Geometrische Transformationen Geometrische Transformationen ...

t.jung@fhtw-berlin.de
Heute
Geometrische
Transformationen
Thomas Jung
Repräsentation von 3D-Oberflächen
Aufbau von Szenen
Transformationen im 3D-Raum
Projektionstranformationen
Anwendung in OpenGL
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Motivation
Wie geht das ?
Geometrietransformationen
bilden die Basis für die Computergrafik
sind Bestandteil aller grafischen Systeme
bilden die erste Stufe der Grafikpipeline
Verständnis ist Voraussetzung für alle
weiteren Vorlesungen und Übungen
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Repräsentation von
3D-Oberflächen
Punktmenge mit jeweils 3 Koordinaten
Zusammenfassung zu Polygonen
Aufbau von Szenen
Betrachter
Bildschirm
Welt
Objekte
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Transformationen
Plazieren Objekte im Raum bezüglich
eines Referenzkoordinatensystems
Transformieren Objektkoordinaten in
einheitliche Weltkoordinaten
Bilden Objekte auf den Bildschirm ab
Ermöglichen Objektbewegungen
Transformationsarten
Transformationen im 3D-Raum
Rotation
Translation
Scherung
Stauchung
Skalierung
Projektionen auf 2D-Fläche
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Translation (Verschiebung)
Skalierung
x '= x+
d y'
= y+
x
d y
x'= x∗s
y'
= y∗
x
s y
⎡x⎤
⎡dx⎤
⎡x'
⎤
P = ⎢ ⎥ T = ' =
⎣ y
⎢ ⎥ P ⎢ ⎥
⎦ ⎣ dy ⎦ ⎣y'
⎦
P '= P + T
⎡x'
⎤ ⎡sx
⎢ ⎥ = ⎢
⎣y'
⎦ ⎣ 0
0 ⎤ ⎡x⎤
s
⎥∗⎢
⎥
y ⎦ ⎣y⎦
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x = r ∗cosα
y = r ∗sinα
x'
= x∗cosβ
− y∗sin
β
y'
= x∗sin
β + y∗cosβ
⎡x'
⎤ ⎡cosβ
−sin
β ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ = ⎢
⎥ ∗ x
⎢ ⎥
⎣y'
⎦ ⎣sin
β cosβ
⎦ ⎣y⎦
Rotation
x'
= r ∗cos(
α + β)
= r ∗cosα
∗cosβ
− r ∗sinα
∗sin
β
y'
= r ∗sin(
α + β)
= r ∗cosα
∗sin
β + r ∗sinα
∗cosβ
β
α
Homogene Koordinaten
3D−Raum
Homogen ⎡ x ⎤
⎡x
⎤ ⎢w⎥
⎢
y
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ y
⇒ ⎢ ⎥
⎢z
⎥ ⎢w⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣w⎦
⎢
z
⎥
⎢⎣
w⎥⎦
Homogen
3D−Raum
⎡x⎤
⎡x⎤
⎢
y
⎥
⎢
y
⎥
⇒ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢z
⎥
⎢⎣
z ⎥⎦
⎢ ⎥
⎣1
⎦
Zur Vereinheitlichung aller
Transformationen
Matrix-Vektor-Multiplikation
w = 0 bedeutet Richtung
Z. B. Beleuchtungsrichtung
x = y = z = w = 0 verboten!
