3 Vektoren im Koordinatensystem - FOS und BOS

3. Vektoren im Koordinatensystem
3.1 Ortsvektoren
Im folgenden liege stets ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem zugrunde. Die drei Koordinaten-
achsen verlaufen rechtwinklig zueinander und bilden ein Rechtssystem (Dreifingerregel der rechten Hand).
Eine Verallgemeinerung für Dimensionen größer als 3 ist zwar unanschaulich, aber formal leicht durchführbar.
Im zweidimensionalen Vektorraum (Ebene) hat jeder Vektor 2 Koordinaten, das Koordinatensystem zwei Ach-
sen.
x1
x3
!
Unter dem Ortsvektor eines Punktes A(a;a;a)
1 2 3 versteht man den Vektor a vom Koordinatenursprung
O(0;0;0)
zu A.
Achtung! Ortsvektoren sind keine Vektoren im Sinne von §1, sondern „gebundene Vektoren“.
3.2 Basisvektoren
"! "" !
Die Ortsvektoren e , e und e der Punkte (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1) sind offensichtlich linear unabhängig
""!
1
2
und damit eine Basis des dreidimensionalen Vektorraums. Jeder Ortsvektor von A (a;a;a) lässt sich daher
schreiben als a2
2
. Basisvektoren sind , und
e
""
+ + e 3
"!
⎛a1⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ "! ! " ⎜ ⎟
"! ⎜ ⎟ ""! ⎜ ⎟ ""! ⎜ ⎟
ae 1 1 a3 =
⎜
a2⎟
e1= ⎜
0
⎟
e2=
⎜
1
⎟
e3= ⎜⎜
0
⎟
⎜a⎟ ⎜ 1⎟
⎝ 3 ⎠
0⎟
⎜
⎝ ⎠ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟
Der Nullvektor ist
⎜
0
⎟
.
⎜0⎟ ⎝ ⎠
3.3 Rechenregeln
I)
II)
⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎛a1 ± b1
⎞
! ! ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a± b = a ± b = a ± b
⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 2⎟
⎜a ⎟ ⎜
3 b ⎟ ⎜
3 a3 b ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ± 3 ⎠
⎛a1⎞ ⎛λa1⎞
! ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
λ⋅ a =λ⋅
⎜
a2⎟ =
⎜
λa2⎟
⎜a ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝λa3⎠
3
- 3 -
x2
1 2 3

"""!
III) Der Vektor AB ist der Verbindungsvektor der Punkte A und B.
! """! ! ! """! ! !
Es gilt: a+ A B−b
= 0⇒ AB= b−a Aufgaben:
S. 241/16, S. 245/22,23, S. 249/30. S. 251/33
Mündlich: S. 252/38
a !
A
b !
"""!
AB
3.4 Lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren
B
! ! ! ! !
Zwei Vektoren a und b sind linear unabhängig, falls gilt: λ 1a+λ 2b = 0⇔λ 1 =λ 2 = 0.
Daraus ergibt sich:
Zwei Vektoren a und
!
b ! ! !
sind linear abhängig, falls gilt: a = k⋅b mit k ∈R \{0} .
Aufgaben: S. 274/25, S. 275/27a,b, S. 278/34, S. 287/45
! ! ! ! ! ! !
Drei Vektoren a , b und c sind linear unabhängig, falls gilt: λ 1a+λ 2b+λ 3c= 0⇔λ 1 =λ 2 =λ 3 = 0
Das Gleichungssystem mit den Unbekannten 1 λ , 2 λ und 3
(enthält die Vektorkoordinaten) des Gauß-Verfahrens hat dann den Rang 3.
Aufgaben: S. 275/27c – i, 28, 29, S. 287/46, 47
3.5 Determinanten und lineare Gleichungssysteme
3.5.1 Zweireihige Determinanten
λ ist dann eindeutig lösbar. Die Koeffizientenmatrix
Im folgenden soll eine „Lösungsformel“ für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekann-
ten hergeleitet werden.
Allgemeine Form eines derartigen System und seine allgemeine Lösung:
I) a ⋅ x + b ⋅ y = c
1 1 1
II) a ⋅ x + b ⋅ y = c
2 2 2
I) ⋅b−II) ⋅b
2 1
cb − cb
ab 1 2⋅x−ab 2 1⋅ x= cb 1 2 −cb 2 1 ⇔ x=
ab − ab
II) ⋅a−I) ⋅a
1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
ac 1 2−ac 2 1
ab 1 2⋅y−ab 2 1⋅ y= ac 1 2 −ac 2 1 ⇔ y=
ab − ab
1 2 2 1
Definition: Für beliebige Zahlen a, b, c, d heißt
a b
ad − bc = : zweireihige Determinante.
c d
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Setzt man für das allgemeine Gleichungssystem D: = , D x : = , D y : = , so lässt sich die
a b c b a c
2 2
x
allgemeine Lösung kurz schreiben:
D Dy
x = ; y = (Cramersche Regel)
D D
Insbesondere gilt:
1) Ist D ≠ 0,
so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
2 2
2a) Ist D 0 und D ≠ 0 oder (und) D ≠ 0,
so ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
= x
y
- 4 -
2 2

