24 Ableitung der Sinusfunktion Kurvendiskussion - Extremstark.de

§ 24 Ableitung der Sinusfunktion; Kurvendiskussion
24.1 Die Ableitung der Sinusfunktion
Wir bilden mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung der Sinusfunktion
f x sin x
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W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
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f x
f x lim
h0 h
h
f x
sin x h sin x
f x lim
h0 h
sin x cos h
f x lim
h0 sin h cos x
h
sin x
sin x cos h
f x lim
h0 sin x
h
sin h cos x
0 für h0
0 für h0
1 für h0 h
sin x ( cos h
f x lim
h0 1)
h
sin h cos x
f x cos x
Auf gleiche Weise lässt sich zeigen, dass für die Ableitung der Kosinusfunktion
h x cos x h x sin x
folgt:
Also somit:
Aufgaben:
f x sin x
f x cos x
f x sin
x
4 f x sin x
f x cos x
1.0 Gegeben ist die Funktion f x sin x
; ID f ; 3
1.1 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f x .
1.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
1.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion f x .
1.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
1.5 Ermitteln Sie den Wert der Fläche, den der Graph der Funktion f x im I.
Quadranten mit der x-Achse einschließt.
1

1
2.0 Gegeben ist die Funktion f x x sin x
; ID 0 ; 2
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2
2.1 Ermitteln Sie durch graphische Überlegung die beiden Nullstellen der Funktion
f x .
2.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
2.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion
2.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
f
f x .
3.0 Gegeben ist die Funktion f x x sin x
; ID f ; 3
3.1 Ermitteln Sie durch graphische Überlegung die Nullstelle der Funktion
3.2 Ermitteln Sie die Stellen, an denen der Graph der Funktion f waagrechte
Tangente hat. Um welchen besonderen Punkt handelt es sich dabei?
f x .
3.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion
3.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
f x .
24.2 Die Kettenregel
Gegeben seien die beiden differenzierbaren Funktionen f und g. Betrachtet man nun
g f x g f x , so stellt sich die Frage, ob
die Verkettung dieser beiden Funktion
auch diese Funktion differenzierbar ist?
Also:
g f x h g f x
g f x h g f x
g f
x lim lim
h0 h h0 h
g f x h gf x
f x h f x
g f x lim
h0 h f x h f x
g f x h g f x f x h f x
g f
x lim
h0 f x h f x h
g f x h g f x f x h f x
g f
x lim lim
h0 f x h f x h0 h
f
g f x
g f x h g f x f x h f x
lim
lim
f xhf x x h f x h0 h
g f x
f x
g f x g f x f x
Für g f wird g als äußere und f als innere Funktion bezeichnet.
g f x g f x f x
Ableitung d.
Gesamfkt.
äußere
innere
Ableitung Ableitung
2

Beispiele: Bilde die Ableitung folgender Funktionen
f x sin 2x
1
f x sin x 2
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1 2
2
f x sin x 2x 3
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2
f x sin cos x
4.0 Gegeben ist die Funktion f x sin2x cos x
; IDf 0 ; 2
4.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
4.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
4.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion f x .
4.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
5.0 Gegeben ist die Funktion f x sin x cos2x ; IDf 0 ; 2
5.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
5.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
5.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion f x .
5.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
6.0 Gegeben ist die Funktion f x sin2x 2cos x
; IDf 0 ; 2
6.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
6.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
6.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion f x .
6.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
3

24.3 Die Produktregel
Gegeben seien die beiden differenzierbaren Funktionen f und g. Betrachtet man nun
f g x f x g x , so stellt sich die Frage, ob
Das Produkt dieser beiden Funktion
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und wie diese Funktion differenzierbar ist?
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f g x h f g x
f g x lim
h0 h
f g x
f x
lim
h0 h g x h
h
f x g x
0
f g x
f x
lim
h0 h g x h f x g x f x
h
g x h f x g x h
f g x
f x
lim
h0 h g x h f x g x h
h
f x g x h f x g x
f x h f x
g x h f x g x h gx
f g x lim
h0 h
f g x
f x h f x gx h gx
lim g x h lim f x
h0 h h0 h
f g x
f x h f x
gx h gx
lim lim g x h lim f x
lim
h0 h h0 h0 h0 h
f x g x f x g x
f g x f x g x f x g x
Beispiele: Bilde die Ableitung folgender Funktionen
f x x sin x
2
2
f x x sin x
f x x sin 2x
f x cos x sin x
f x sin x
f x x sin 1 x
7.0 Gegeben ist die Funktion f x x sin x
; ID f ; 2
7.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
7.2
7.3
f x .
7.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
4

8.0 Gegeben ist die Funktion f x cos x sin x
; ID f ; 2
8.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
8.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
8.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion
8.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
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f x .
2
9.0 Gegeben ist die Funktion f x sin x ; IDf 0 ; 2
9.1 Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion f x .
9.2 Ermitteln Sie Art und Lage der Extrema der Funktion f x .
9.3 Bestimmen Sie die Lage der Wendepunkte der Funktion
9.4 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f x .
f x .
5