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3D-Rotationsmatrizen
Rotation um x-Achse
Rotation um y-Achse
Rotation um z-Achse
⎡1
0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢
0 cosα
− sinα
0
Rot
⎥
x
( α)
=
⎢0
sinα
cosα
0⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 1⎦
⎡ cosα
0 sinα
0⎤
⎢
⎥
= ⎢
0 1 0 0
Rot
⎥
y
( α)
⎢−
sinα
0 cosα
0⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 1⎦
⎡cosα
− sinα
0 0⎤
⎢
⎥
= ⎢
sinα
cosα
0 0
Rot ( α)
⎥
z
⎢ 0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 1⎦
Drehsinn gemäß Rechter-/Linker-Hand-Regel
Weitere Transformationen
Translation
Skalierung
Scherung
⎡1
0 0 Tx
⎤
⎢
⎥
⎢
0 1 0 Ty
Tran(
T
⎥
x,
Ty
, Tz
) =
⎢0
0 1 T ⎥
0
⎢
⎣ 0 0 1
z
⎥
⎦
⎡S
0 0 0⎤
x
⎢
⎥
= ⎢
0 S
y
0 0
Skal(
S
⎥
x,
S
y
, Sz
)
⎢ 0 0 S 0⎥
⎢
⎣ 0 0
z
0
⎥
1⎦
⎡1
0 Shz
0⎤
⎢
⎥
= ⎢
0 1 Shy
0
Shear(
Sh , )
⎥
z
Shy
⎢0
0 1 0⎥
0
⎢
⎣ 0 0 1
⎥
⎦
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Transformation von Objekten
Homogene Transformationen
Beispiel
⎡x′
1
⎢
′
⎢
y1
⎢ 0
⎢
⎣ 1
x′
2
y′
2
0
1
( x 1 / y1)
α
( x 3 / y3)
( x 2 / y2)
x′
3 ⎤ ⎡cosα
− sinα
0
y′
⎥ ⎢
3⎥
= ⎢
sinα
cosα
0
0 ⎥ ⎢ 0 0 1
⎥ ⎢
1 ⎦ ⎣ 0 0 0
Tran ( d x
)*
Rot z
d x
d
x ⎤ ⎡x1
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
y1
*
0 ⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
1 ⎦ ⎣ 1
( α )
( x ′ 3 / y′
3)
( x ′ 2 / y′
2)
x
y
2
2
0
1
x3
⎤
y
⎥
3⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
( x ′ 1 / y′
1)
Zusammenfassen von
Transformationen in einer Matrix
Interpretation von Matrizen
Invertieren von
Transformationsmatrizen
Repräsentation von Orientierungen
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Verkettungen
Was transformieren ?
Kombination mehrerer Transformationen in
einer homogenen Transformationsmatrix
Multiplikationen sind assoziativ
'
''
' ''
P = T * P,
P = T * P ⇒ P = ( T * T )* P
i
( T * T )* T
1
1
2
i
3
i
= T *( T * T )
1
… aber nicht kommutativ !
∋ T , ≠ T
1
T2
: T1
* T2
T2
*
2
2
i
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3
i
1
2
1
i
Alle Punkte eines Objekts innerhalb
eines Koordinatensystems
Ein Koordinatensystems bezüglich
eines anderen Systems
Von A
y
Ry
z
T
x
Rz
Rx
Nach B
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⎡Rx
⎢
⎣ 0
Richtungsvektoren
R
0
y
R
0
z
4x4-Matrix
T ⎤
⎥
1 ⎦

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Bedeutung der Matrixelemente
Bedeutung der Matrixelemente
x
y
z
Rx
Ry
Rz
T
Von A
Nach B
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1
0
1
0
*
1
0
0
0
1
1
0
0
0
*
1
0
0
0
1
1
0
0
1
*
1
0
0
0
0
T
R
T
R
R
R
T
T
R
R
R
R
R
R
R
y
z
y
x
z
y
x
x
z
y
x
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Invertieren von Matrizen
Invertieren von Matrizen
A ist Inverse zu B
Nicht jede Transformation ist invertierbar
Invertierung durch Determinanten- oder
Gauß-Verfahren
Spezielle Methoden für 3D-Transformationen
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
*
−
=
⇒
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= B
A
B
A
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Invertieren von
Transformationsketten
Invertieren von
Transformationsketten
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
