V11_Daten_Zufall_Wahrscheinlichkeit.pdf

Sommersemester 2013
Didaktik der Grundschulmathematik Di 12-14 Uhr Audimax
V 1 23.04. Arithmetik in der Grundschule – Ziele und
Anfänge
V 2 30.04. Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind
V 07.05. entfällt
V 3 14.05. Erarbeitung des Zahlenraums bis 20
V 4 28.05. Rechnen im Zahlenraum bis 20
V 5 04.06. Halbschriftliches Rechnen
V 6 11.06. Multiplizieren und Dividieren
V 7 18.06. Schriftliche Verfahren des Rechnens
V 8 25.06. Zusammenfassung
V9 02.07. Muster und Strukturen (bis Punkt 3)
V10 09.07. Größen und Messen
V11 16.07. Daten, Zufall, Wahrscheinlichkeit
1

V11 Daten, Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit
• 1 Daten erfassen, darstellen und interpretieren
• 2 Wahrscheinlichkeiten bestimmen
• 3 Typen kombinatorischer Aufgaben
„Beim Sammeln von Daten, Feststellen von Häufigkeiten und
Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten lösen wir unsere
Aufmerksamkeit vom zufälligen Einzelfall und richten sie auf die
Gesamtheit. Diese Gesamtheit und ihre Eigenschaften mit
mathematischen Mitteln zu beschreiben, ist das Ziel.“
(Hasemann, Mirwald, Hoffmann, 2005)
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1 Daten erfassen, darstellen und
interpretieren
• Unter der Überschrift „Daten, Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit“ fordern die
Bildungsstandards (KMK 2004), dass die Kinder
am Ende der Grundschulzeit in der Lage sind,
Daten erfassen und darstellen zu können:
• … in Beobachtungen, Untersuchungen und
einfachen Experimenten Daten sammeln,
strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und
Diagrammen darstellen“ sowie aus diesen
Formaten Informationen entnehmen.
Bildungsstandards Grundschule
3

Unsere Familien
-Stelle Zahlen zu deiner eigenen Familie dar.
-Wähle ein Kind aus deiner Klasse aus. Erkunde Zahlen zu
dessen Familie.
Rechenwege, Kl. 1 (2004)
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Daten erfassen und darstellen
Beispiel: Klassensprecherwahl
-Strichlisten, Tabellen
-Diagramme
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Daten aus grafischen Darstellungen entnehmen
a) Welche von den genannten Sportarten ist am
beliebtesten?
86% richtig gelöst
a) Wie viele Kinder machen keinen Sport?
30% richtig gelöst
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2 Wahrscheinlichkeiten bestimmen
• Die Kinder sollen
– Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in
Zufallsexperimenten vergleichen,
– Grundbegriffe kennen (sicher, unmöglich,
wahrscheinlich)
– Gewinnchancen bei einfachen
Zufallsexperimenten einschätzen (z. B. bei
Würfelspielen)
Bildungsstandards
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Grundvorstellungen zur
Wahrscheinlichkeit
• Subjektive und intuitive kindliche Vorstellungen
zur Wahrscheinlichkeit:
– Das Würfeln einer sechs bei „Mensch ärgere dich
nicht“ ist viel schwerer als das Würfeln einer 3 oder 4.
– Jetzt muss endlich eine sechs fallen, wenn sie schon
mehrfach nicht gewürfelt wurde.
• Die Kinder sollen sich bewusst sein, dass es
Ereignisse gibt, die nicht mit Sicherheit, sondern
nur mit einem gewissen Grad von
Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden können.
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• Wahrscheinlichkeit im klassischen Sinn ist definiert als
das Verhältnis aller günstigen Ereignisse zur Anzahl
aller möglichen Ereignisse. (Laplace 1749-1827)
• So beträgt die Wahrscheinlichkeit bei einem (fairen)
Würfel eine Zahl zu würfeln, die größer als 4 ist, genau
1/3, denn es gibt zwei günstige Ereignisse (5 und 6) bei
insgesamt sechs möglichen.
• Die Häufigkeiten günstiger und möglicher Ereignisse zu
bestimmen, ist oft ein kombinatorisches Problem.
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Wie groß ist die Chance bei
einem Wurf mit zwei Würfeln
gleichzeitig zwei Sechsen zu
bekommen?
-Systematische Anordnung:
Wie oft taucht der
Doppelsechser auf?