2b) Ist D 0 und D = 0 und D = 0,
so ist das Gleichungssystem zwar lösbar, aber nicht eindeutig.
= x
3.5.2 Dreireihige Determinanten
y
Die Cramersche Regel gilt auch für Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, falls man defi-
a1 niert: a2 a
b1 b2 b
c1
c2 c
b2 = a1⋅ b3 c2 a2 −b1⋅ c3 a3 c2 a2
+ c1⋅
c3 a3
b2
b3
3 3 3
I) a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = d
1 1 1
Lautet das Gleichungssystem II) a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = d , so definiert man analog 3.5.1
a b c
1 1 1
D: = a b c , D : d b c
2 2 2
a b c
3 3 3
2 2 2
III) a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = d
d b c
1 1 1
x = 2 2 2 ,
d b c
3 3 3
x
und es ergibt sich
D D
x = ; y
D D
3 3 3 3
y
z
= ;
a d c
1 1 1
y = 2 2 2 ,
D : a d c
D
z = .
D
a d c
1
3 3 3
2
a b d
1 1 1
D : a b d
z = 2 2 2
a b d
3 3 3
Die Berechnung dreireihiger Determinanten erleichtert die Regel von Sarrus:
3 1 −2
3 1
Beispiel:
−1 5 3 − 1 5 = 3⋅5⋅ 7+ 1⋅3⋅ 4 + ( −2) ⋅( −1) ⋅( −2) −( −2) ⋅5⋅4−3⋅3 ⋅( −2) −1 ⋅( −1) ⋅ 7 = 178
4 −2 7 4 −2
Aufgaben: Übungsblatt Aufgabe 1
3.5.3 Lineare Unabhängigkeit
⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎛c1⎞ ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟
Die Vektoren a =
⎜
a2⎟
, b =
⎜
b2
⎟
und c =
⎜
c2⎟
sind linear unabhängig, falls das Gleichungssystem
⎜a⎟ ⎜
⎝ 3 ⎠ b ⎟ ⎜
⎝ 3 ⎠ c ⎟
⎝ 3 ⎠
I) a ⋅λ + b ⋅λ + c ⋅λ = 0
1 1
1 2 1
2 1 2 2 2
3 1 3 2 3
3
II) a ⋅λ + b ⋅λ + c ⋅λ = 0 eindeutig lösbar ist ( λ =λ =λ = ).
III) a ⋅λ + b ⋅λ + c ⋅λ = 0
3
3
a b c
1 1 1
Dann gilt für die Determinante D: = a b c ≠ 0.
2 2 2
a b c
3 3 3
1 2 3 0
⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎛c1⎞ ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟
Andererseits sind die Vektoren a =
⎜
a2⎟
, b =
⎜
b2
⎟
und c =
⎜
c2⎟
sind linear abhängig, falls D = 0 gilt (Fall
⎜a⎟ ⎜
⎝ 3 ⎠ b ⎟ ⎜
⎝ 3 ⎠ c ⎟
⎝ 3 ⎠
2b) aus 3.5.1. Fall 2a) kann nicht auftreten.
Aufgaben: Übungsblatt, S. 275/27c – i, 28, 29, S. 287/46, 47
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