Kurven und Flächen

Kurven und Flächen
Thomas Jung
t.jung@fhtw-berlin.de
Motivation
Die Modellierung von Objekten erfordert die
geeignete Repräsentation der Oberfläche
Je nach Anforderung werden unterschiedliche
Eigenschaften repräsentiert
Geschwungene Formen werden mit Hilfe
von Freiformflächen repräsentiert
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Repräsentationen:
Vor- und Nachteile
Dreiecksstreifen und –fächer
+ Sind effizient zu rendern
+ Ein neuer Eckpunkt pro Dreieck
+ Dreicke sind immer planar
- Kein Konzept von Nachbarschaft
Winged-Edge-Datenstuktur
- Kein Konzept des
umschlossenen Raums
- Hoher Speicherbedarf
Extrusionen (Sweeps)
- Ungenaue Beschreibung
- Schwierig zu deformieren Parametrische
Repräsentationen (NURBS)
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Heute
Oberflächenrepräsentationen
Kontinuierliche Kurven
Bezier-Kurven
Freiformflächen
NURBS
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Oberflächenrepräsentationen
Diskret
Kontinuierlich
Dreiecksstreifen Winged-Edge-
Datenstruktur
Primitivobjekte Extrusion NURBS
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Parametrische Repräsentationen
Zur Beschreibung gekrümmter Kurven
und Flächen
Genaue Beschreibung möglich
Einfache Veränderung der Form
Einsatz in der Modellierung
Niedriger Speicherbedarf
Komplexe Darstellungsalgorithmen
Häufig Konvertierung in Polygonliste
erforderlich
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Beispiel: NURBS
NURBS-Oberfläche
besteht aus Patches
16 Kontrollpunkte pro
Patch
Randkurve beeinflusst
durch 4 Kontrollpunkte
(hauptsächlich !)
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Herleitung von NURBS
Lineare Interpolation
Was sind Kontrollpunkte? ...
Kurvenstücke
Parameter t führt über das Kurvenstück
Vom Kurvenstück zur Kurve
C(1)-Kontinuität an den Übergängen
Höhere Kontinuität
Glattere Übergänge, C(2)-Kontinuität: B-Splines
Von der Kurve zur Fläche
NURBS
Anordnung von Kontrollpunkten
Gebrochen-rationale Interpolationsformeln
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Beispiel: Lineare Interpolation
Kontrollpunkte
P1
t=0
Interpolationsformel
P(t) = (1-t) * P1 + t * P2
Abtastung
For (t = 0; t < 1; t + dt)
Zeichne Linie von P(t) nach P(t + dt)
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P(t)
P(t+dt)
t dt
P2
t=1
Spline-Demo
(Beispiel für gelungene Belegarbeit)
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Kontinuierliche Kurven
Kontrollpunkte
Modellierung bzw. Gestaltung der Kurve
Generierungsvorschrift
Gestalt (z. B. Weichheit) der Kurve
Interpolation oder Approximation
Abtastung mit Parameter
Rendering der Kurve
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Parameter t
Wertebereich von 0 bis 1
Soll Kurve regelmäßig abtasten
t=0
t=1
Px
( t)
= t
Schlecht:
2
Py
( t)
= 1−
t
t=0
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t=1
Px
( t)
= sin( t * 90°
)
Gut:
P ( t)
= cos( t * 90°
)
y

p
Bezier-Approximation
Approximationsformel
r
r−1
p ( t)
= ( 1−
t)
* p ( t)
+ t * p
i
i
r−1
i+
1
( t)
Geometrische Interpretation
1 1
0(
) 4
0
p0
2 1
0 ( 4
p
0
p1
)
p
1 1
1 ( 4
p
3 1
0 ( 4
)
)
p
2 1
1 ( 4
)
0
p2
1 1
2(
4
p
0
p3
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)
(De Castelijau-Repräsentation)
3 2 p0
() 4
3 1 p0
() 4
Kontrollpunkte
Interpolations- und
Approximationsformeln
Lineare Interpolation
Bezier-Approximation
Hermite-Approximation
Spline-Approximation
B-Splines
Beta-Splines
Catmull-Rom-Splines
NURBS
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B-Splines
3 3 p ( )
Idee: Zusammenfügen von
elastischen Metallstreifen („Splines“)
C(2)-kontinuierlich
Kontrollpunkte werden i. d. R. nicht
durchlaufen
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0 4
Unterschiedliche
Approximationsformeln
Bezier-Approximation
Kontrollpunkte beschreiben
konvexe Hülle
Hermite-Approximation
Start- und Endpunkt
Start- und Endrichtung
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Vom Kurvenstück zur Kurve
Lineare Interpolation
Knicke
C(0)-kontinuierlich
Bezier-Approximation
C(1)-kontinuierlich
Wenn P3, P4, P5 auf
einer Geraden
Einmal stetig differenzierbar
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P1
P2
P3
P4
P5 P6
Kubische B-Splines
Vier Kontrollpunkte
Kurvenstück verläuft „zwischen“
mittleren Kontrollpunkten P2 und P3
P3
P2
P1
P4
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P7

