3 Vektoren im Koordinatensystem - FOS und BOS

"""!
III) Der Vektor AB ist der Verbindungsvektor der Punkte A und B.
! """! ! ! """! ! !
Es gilt: a+ A B−b
= 0⇒ AB= b−a Aufgaben:
S. 241/16, S. 245/22,23, S. 249/30. S. 251/33
Mündlich: S. 252/38
a !
A
b !
"""!
AB
3.4 Lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren
B
! ! ! ! !
Zwei Vektoren a und b sind linear unabhängig, falls gilt: λ 1a+λ 2b = 0⇔λ 1 =λ 2 = 0.
Daraus ergibt sich:
Zwei Vektoren a und
!
b ! ! !
sind linear abhängig, falls gilt: a = k⋅b mit k ∈R \{0} .
Aufgaben: S. 274/25, S. 275/27a,b, S. 278/34, S. 287/45
! ! ! ! ! ! !
Drei Vektoren a , b und c sind linear unabhängig, falls gilt: λ 1a+λ 2b+λ 3c= 0⇔λ 1 =λ 2 =λ 3 = 0
Das Gleichungssystem mit den Unbekannten 1 λ , 2 λ und 3
(enthält die Vektorkoordinaten) des Gauß-Verfahrens hat dann den Rang 3.
Aufgaben: S. 275/27c – i, 28, 29, S. 287/46, 47
3.5 Determinanten und lineare Gleichungssysteme
3.5.1 Zweireihige Determinanten
λ ist dann eindeutig lösbar. Die Koeffizientenmatrix
Im folgenden soll eine „Lösungsformel“ für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekann-
ten hergeleitet werden.
Allgemeine Form eines derartigen System und seine allgemeine Lösung:
I) a ⋅ x + b ⋅ y = c
1 1 1
II) a ⋅ x + b ⋅ y = c
2 2 2
I) ⋅b−II) ⋅b
2 1
cb − cb
ab 1 2⋅x−ab 2 1⋅ x= cb 1 2 −cb 2 1 ⇔ x=
ab − ab
II) ⋅a−I) ⋅a
1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
ac 1 2−ac 2 1
ab 1 2⋅y−ab 2 1⋅ y= ac 1 2 −ac 2 1 ⇔ y=
ab − ab
1 2 2 1
Definition: Für beliebige Zahlen a, b, c, d heißt
a b
ad − bc = : zweireihige Determinante.
c d
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Setzt man für das allgemeine Gleichungssystem D: = , D x : = , D y : = , so lässt sich die
a b c b a c
2 2
x
allgemeine Lösung kurz schreiben:
D Dy
x = ; y = (Cramersche Regel)
D D
Insbesondere gilt:
1) Ist D ≠ 0,
so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
2 2
2a) Ist D 0 und D ≠ 0 oder (und) D ≠ 0,
so ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
= x
y
- 4 -
2 2