-Baumdiagramm: mit zunächst
sechs Verzweigungen (weißer
Würfel 1-6). Jede Verzweigung
könnte sich wiederum
sechsmal verzweigen
(schwarzer Würfel). So erhält
man 36 Enden, wie oben in der
Tabelle (36 Zellen).
Insgesamt gibt es also 6x6
Möglichkeiten
(kombinatorischer Aspekt der
Multiplikation).
Man sieht, die Wahrscheinlichkeit
(Anteil der günstigen Fälle an der
Gesamtheit der möglichen)
beträgt 1 zu 36, also 1/36.
Oder man denkt, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu
würfeln? (1/6) Wie groß ist dann
die Wahrscheinlichkeit zwei
Sechsen zu würfeln: 1/6 x 1/6.
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• ZIELE des Umgangs mit der Wahrscheinlichkeit in der
Grundschule – was sollten GSK lernen:
– Es gibt Ereignisse, die nicht sicher vorhergesagt werden
können.
– Man kann die Vorhersage von Ereignissen qualitativ
einschätzen: Skala von unmöglich bis sicher
(wahrscheinlicher als, weniger wahrscheinlich als, gleich
wahrscheinlich)
– Bei symmetrischen Zufallsgeneratoren kann eine
Gleichverteilung der Ereignisse angenommen werden
(Münze, Würfel).
– Wahrscheinlichkeiten kann man beschreiben über den
Anteil aller günstigen Fälle zu allen möglichen Fällen.
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• Die Chance mit einem Würfel eine gerade Zahl zu
würfeln beträgt 3:6, die Chance, eine sechs zu würfeln
beträgt 1:6.
• Es werden Verhältnisse im Sinne von Anteilen
beschrieben, z. B. 3 von insgesamt 6 möglichen Fällen
sind günstig.
• Wie verändern sich die Chancen, wenn wir die
Spielregeln bei „Mensch ärgere dich nicht“ verändern?
• Würde es einfacher werden, wenn wir bei einer 5, einer 1
einsetzen (heraussetzen) dürfen?
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Beurteilung von Alltagssituationen
• Wie wahrscheinlich sind folgende Sachverhalte?
– Heute ist der 3.07., morgen wird es schneien.
– Beim nächsten Würfeln werde ich eine 6 werfen.
– Wenn ich diese Münze werfe, wird „Zahl“ oben liegen.
– Wenn die Murmel vom Tisch rollt, wird sie auf den Boden fallen.
– Wenn diese Murmel vom Tisch rollt, wird sie zur Zimmerdecke
aufsteigen.
• Auf einem Pappstreifen von unmöglich bis sicher mit
Bleistift markieren, bzw. Gummi um einen Pappstreifen und
darauf eine Perle bewegen, die den Grad der
Wahrscheinlichkeit angibt.
• Kinder erfinden selbst sichere, mögliche, unmögliche
Ereignisse.
Quelle: Schipper,
Handbuch, 2009
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Beurteilung von Experimenten
Wahrscheinlichkeiten von Experimenten können
oft präziser erfasst und begründet werden als
Alltagssituationen.
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Experiment: Ziehen aus einer Urne
• In der Kiste mit den
Bausteinen müssten noch
zwei rote und zwei gelbe
Legosteine sein. Du nimmst
drei Steine mit einem Griff
heraus ohne hinzuschauen.
• Wie wahrscheinlich ist es,
dass
– alle drei Steine rot sind,
– mindestens ein roter Stein
dabei ist,
– zwei rote Steine dabei sind?
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Führen Sie ein Schülergespräch mit
….
Führen Sie Argumente für Ihre
Entscheidung an.
• In diesen Schachteln
liegt jeweils genau ein
roter Legostein, die
anderen sind blau.
• Welche Schachtel
würdest du wählen, um
gute Chancen zu haben,
einen roten Legostein zu
ziehen? Begründe.
• Welche Schachtel
würdest du hier
wählen, um günstige
Chancen zu haben,
einen roten Stein zu
ziehen?
Quelle: Schipper,
Handbuch, 2009
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Klasse 2
• In einem Eimer sind eine
rote, eine blaue und eine
grüne Kugel. Nimm ohne
hinzusehen nacheinander
je eine Kugel heraus, bis du
zwei Kugeln hast.
• Welche Farben können die
beiden Kugeln haben?
a) Du kannst die Lösung
legen, malen oder
schreiben.
