4. Kombinatorik - FOS und BOS

4. Kombinatorik
4.1 Ziehen aus Urne
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Abzählmethoden. Ihre Ergebnisse werden für die Ermittlung von
Laplace-Wahrscheinlichkeiten benötigt, da hier mit Mächtigkeiten (Anzahlen) von Mengen (Ergebnisraum,
Ereignisse) gerechnet werden muß. Als Musterexperiment dient das Ziehen von gut gemischten Kugeln aus
einer Urne. Andere Zufallsexperimente lassen sich dann auf ein Ziehexperiment zurückführen.
4.2 Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge (Variationen)
Alle n Kugeln seien unterscheidbar. Es wird nacheinander gezogen und nach jeder Ziehung wird die
entnommene Kugel wieder zurückgelegt. Jede Kugel kann also öfter gezogen werden. Werden k Ziehungen
durchgeführt, so gibt es bei jeder Ziehung n Möglichkeiten und damit (vgl. Baumdiagramm)
für die erste Ziehung n Möglichkeiten
für die ersten 2 Ziehungen n 2 Möglichkeiten
für die ersten 3 Ziehungen n 3 Möglichkeiten
für die ersten 4 Ziehungen n 4 Möglichkeiten
für alle k Ziehungen n k Möglichkeiten
Ergebnis: Bei k Ziehungen mit Zurücklegen bei n Kugeln gibt es V ( n;
k)
= n Möglichkeiten.
Beispiele und Aufgaben:
Zehnmaliges Würfeln mit Beachtung der Reihenfolge: 6 60466176
Möglichkeiten
25-maliges Münzenwerfen mit Beachtung der Reihenfolge: 2 33554432
Möglichkeiten
Fußballtoto (11er-Wette): 3 177147
Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für 11 Richtige (angekreuzt
11 =
Aufgaben:
S.36/1
S.36/3
10 =
25 =
1 −
ohne Sachkenntnis) beträgt somit p = = 0,
0000056 = 5,
6 ⋅10
177147
5 125
3 =
n
2
Hausaufgabe:
S.36/5
2 32
5 =
4.3 Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
(Variationen und Permutationen)
Alle n Kugeln seien unterscheidbar. Es wird nacheinander gezogen, aber die entnommene Kugel wird nicht
wieder zurückgelegt. Jede Kugel kann also höchstens einmal gezogen werden. Werden k Ziehungen (jetzt
k ≤ n ) durchgeführt, so gibt es bei jeder Ziehung n Möglichkeiten und damit (vgl. Baumdiagramm)
mW
für die erste Ziehung n Möglichkeiten
für die zweite Ziehung n-1 Möglichkeiten
- 8-
k
6

für die dritte Ziehung n-2 Möglichkeiten
für die k-te Ziehung n-k+1 Möglichkeiten
Ergebnis: Bei k Ziehungen ohne Zurücklegen bei n Kugeln gibt es n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2)
… ( n − k + 1)
Möglichkeiten.
Zieht man n mal (die Urne ist anschließend leer!), so ergeben sich n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2)
… ⋅ 3⋅
2 ⋅1
Möglichkeiten.
Für ein derartiges Produkt schreibt man kurz: n ! : = n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2) … ⋅ 3⋅
2 ⋅1
und spricht „n Fakultät“.
Zusätzlich definiert man 0 ! : = 1.
Damit ergeben sich P ( n)
= n!
Möglichkeiten der Reihenfolge n
oW
n!
unterscheidbarer Kugeln und V oW ( n;
k)
= Möglichkeiten, unter Beachtung der Reihenfolge k Kugeln
( n − k)!
aus n Kugeln ohne Zurücklegen zu entnehmen.
Aufgaben: S. 37/1 10!=3628800
Hausaufgabe:
S. 37/2 6!=720
S. 38/1
S. 38/2
S. 38/6
4.4 Zählprinzipien
4.4.1 Multiplikationsprinzip
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
5 ⋅ 4 =
20
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
Gibt es für das Eintreten von Ereignissen E1, E2, ..., Ek jeweils n1, n2. ..., nk Möglichkeiten, so gibt es für das
Eintreten des Ereignisses E E ∩ E genau n ⋅ n ⋅…⋅
n Möglichkeiten. Dieses Prinzip ist eine
1 ∩ 2 … k
1 2 k
Verallgemeinerung der in 4.2 und 4.3 verwendeten Überlegungen.
Beispiel: Auf einer Speisekarte gibt es 6 Vorspeisen, 9 Hauptgerichte und 4 verschiedene Nachspeisen.
Aufgaben: S. 36/2
Hausaufgabe:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, ein Menü mit drei Gängen zusammenzustellen?
Es sind 6 ⋅ 9 ⋅ 4 = 216 Möglichkeiten.
S. 38/3
S. 38/5
4.4.2 Divisionsprinzip
4 ⋅ 5
2 =
4 ⋅ 4 = 16
100
4 + 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3⋅
2 ⋅1
= 64
S. 38/4 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 (von hinten)
Sind unter zunächst m Möglichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses E jeweils k Möglichkeiten nicht
m
unterscheidbar, so gibt nur Möglichkeiten.
k
4.5 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen)
Darunter kann gleichzeitiges Ziehen verstanden werden. Alle Kugeln seien aber unterscheidbar.
- 9-

