27 Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im ... - Extremstark.de

§ 27 Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen; Asymptoten
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Wie wir schon gesehen haben schmiegt sich der Graph einer ganzrationalen
Funktion an seiner Polstelle an eine senkrechte Asymptote (hier: Gerade) an. Man
spricht hier auch von einer Unendlichkeitsstelle, da der Graph nach oder
verläuft.
Diese Kenntnis ist sehr hilfreich um den Graph in der Umgebung der Polstelle zu
zeichnen. Es ist aber ebenso hilfreich zu wissen, dass sich der Graph für sehr große
(bzw. sehr kleine) x-Werte ebenfalls einer Asymptote oder sogar einer
Asymptotenkurve anschmiegt.
Ausschlaggebend hierfür sind der Zähler- und der Nennergrad.
27.1 Echt gebrochen rationale Funktionen (Zählergrad ist kleiner als der
Nennergrad)
Beispiel:
1
1.) Das einfachste Beispiel ist die Funktion f x
mit ID f IR \ 0
x
1
lim f x
lim 0
x
x
x
Das hochgestellte + bedeutet, dass sich der Graph der Funktion f von oben an
die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y 0 ) annähert.
1
lim f x
lim 0
x
x
x
Das hochgestellte - bedeutet, dass sich der Graph der Funktion f von unten an
die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y 0 ) annähert.
Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist somit waagrechte Asymptote des
Graphen G f . Das heißt, dass sich der Graph G f im Unendlichen an die Gerade
y 0 anschmiegt.
Der Graph ist uns ja schon bekannt:
G f
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1

f x
x
x 1
mit ID f IR
x
Nullstelle: f x 0
2
x 1
x1
0
Verhalten im Unendlichen:
x x 1
lim f x
lim lim lim
x x 2
x 1 x x
1
x 1
x x
0
2.)
2
x
x
0
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x x 1
lim f x
lim lim lim 0
x 1
x x
1
x
x
x
x x 2
x x
1
Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist waagrechte Asymptote des Graphen.
Dieser sieht also so aus:
0
G f
f x
x
x 4
3.)
2
mit ID IR \
f
2;2
Nennerfunktion: 1 2
Zählerfunktion: zx
x 0
2
n x x 4 0 x 2
ist Nullstelle der Funktion f
Somit hat man schon zwei senkrechte Asymptoten:
x 2
x2
2
Verhalten im Unendlichen:
x x 1
lim f x
lim lim lim 0
x x 2
x 4 x x
4
x 4 x x
1
x
x
0
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2

x x 1
lim f x
lim lim lim 0
x 4 x x
4
x
x
x
x x 2
x x
4
Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist waagrechte Asymptote des Graphen.
Dieser sieht dann so aus:
0
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G f
Bei einer echt gebrochen rationalen Funktion dominiert die Nennerfunktion infolge
der höheren Potenz stets über die Zählerfunktion. Der Graph nähert sich somit für
sehr große (sehr kleine) x-Werte stets asymptotisch der x-Achse. Die Gerade mit der
Gleichung y 0 ist in diesem Fall waagrechte Asymptote.
27.2 Unecht gebrochen rationale Funktionen
In diesem Fall wird die (unecht) gebrochene rationale Funktion
Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion fA
rationale Restfunktion r x zerlegt:
f x f x r x
A
f x durch
x und eine echt gebrochen
Nun gilt:
lim f x lim fA x r x
lim fA x lim r x lim fA
x
x x x x
x
Somit folgt:
x
x
x
x
A
A
0
x
A
lim f x lim f x
lim f x lim f x 0
lim f x f x 0
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3

Das heißt:
Die Funktion
f x und
fA
Grenzwertverhalten.
Man nennt die Polynomfunktion
Der Betrag
zwischen der Funktion
x haben im Unendlichen das gleiche
f
A
x daher auch Asymptotenfunktion.
r x der Restfunktion beschreibt den vertikalen Abstand
f x und seiner Asymptote an der Stelle x.
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Obige Sache entspricht gerade der Definition einer (nicht senkrechten) Asymptote
bzw. Asymptotenkurve.
Definition:
Der Graph einer Funktion f
A
Graphen der Funktion f x , wenn gilt:
lim f x
fA
x
0 oder A
x
x heißt Asymptote (bzw. Asymptotenkurve) des
lim f x f x 0
x
Beispiele:
2x 4
1.) f x
x 1
; ID IR \
f
1
n x x 1 0 x 1 (senkrechte Asymptote)
Nennerfunktion: 1
z x 2x 4 0 x 2 ist Nullstelle
Zählerfunktion: N
Polynomdivision:
6
2x 4 : x 1
2 x 1
2x 2
6
Wer es nicht glaubt!
6 2x 1
6 2x 2 6 2x 4
2 f x
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Also ist:
f x 2 waagrechte Asymptote
A
6
r x
das Restglied mit r x
0 für alle x ID f .
x 1
Letzteres heißt, dass sich der Graph der Funktion f und die waagrechte
Asymptote f A nicht schneiden.
Und für die letzten Zweifler noch eine kleine Grenzwertbetrachtung:
6
6
lim f x
lim 2 lim 2 lim 2
x x x 1
x
x
x 1
6
6
lim f x
lim 2 lim 2 lim 2
x 1
x 1
2
0
x x x x
2
0
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4