B-Splines zusammensetzen
Benachbarte Kurvenstücke haben drei
gemeinsame Kontrollpunkte
C(2)-Kontinuität P3
P2
P1
Duplizieren der Kurvenendpunkte
Werden dann von Kurve durchlaufen
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Generierungsvorschrift -
Wichtige Eigenschaften
Symmetrie bzgl. des Kurvenstücks
k2(t) = k3(1-t) und k1(t) = k4(1-t)
Symmetrie für Enden des Kurvenstücks
k1(0) = k3(0) und k2(1) = k4(1)
Einfluß der Kontrollpunkte
k4(0) = 0 und k1(1) = 0
Interpolation
Wenn k1(t) und k4(t) gleich null
Sonst Approximation
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P4
1 k2( t)
=1−t
P5
k ( t)
= t
0
t
k1
( t)
= k4(
t)
= 0
0 1
B-Splines: Basisfunktionen
1
1
1
1
k =
6
6
6
6
3
3 2
3 2
3
1(
t)
= ( 1−
t)
k2
( t)
= ( 3t
− 6t
+ 4)
k3(
t)
= ( −3t
+ 3t
+ 3t
+ 1)
k4
( t)
t
k2 k3
k1
k4
3
Interpolationsformel für
lineare Interpolation
P1
P ( t)
= k ( t)
* P + k ( t)
* P + k ( t)
* P + k ( t)
* P
1
P2
1
2
1 k2( t)
=1 − t
P3
k1
( t)
= k4
( t)
= 0
0
0 1
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k2 k3
k1
k4
2
P4
3
k ( t)
= t
Spline-Generierungsvorschrift
Gewichtungen ki(t) der Kontrollpunkte
werden Basisfunktionen genannt
P ( t)
= k ( t)
* P + k ( t)
* P + k ( t)
* P + k ( t)
* P
1
1
2
3
t
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B - Splines
Approximationsformel
1 3
k 1(
t)
= ( 1−
t)
6
1 3 2
k2
( t)
= ( 3t
− 6t
+ 4)
6
1 3 2
k3(
t)
= ( −3t
+ 3t
+ 3t
+ 1)
6
1 3
k4
( t)
= t
6
1 3
Qi
( t)
= [ ( 1−
t)
6
3 2
3t
− 6t
+ 4
3 2
− 3t
+ 3t
+ 3t
+ 1
⎡ Pi
⎤
⎢ ⎥
3 ⎢
Pi
+ 1
t ] * ⎥
⎢P
⎥ i+
2
⎢ ⎥
⎣Pi
+ 3 ⎦
3
Q i ( t)
= [ t
2
t t
⎡−
1
⎢
1 3
1]
* ⎢
6 ⎢−
3
⎢
⎣ 1
3
− 6
0
4
− 3
3
3
1
1⎤
⎡ Pi
⎤
0
⎥ ⎢
P
⎥
⎥ i 1
* ⎢ + ⎥ = T * B * Gi
0⎥
⎢P
⎥ i+
2
⎥ ⎢ ⎥
0⎦
⎣Pi
+ 3 ⎦
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2
B-Spline-Basismatrix
3
3
3
4
4
4
4

