4. Kombinatorik - FOS und BOS

für die dritte Ziehung n-2 Möglichkeiten
für die k-te Ziehung n-k+1 Möglichkeiten
Ergebnis: Bei k Ziehungen ohne Zurücklegen bei n Kugeln gibt es n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2)
… ( n − k + 1)
Möglichkeiten.
Zieht man n mal (die Urne ist anschließend leer!), so ergeben sich n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2)
… ⋅ 3⋅
2 ⋅1
Möglichkeiten.
Für ein derartiges Produkt schreibt man kurz: n ! : = n ⋅ ( n −1)
⋅ ( n − 2) … ⋅ 3⋅
2 ⋅1
und spricht „n Fakultät“.
Zusätzlich definiert man 0 ! : = 1.
Damit ergeben sich P ( n)
= n!
Möglichkeiten der Reihenfolge n
oW
n!
unterscheidbarer Kugeln und V oW ( n;
k)
= Möglichkeiten, unter Beachtung der Reihenfolge k Kugeln
( n − k)!
aus n Kugeln ohne Zurücklegen zu entnehmen.
Aufgaben: S. 37/1 10!=3628800
Hausaufgabe:
S. 37/2 6!=720
S. 38/1
S. 38/2
S. 38/6
4.4 Zählprinzipien
4.4.1 Multiplikationsprinzip
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
5 ⋅ 4 =
20
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
Gibt es für das Eintreten von Ereignissen E1, E2, ..., Ek jeweils n1, n2. ..., nk Möglichkeiten, so gibt es für das
Eintreten des Ereignisses E E ∩ E genau n ⋅ n ⋅…⋅
n Möglichkeiten. Dieses Prinzip ist eine
1 ∩ 2 … k
1 2 k
Verallgemeinerung der in 4.2 und 4.3 verwendeten Überlegungen.
Beispiel: Auf einer Speisekarte gibt es 6 Vorspeisen, 9 Hauptgerichte und 4 verschiedene Nachspeisen.
Aufgaben: S. 36/2
Hausaufgabe:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, ein Menü mit drei Gängen zusammenzustellen?
Es sind 6 ⋅ 9 ⋅ 4 = 216 Möglichkeiten.
S. 38/3
S. 38/5
4.4.2 Divisionsprinzip
4 ⋅ 5
2 =
4 ⋅ 4 = 16
100
4 + 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3⋅
2 ⋅1
= 64
S. 38/4 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 (von hinten)
Sind unter zunächst m Möglichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses E jeweils k Möglichkeiten nicht
m
unterscheidbar, so gibt nur Möglichkeiten.
k
4.5 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombinationen)
Darunter kann gleichzeitiges Ziehen verstanden werden. Alle Kugeln seien aber unterscheidbar.
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