• b) Überprüfe deine Lösung
durch Probieren!
Quelle: Hasemann, Mirwald, Hoffmann, 2005
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Experiment: Münzen werfen
• Bei einem kleinen Spiel
für Kinder werden
gleichzeitig zwei
Münzen geworfen:
– Elisa gewinnt, wenn
beide Münzen „Zahl“
zeigen.
– Jonas gewinnt, wenn
beide „Bild“ zeigen.
– Und Erik gewinnt, wenn
einmal „Zahl“ und
einmal „Bild“ kommt.
• Sind die
Gewinnchancen für alle
drei Kinder die
gleichen?
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Experimente mit dem Würfel
Spiele mit einem Würfel
• Gewinnkarten, auf denen steht,
bei welcher Würfelzahl das Kind
einen Punkt gewinnt, z.B.:
– gerade Zahl,
– kleiner als 3,
– ungerade Zahl,
– kleiner als 6,
– eine Primzahl,
– 3 oder 4
• Zunächst Gewinnkarten ziehen,
dann Gewinnkarten auswählen
und die Wahl begründen.
Spiele mit zwei Würfeln
• Gewinnkarten mit der
Augensumme (2, 7, 11, 12 usf.)
• Zunächst ziehen und spielen,
dann überlegen und
diskutieren: Wie oft gibt es die
einzelnen Augensummen,
welche wäre zum Gewinnen
günstiger als andere?
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Der Zugang über relative Häufigkeiten
• „Gesetz der großen Zahlen“
• Es besagt, dass sich mit
wachsender Anzahl von
Versuchen die relative
Häufigkeit eines Ereignisses
seiner (theoretischen)
Eintrittswahrscheinlichkeit
nähert. Die Festlegung der
Gewinnchancen mittels
relativer Häufigkeiten ist
allerdings mühsam.
Experiment: Würfeln mit einem Würfel.
Nach 85 Würfen ist noch keine
Gleichverteilung erreicht.
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3 Typen kombinatorischer Aufgaben
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• Gemüsespieße
(Radieschen, gelber und
grüner Paprika, Tomate)
• Wie viele Möglichkeiten
der Anordnung gibt es?
Welchem Typ entspricht diese Aufgabe (s.
folgende Folien)?
Idee: Elke Binner und
Kollegen, 2011
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Typ 1
• Beim kleinen Eisladen um
die Ecke gibt es vier
Sorten Eis:
• Erdbeere (E), Schokolade
(S), Vanille (V) und Zitrone
(Z).
• Du möchtest einen
Becher mit zwei
verschiedenen Kugeln.
Wie viele
Auswahlmöglichkeiten
hast du?
• Auswählen ohne
Beachtung der
Reihenfolge und ohne
Wiederholung
(Kombination ohne
Wiederholung)
• ES, EV, EZ
• SV, SZ
• VZ
Quelle: Schipper,
Handbuch, 2009
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Typ 2
• Die Kinder kehren wieder
bei dem kleinen Eisladen
mit den 4 Sorten Eis ein.
• Dieses Mal bestellen sie
sich einen Eisbecher mit 3
Kugeln Eis, von denen es
auch mehrere Kugeln von
der gleichen Sorte sein
können. Wie viele
verschiedene
Möglichkeiten gibt es?
• Auswählen ohne
Beachtung der
Reihenfolge und mit
Wiederholung
(Kombination mit
Wiederholung)
Erproben Sie eine
strukturierte Anordnung,
die man auch GSK
bewusst machen könnte,
wenn Sie diese nicht selbst
entdecken.
Quelle: ebenda
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Typ 3
• Im Eisparadies kann sich jeder
seinen Eis-Obst-Becher selbst
zusammenstellen. Man
bekommt ihn entweder mit
Vanilleeis, Schokoladeneis oder
Zitroneneis. Dazu gibt es
Himbeeren, Erdbeeren,
Bananen oder erhitzte Früchte.
Solche Becher gibt es mit
Sahne oder Schokostreusel.
• Kartesisches Produkt als
Grundvorstellung der
Multiplikation (Kreuzprodukt)
3·4·2
• Zur Veranschaulichung eignet
sich ein Baumdiagramm.
• Überlegung: Nacheinander
müssen drei Entscheidungen
getroffen werden: über die
Eissorten mit drei
Wahlmöglichkeiten, die Früchte
mit 4 Möglichkeiten und die
„Zugabe obendrauf“ mit zwei
Möglichkeiten.
