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
0 0 1⎦
⎣1⎦
⎣1⎦
1
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Sichtvolumen
Sichtbarer Bereich zwischen Frontplane
und Backplane
Objekte werden an den sechs Flächen des
Sichtvolumens abgeschnitten (Klipping)
Abbildung der Projektionsebene auf den
Bildschirm
Perspektivisches Sichtvolumen
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Wie bekommen die Objekte
ihre Farben ?
Beleuchtung
Lichtquellen
Materialien
Rasterisierung
Polygon wird „ausgemalt“
Texturierung
Oberfläche wird mit Bildern „beklebt“
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Beleuchtungsmodelle
Globales Beleuchtungsmodell
Für Fotorealistische Darstellungen
Emission und Reflexion von Licht in Szenen
Raytracing: Spiegelnde Inter-Objekt-Reflexion
Radiosity: Diffuse Inter-Objekt-Reflexionen
Lokales Beleuchtungsmodell
Für Realzeitanforderungen „Virtual Reality“
Verwendung in OpenGL, VRML, ...
Vernachlässigung von Inter-Objekt-Reflexionen
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Reflexionen
Ambiente Beleuchtung
Sorgt für generelle Szenenaufhellung
Diffuse Beleuchtung
Hebt Profil eines Objektes hervor
Spiegelnde Beleuchtung
Sorgt für Glanzlichter
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Beleuchtung
Lichtquelle
Gerichtetes Licht
Punktlicht
Spotlicht
Materialeigenschaften
Oberflächenausrichtung
(Normale)
Betrachterstandpunkt
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Flächennormale
Eckpunktnormale
Lokales
Beleuchtungsmodell
Augvektor A
Reflektanzvektor
R
Normale N
θ
θ
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Halbvektor H
Lichtvektor
L
Diffuse Beleuchtung
Abhängig vom Winkel zwischen
Lichtvektor und Oberflächennormale
Unabhängig vom Betrachterstandpunkt
Gemäß Lambertschem Gesetz
„Je spitzer der Winkel der Fläche zur Lichtquelle desto
weniger Lichtenergie gelangt auf die Oberfläche“
kd = 0.4 0.55 0.7 0.85 1.0

Ambiente Beleuchtung
Konstant pro Oberfläche
Um zu garantieren, daß Objekt sichtbar ist
Repräsentiert diffuse Inter-Objekt-Reflexion
Genauere Betrachtung im Radiosity-Verfahren
ka = 0.0 0.15 0.3 0.45 0.6
(Diffuse Beleuchtung kd = 0.4)
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Winkel im Modell
Diffuse Reflexion
Zwischen Lichtvektor und Oberflächennormale
Spiegelnde Reflexion
Zwischen Augvektor und Reflektanzvektor
bzw. Halbvektor und Oberflächennormale
α
A B
A*
B
cosα = len(
A)*
len(
B)
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2
8
64
cosα
cos α cos α cos α
Beleuchtete Teekanne
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Spiegelnde Beleuchtung
Abhängig vom Betrachterstandpunkt
Sorgt nur für Glanzlicht
ks bestimmt Intensität (Helligkeit)
„Shininess“ kn bestimmt Fokussierung (Größe)
kn
= 3
5
10
27
200
ks
= 0.
1
0.
25
0.
5
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(Ambiente
Beleuchtung ka=0.1
Diffuse Beleuchtung
kd=0.45)
Beleuchtung nach Phong
a
Augvektor A
Reflektanzvektor
R
d
Normale N
θ
θ
Halbvektor H
Lichtvektor
L
I = k + k * ( L*
N)
+ k ( H * N)
I, ka, kd und ks sind Intensitäten
Bei farbiger Reflexion für R, G und B
Grafikpipeline
CPU
Grafikkarte
Szenenmanagement
Geometrie
Setup
Rasterung
Monitor
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s
k
n