n!
Bei k gezogenen Kugeln gibt es nach 4.3 V oW ( n;
k)
= Möglichkeiten. Beachtet man die Reihenfolge
( n − k)!
nicht, so sind jeweils k! Möglichkeiten nicht unterscheidbar, denn es gibt k! verschiedene Anordnungen der k
Kugeln. Damit ergeben sich
VoW
( n;
k)
n!
⎛n
⎞
⎛n
⎞
KoW
( n;
k)
= = = : ⎜
⎟ Möglichkeiten nach 4.4.2. Der Term („k aus n“) heißt
k!
( n − k)!
⋅k!
⎝k
⎜
⎟
⎠
⎝k
⎠
Binomialkoeffizient. Es gelten folgende Regeln:
⎛n
⎞ ⎛n
⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟ = 1;
⎝ 0⎠
⎝n
⎠
⎛n
⎞ ⎛ n ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟ = n;
⎝1
⎠ ⎝n
−1⎠
⎛n
⎞ ⎛ n ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝k
⎠ ⎝n
− k⎠
Hausaufgabe:
S. 33/1, 2 (TR, Tabelle am Buchende oder im Kopf)
Ergebnisse: 479001600; 15; 252; 462; 792; 105; 105; 38760; 1
Aufgaben: S. 40/2
⎛5
⎞
⎜ = 10
2 ⎟
⎝ ⎠
S. 40/6
⎛49
⎞
⎜ = 13
6 ⎟ 983816
⎝ ⎠
S. 43/14
⎛11⎞
Ω = ⎜ = 165
3 ⎟
⎝ ⎠
S. 43/14a Ea ⎛4
⎞
4
= ⎜ = 4 ⇒ p( Ea
) = ≈ 2,
4%
3 ⎟
⎝ ⎠
165
S. 43/14b Eb ⎛4
⎞ ⎛7
⎞
84
= ⎜ = 84 ⇒ p(
Eb
) = ≈ 50,
9%
1 ⎟ ⋅ ⎜
2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
165
S. 43/14c Ec ⎛7
⎞
35
= ⎜ = 35 ⇒ p( Ec
) = ≈ 21,
2%
3 ⎟
⎝ ⎠
165
Hausaufgabe:
S. 43/10 Ermittlung von Ω : 3 Mädchen werden aus 40 Mädchen ausgewählt. Die Reihenfolge ist
⎛40
⎞
belanglos, Wiederholungen nicht möglich. Somit: Ω = ⎜ = 9880
3 ⎟
⎝ ⎠
E: alle drei ausgewählten Mädchen sind älter als 18.
24
E = 2024
3 ⎟ ⎛ ⎞
= ⎜ , da 24 Mädchen (60% von 40) älter als 18 sind. Damit ergibt sich
⎝ ⎠
2024
p ( E)
= ≈ 20,
5%
9880
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man beim Zahlenlotto „6 aus 49“ genau 4 Richtige?
(Beispiel auf S. 41 beachten!)
⎛6
⎞ ⎛43⎞
⎜
4 ⎟ ⋅ ⎜
2 ⎟
13545
p =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ≈ 0,
000968 ≈ 0,
1%
⎛49⎞
13983816
⎜
6 ⎟
⎝ ⎠
Aufgaben vom Übungsblatt
- 10-