Quelle: ebenda
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Autorin: Annika Mette,
Referendariat 2012
• Tom fährt mit seinen Eltern und seinem großen Bruder 10
Tage in den Urlaub. Tom packt seinen Koffer. Er nimmt zwei
Hosen (schwarz + blau), drei Pullover (schwarz + blau + rot)
und zwei Mützen (schwarz + blau) mit. Sein Bruder sagt:
„Ich wette mit dir, dass du es nicht schaffst, jeden Tag eine
andere Kombination anzuziehen.“ Darauf antwortet Tom:
„Das werden wir mal sehen. Lass uns wetten! Wer die Wette
verliert, muss dein und mein Zimmer aufräumen.“ Tom und
sein großer Bruder geben sich die Hand und wetten.
(Kinder bekommen einen Umschlag mit Kleidern, die Tom
mit in den Urlaub nimmt.)
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Typ 4 und 5: Auswahl mit Anordnung
(Variation)
mit und ohne Wiederholung
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Typ 4
• Wie bei Aufgabe 1 möchtet
ihr aus vier Sorten zwei
verschiedene Kugeln
wählen. Dieses Mal kommt
es euch aber auf die
Reihenfolge an, in der ihr
euer Eis esst. Ihr lasst euch
also in das Hörnchen zuerst
euer Lieblingseis füllen und
dann die andere Kugel. Wie
viele Möglichkeiten gibt es,
unter Berücksichtigung der
Reihenfolge Hörnchen mit
verschiedenen Sorten
auszuwählen?
Quelle: ebenda
• Auswählen mit Beachtung
der Reihenfolge ohne
Wiederholung gleicher
Elemente (Variation ohne
Wiederholung)
• Zweistufiger
Entscheidungsprozess:
zunächst kann zwischen vier
Sorten gewählt werden,
dann stehen jeweils nur
noch drei Möglichkeiten zur
Auswahl: 4 · 3 = 12
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• Variation ohne
Wiederholung
• Für das erste Objekt
können wir aus n
Möglichkeiten wählen,
für das zweite nur nach
(n-1), für die folgenden
jeweils eines weniger.
Insgesamt sind es k
Wahlen, die wir treffen
Die Möglichkeiten
ergeben sich also zu:
• n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1) =
n!
n-k!
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Typ 5
• Wie in Aufgabe 2 gibt es
vier verschiedene Eissorten
und du möchtest wieder 3
Kugeln haben. Wie in
Aufgabe 4 möchtest du die
3 Kugeln im Hörnchen in
einer bestimmten
Reihenfolge bekommen. Du
akzeptierst jetzt allerdings
zwei oder drei gleiche
Eissorten. Wie viele
Möglichkeiten gibt es nun?
• Auswählen mit Beachtung
der Reihenfolge mit
Wiederholung gleicher
Elemente (Variation mit
Wiederholung)
• Die Anzahl A aller
Möglichkeiten k Elemente
(k=3Kugeln) aus N
Elementen (4 Sorten) der
Ausgangsmenge
auszuwählen, beträgt
• A = N k , also 4 3 = 64
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Typ 6
• Heute hast du dich
entschieden, von jeder der
4 Eissorten nacheinander
eine Kugel zu essen,
insgesamt also 4 Kugeln.
Allerdings willst du darauf
verzichten, die gleiche Sorte
zweimal zu nehmen. Wie
viele unterschiedliche
Möglichkeiten hast du nun?
• Anordnung von n Elementen
mit Beachtung der
Reihenfolge (Permutation
ohne Wiederholung)
• Die Anzahl aller
Wahlmöglichkeiten beträgt
N!.
• Überlegung: Die 1. Kugel Eis
kann eine der 4 Sorten sein,
die zweite nur noch eine für
3 Sorten, die dritte eine von
2 Sorten. Als letzte Kugel
bleibt nur noch eine Sorte:
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1.
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Beispiel zu kombinatorischem Denken in Klasse 3/4
• Textaufgabe, Kl. 3
• Vivien, Marie und Florian
sind bei einem
Laufwettbewerb in den
Endlauf gekommen. Wer
könnte gewinnen? Wer
könnte den 2. oder 3.
Platz belegen? Überlege
und finde alle
Möglichkeiten des
Einlaufs.
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