*
*
*
)
*
*
*
(
*
)
*
(
*
*
*
)
*
(
)
*
* (
*
)
*
(
1
*
*
)
*
(
1
*
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
T
T
T
T
T
T
B
C
C
B
B
C
B
B
C
B
C
C
C
B
C
B
C
B
C
B
A
A
n
n
L
L
Invertierung der Einzeltransformationen
Umkehrung der Reihenfolge
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Spezielle Inverse
Spezielle Inverse
)
,
,
(
*
)*
,
,
(
)
,
,
(
*
)*
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
S
S
S
z
R
z
R
z
R
y
R
y
R
y
R
x
R
x
R
x
R
z
y
x
z
y
x
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
y
x
z
R
z
R
z
R
y
R
y
R
y
R
x
R
x
R
x
R
T
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
z
R
y
R
x
R
S
S
S
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
Skal
Rot
T
T
T
Tran
T
T
T
Tran
Rot
S
S
S
Skal
Rot
Rot
Rot
Skal
S
S
S
Skal
T
T
T
Tran
T
T
T
Tran
Rot
Rot
Rot
Rot
Rot
Rot
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
α
α
α
α
α
α
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Fehlerquellen
Fehlerquellen
Wechsel des Drehsinns
Rechte-/Linke-Hand-Regel
Transponierte Notation
1x4-Matrix statt Vektor
x
y
z
x
z
y
Links
Rechts
T
T
T
P
T
P
P
P
T
'
*
'
* =
⇔
=
x
y
z
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Rotation/Orientierung
Rotation/Orientierung
Orientierung eines Objekts ist
äquivalent zu Rotation aus Ruhelage
3 Rotationsfreiheiten („Dimensionen“)
Repräsentationen
Rotationsmatrizen
Eulerwinkel
Quaternionen

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Rotationsmatrizen
Interpolation von Orientierungen
Vorteile
Leicht Kombinierbar mit
anderen Transformationsarten
Effizientes Transformieren
großer Punktmengen
Leicht zu invertieren ⎡Rxx
⎢
⎢Rx
y
Nachteile
⎢
Nicht sehr anschaulich
⎣
Rxz
Nicht direkt interpolierbar !
Ry
R
R
R
yx
yy
yz
Rz
Rx
R ⎤
zx
⎥
Rz
y ⎥
R ⎥
zz
⎦
Animierte Objekte ändern Position und
Orientierung
Zwischenwerte durch Interpolation
y
z
x
y
z
x
z
x
y
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Eulerwinkel
Rot ( xr
, yr
, zr
) = Rotz
( zr
)* Rot
y
( yr
)* Rotx
( xr
)
Reihenfolge der Rotationen wichtig!
Gleiche Orientierung durch mehrere Tripel
Schlechte Interpolationseigenschaften
Unnötig „lange“ Pfade
Singularitäten (Gimbal Lock)
Freiheitsgrad geht verloren
Beispiel Rot x ,180°,
z ) = Rot ( z )* Rot (180°)*
Rot ( x )
(
r
r
z r y
x r
Quaternionen
Jede Orientierung durch Rotation
um eine Achse erreichbar
Angabe von Achsel und Winkel
OpenGL: glRotate-Befehl
VRML: rotation-Feld im Transformation-Knoten
⎛ ϖ ϖ ϖ
Einheitsquaternionen
⎜cos
sin *
x
sin * ny
⎝ 2 2 2
Zur Interpolation von Orientierungen
Erweiterung der komplexen Zahlen
Liegen auf „vierdimensionaler Halbkugel“
z
ϖ ⎞
n sin * nz
⎟
2 ⎠
y
x
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Zusammenfassung:
Transformationen in 3D
Objektoberfläche durch Punkte beschreiben
Mehrere Koordinatensysteme sind nötig
Homogene Transformationen zur Vereinheitlichung
Transformation von Punkten innerhalb eines
Systems oder von Systemen ineinander
Matrixmultiplikation ist assoziativ aber nicht
kommutativ
Transformationen im 3D-Raum besitzen Inverse
Invertierung von Transformationsketten kehrt die
Reihenfolge der Einzeltransformationen um