Schattierungsverfahren
Konstante Schattierung
Beleuchtung anhand der Flächennormalen
Alle Pixel erhalten diesen Farbwert
Facettenstruktur wird betont
Gouraud-Schattierung
Beleuchtung anhand der Eckpunktnormalen
Farbwerte der Eckpunkte werden interpoliert
Phong-Schattierung
Nicht zu verwechseln mit Beleuchtungsmodell !
Interpolation der Normalen
Beleuchtung anhand der interpolierten
Normalen pro Pixel
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Schattierung einer Kugel
Ohne Textur
Konstant Gouraud Phong
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Texturierung
Echtzeittexturierung
(Farbtexturen, Bumpmapping)
Fotorealistische Darstellung
(Displacementmapping
Reflectionmapping)
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Schattierung eines Dreiecks
Konstantschattierung
anhand der
Flächennormalen
Gouraudschattierung:
Normale pro Eckpunkt
Interpolation der
Eckpunktfarben
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Phong- Schattierung:
Normale pro Pixel
Rasterung für Gouraud-Schattierung
xstart = xende = x1
dl = (xl – x1) / (yende – ystart)
dr = (xr – x1) / (yende – ystart)
fl = f1
dfl = (fl – fs) / (yende – ystart)
df = (fr – fl) / (xr – xl)
für y von ystart bis yende
f = fl
für x = xstart bis xende
f = f + df
generierePixel(x,y,f)
xstart = xstart + dl
xende = xende + dr
fl = fl + dfl
x
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x1
Farbtexturen
Digitale Rasterbilder
RGBA-Texturen enthalten Transparenzwert
Unterstützung z. B. durch Png-, und Gif-Format
y
yende
ystart
R G B A R G B A R G B A R G B A
R G B A R G B A R G B A R G B A
R G B A
R G B A R G B A R G B A
OpenGL unterstützt Farbtexturen
Breiten und Höhen müssen 2er-Potenzen sein: 2,4,8,16,...
Bildformat nicht Bestandteil von OpenGL
Einlesefunktion muß selbst definiert werden
Texturen belegen Texturspeicher
Auflösung (nicht Kompressionsfaktor) entscheidend !

Texturkoordinaten
Verankerung der Textur
an den Polygonecken
p1, p2, p3
Adressierung der Textur
mit u,v von [0...1]
Bildgröße egal
Interpolation während
der Rasterung
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Abbildung
Polygon Textur
Texturwiederholung
Spart Texturspeicher
Textur
Beschreibung durch
Texturkoordinaten größer eins
0 bis n bedeutet n-malige
Wiederholung
Modulo 1 während der Rasterung
3
t
0
0 s 3
Weitere Texturarten
Farbtexturen
Von OpenGL unterstützt
Bumpmaps
Zunehmend in Renderengines unterstützt
Displacementmaps
Nicht in Echtzeit
Lightmaps
Häufig in 3D-Spielen eingesetzt
Reflektionmapping
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Bumpmapping
Displacement
mapping
Texturierung von Objekten
Explizite Festlegung von Texturkoordinaten
Für alle Polygoneckpunkte
Z. B. durch Modellierwerkzeug
Automatische Generierung
Geometrie bestimmt die Texturkoordinaten
Z. B Spline-Funktionen, glutSolidTeapot();
Mapping-Funktion
Lineares Mapping (OpenGL)
Spherisches Mapping
Zylindrisches Mapping
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Texturtransformationen
Texturtransformationen vor Verwendung der
Koordinaten
(0 4) (4 4)
(0 0) (4 0)
⎡cos
45°
− sin 45°
0 0⎤
⎢
⎥
⎢
sin 45°
cos 45°
0 0
⎥
⎢ 0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 1⎦
Interaktive Manipulation
im Modellierwerkzeug
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Zusammenfassung
Geometrische Transformationen manipulieren
3D-Objekte
Projektionen bilden sie auf Bildschirm ab
Objektfarben über lokales Beleuchtungsmodell
Konstante, Gouraud- oder Phong-Schattierung
um Pixel einzufärben
Gouraud-Schattierung beleuchtet an
Polygonecken
Texturkoordinaten verankern die Bilder
Texturtransformationen ändern die Abbildung der
Textur auf dem Objekt
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