Weitere Basismatrizen
ß-Splines
Zusätzliche Parameter “tension” und “skew”
(Scharfheit der Kurve)
3
3 2
2
⎡−
2β
⎤
1 2(
β 2 + β1
+ β1
+ β1
) − 2(
β2
+ β1
+ β1
+ 1)
2
⎢ 3
3 2
2 ⎥
1
⎢ 6β1
− 3(
β2
+ 2β1
+ 2β1
) 3(
β 2 + 2β1
) 0⎥
3 2
+ 2 + 4 + 4 + 2 ⎢ 3
3
β
− 6 6(
− )
6
0⎥
2 β1
β1
β1
β1
β1
β1
β1
⎢ 3
2
⎥
⎢⎣
2β1
β 2 + 4(
β1
+ β1
)
2 0⎥⎦
Catmull-Rom-Splines
© Thomas Jung, t.jung@fhtw-berlin.de
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⎡−1
3 − 3 1 ⎤
⎢
⎥
1 ⎢
2 − 5 4 −1
⎥
2 ⎢−1
0 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 2 0 0 ⎦
Von der Kurve zur Fläche
2-stufige Anwendung der B-Spline-
Interpolationsformel
Kurvenstück wird über die Fläche
interpoliert
Interpolation aller vier Kontrollpunkte
jeweils mit Spline-Kurve
Kontrollpunkte
für 9 Patches
Zusammengefügte
Patches
Zusammensetzen von
B-Spline - Patches
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Randstücke mit
verdoppelten
Kontrollpunkten
Zusammenfassung: Kurven
Parameter t von 0 bis 1 zum regelmäßigen
Abtasten von Kurvenstücken
Generierungsvorschrift definiert die Gewichtung
der Kontrollpunkte abhängig von t
Bei Interpolation werden Kontrollpunkte
durchlaufen
Kurve besteht aus mehreren Kurvenstückchen
Bezier-Approximation ist maximal C(1)kontinuierlich
B-Splines bieten C(2)-Kontinuität
Basismatrizen für B-Splines, Catmull-Rom-
Splines und ß-Splines
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Approximationsformel für
Flächen
Q(
t)
= T * M * G
Q(
s,
t)
= T * M * G(
s)
Kurvenstück mit variablen Kontrollpunkten
T ⎡ P ( s)
⎤ 1
⎢ T ⎥
P2
( s)
Q(
s,
t)
= T * M * ⎢ ⎥
⎢ T
P ( s)
⎥
3
⎢ T ⎥
⎢⎣
P4
( s)
⎥⎦
P ( s)
= S * M * H Approximation eines Kontrollpunkts
i
P ( s)
= S
i
T
P ( s)
=
i
* M * [ g i1
g i 2 g i3
T
g i 4 ]
[ g g g g
T ] * M *
i1
i
i 2
⎡ g
⎢
g
Q(
s,
t)
= T * M * ⎢
⎢g
⎢
⎣g
11
21
31
41
i3
g
g
g
g
12
22
32
42
i 4
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g
g
g
g
13
23
33
43
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T
S
g14
⎤ Einsetzen von Pi(s)
g
⎥
24 ⎥ T T
* M * S
g ⎥ 34
⎥
g 44 ⎦
T
Zusammensetzen von
zwei Bezier-Patches
C(1) -Kontinuität
C(0) -Kontinuität

Manipulation von
B-Spline-Flächen
Lokale Kontrolle
Veränderung der
Kontrollpunkte
Ein Kontrollpunkt hat
Einfluß auf maximal
16 Patches
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Nonuniform Rational B-Splines
(NURBS)
Kontrollpunkte in homogenen Koordinaten
Rational durch Division
Homogene Koordinate ist Gewicht des
Kontrollpunkts
Nähe der Kurve zum Kontrollpunkt
NURBS sind invariant auch bezüglich
perspektivischer Transformation
Tiefenerhaltende Perspektivische Projektion der
Kontrollpunkte vor dem Rendering möglich
Repräsentation von Kugeln möglich
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NURBS mit der glu-Bibliothek
nurb = gluNewNurbsRenderer();
gluNurbsProperty(nurb,
GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0);
gluNurbsProperty(nurb, GLU_DISPLAY_MODE,
GLU_FILL);
gluBeginSurface(nurb);
gluNurbsSurface(nurb, nSKnoten, sKnoten,
nTKnoten, tKnoten, sRasterabstand,
tRasterabstand, kontrollpunkte, 4, 4,
GL_MAP2_VERTEX_4);
gluEndSurface(nurb);
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Anordnung der Kontrollpunkte
Uniform (Nonrational) B-Splines
Kontrollpunkte sind gleichmäßig über
Parameterraum verteilt
C2-Kontinuität
Nonuniform (Nonrational) B-Splines
Kontrollpunkte ungleichmäßig verteilt
Kontinuität von C0 bis C2 an Kontrollpunkten
Einsetzen von Kontrollpunkten
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NURBS in Maya
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Zusammenfassung
Polygonlisten
können direkt dargestellt werden
besitzen kein Konzept vom umschlossenen Raum
sind nur schwer zu deformieren
Winged-Edge-Datenstruktur beschreibt Nachbarschaften
Sweeps
Ermöglichen Beschreibung von Flächen und Räumen
Splines
müssen für Echtzeitdarstellung in Polygone transformiert
werden
können leichter bearbeitet werden
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