Rotationen auch durch Quaternionen beschreibbar
Projektionen
Bilden 3D-Raum auf Bildebene ab
Orthogonale Projektion
Perspektivische Projektion
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Parallele Projektion
Keine perspektivischen Effekte
Erhalt der x- und y-Koordinate
z wird auf die Bildebene abgebildet
Größenvergleich am Bildschirm (CAD)
⎡1
0
⎢
⎢
0
⎢0
1
0
⎢
⎣0
0
0 0⎤
⎡x⎤
⎡x⎤
0 0
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
y
⎥ = ⎢
y
* ⎥
0 0⎥
⎢z⎥
⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 1⎦
⎣1⎦
⎣1⎦
Perspektivische
Transformation
Berücksichtigung des Abstands
zwischen Objekt und Betrachter
Kameramodell
Betrachter im Ursprung
0 d z
schaut in Richtung der z-Achse
Bildschirm bei (0 0 d)
Strahlensatz:
x’ = x*d/z
y’ = y*d/z
⎡1
0
⎢
⎢
0
⎢0
1
0
⎢
⎣0
0
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0
0
1
1
d
0⎤
⎡x⎤
⎡x
xd
⎤ ⎡ z ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ yd
0
⎥
⎥ ⎢
y
⎥ = ⎢
y z
* ⎥ = ⎢ ⎥
0⎥
⎢z
⎥ ⎢z
⎥ ⎢ d ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0⎦
⎣1
z
⎦ ⎣ d⎦
⎣ 1 ⎦
0
y’
y
Sichtvolumen
Sichtbarer Bereich zwischen Frontplane
und Backplane
Objekte werden an den sechs Flächen des
Sichtvolumens abgeschnitten (Klipping)
Abbildung der Projektionsebene auf den
Bildschirm
Perspektivisches Sichtvolumen
Viewport
Bildspeicher
lineare Adressierung
Fenstersystem
x,y-Koordinaten
y nach unten
Viewport
Koordinaten
im Fenster
...
...
...
...
0 1 2 … 1024
1025 2048
x/y-offset
Fenster
Viewport
5020
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OpenGL-Transformationsmodell
Objektnormalen
Transformierte Normalen
Oberstes
Element
aktiv !!!
MODELVIEW
PROJECTION
VIEWPORT
Objektkoordinaten
Matrixstapel
Aug-/Kamerakoordinaten
Matrixstapel
Normalisierte Gerätekoordinaten
Bildschirmkoordinaten
Matrixstapel
Für effizienten Zugriff auf vorherige
Transformationszustände
Unterstützt hierarchische Szenen
Wahl des aktuellen Matrixstapels
glMatrixMode(GL_MODELVIEW); bzw.
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
Manipulation des Matrixstapels
glPushMatrix(); oberes Element duplizieren
glPopMatrix(); oberes Element löschen
glRotate(…), glTranslate(…), glScale(…), glMultMatrix(…);
oberes Element verändern
glLoadMatrix(…), glLoadIdentity(…); ob. Element setzen
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Projektionstransformation
Bei aktivem PROJECTION-Stapel aufrufen !
OpenGL-Funktionen
glOrtho(left, right, bottom, top, near, far);
glFrustum(left, right, bottom, top, near, far);
Funktionen aus der GLu-Bibliothek
Komfortabler aber schwieriger zu interpretieren
gluOrtho2D(left, right, bottom, top);
gluPerspective(fovy, aspect, near, far);
fovy: vertikales Blickfeld in Grad, aspect: Breite/Höhe
Zusammenfassung (2. Teil)
Projektionen bilden den Raum auf eine Ebene ab
Sie sind deshalb nicht invertierbar
Orthogonale Projektionen für CAD
Perspektivische Verzerrung z. B für Walkthroughs
Der dargestellte Bereich wird durch das
Sichtvolumen (Pyramidenstumpf) begrenzt
OpenGL-Transformationsmodell (Matrixstapel, ...)
VRML-Konzepte zur Transformation von Objekten
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