Somit lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen.
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G
f A
r 3
G f
r 3
Es gilt:
6
r 3
3
3 1
6
r 3
1,5
3 1
Auf dieses Restglied werden wir später noch in Übungsaufgaben/AP eingehen.
2.) f x
2
x 3x 6
; ID f IR \ 1
2x 2
n x 2x 2 0 x 1 (senkrechte Asymptote)
Nennerfunktion: 1
2
3 9 24
Zählerfunktion: zx x 3x 6 0 xN
IR keine Nullstelle!
1 2 2
Polynomdivision:
2 1
4
x 3x 6 : 2x 2
x 1
2
2
x x
2x 2
2x 6
2x 2
4
schiefe
Asymptote
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Also ist:
f x x 1 schiefe Asymptote
1
A 2
4
r x
das Restglied mit r x
0 für alle x ID f .
2x 2
Letzteres heißt wieder einmal, dass sich der Graph der Funktion f und die
waagrechte Asymptote f A nicht schneiden.
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1
4 1
4
lim f x lim x 1 lim x 1
lim
2x 2
2x 2
x x 2
x 2
x
1
4
1
4
lim f x lim x 1 lim x 1
lim
2x 2
2x 2
x x 2
x 2
x
Jetzt lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen.
0
0
G f
G fA
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6

3.) Noch eine Beispiel zu einer Asymptotenkurve (nicht mehr LP!)
3
1 x
f x
6 x 2
, ID 2
f IR\
n x x 2 0 x 2 ist senkrechte Asymptote
Nennerfunktion: 1
Zählerfunktion:
3
Polynomdivision:
z x x 0 x 0 ist Nullstelle
3 2
1
x : x 2
x x
x 2
3 2
Asymptotenkurve
x x
rx
1 1 1 2 4
6 6 3 3 3
1 1
6 3
1 2
N
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Also ist:
1 1 2
f x x x Asymptotenkurve
2
A 6 3 3
x 3
1 2 2
x
3 3
4
1
r x das Restglied mit r
3
x
0 für alle x ID f .
x 2
Der Graph der Funktion f und die waagrechte Asymptote f A schneiden sich nicht.
4 4
2
1 1 2 3 1 2 1 2
3
lim f x lim x x lim
6 3 3 x x
6 3 3 lim
x 2 x 2
x x x x
0
4 4
2
1 1 2 3 1 2 1 2
3
lim f x lim x x
6 3 3 lim x x
6 3 3 lim
x x x x
x 2 x 2
Jetzt lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen.
x
2
x 3
2 4
x
3 3
4
3
0
G f
G fA
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Doch wann und wo schneidet die Asymptotenkurve den Graphen der Funktion f?
Sie schneiden sich, wenn die Restfunktion den Wert Null annehmen kann.
Also hat man die Gleichung
r x 0
zu lösen.
Die Lösungen dieser Gleichung sind dann auch schon die Schnittstellen an denen
der Graph der Funktion f die Asymptotenkurve schneidet.
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Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion f x
x
3
2
4 x 4x 4
Aufgaben:
1.) Zerlegen Sie die unecht gebrochen rationalen Funktionen f in einen ganz
rationalen und einen echt gebrochen rationalen Anteil a 0
.
a) f x
b) f x
2
x x 2
x 2
4
f x
x 1 x 2
2
x x 1
1
2x
1 3 7
1
f x x
2 4 4
2x 1
3
ax
f x
2
x 2
2ax
f x ax
2
x 2
3 2
x 2x 3
f x
2
1
x
c)
d)
f x
e) f x
x
3 x
1
x 2
3 2
ax x 1
1
ax
2 1
x
f x
1 ax
2
3x 4x 24
f x
4x
f 3
x 6
x 1
4 x
f)
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2.) Bestimmen Sie zu der gebrochen rationalen Funktion eine Gleichung der
Asymptotenfunktion. Um welche Art von Asymptote handelt es sich?
x 1
a) f x
2
3 x
waagrechte Asymptote: f x 0
b) f x
2
1
2x
2
3x x
A
f x
waagrechte Asymptote:
2
c) f x
2
A
A 3
x 1
x 2
schiefe Asymptote: f x x 2
d) f x
2
x x 1
2
x 1
waagrechte Asymptote:
A
f x 1
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3.) Bestimmen Sie eine Gleichung der Asymptotenfunktion. Geben sie zusätzlich an,
ob die Asymptote waagrecht, schief oder gekrümmt ist.
Untersuchen Sie, ob es Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Asymptote
gibt. Geben Sie die Schnittpunkte gegebenenfalls an.
2x
a) f x x 1
x
2
2
2
2 x 3x
b) f x
x 3
x
3
2x
1
x
c) f x
x 2
2
x 2x
d) f x
2
x 3
4.) Bestimmen Sie eine Gleichung der Asymptotenfunktion f A der gebrochen
rationalen Funktion f und untersuchen Sie, ob sich der Graph von f der Asymptote
jeweils von oben oder von unten nähert.
4x 2
a) f x
3x 2
2
x 2x 2
b) f x
x 2
2
2x x
c) f x
2
1
x
2
ax 1
d) f x
a IR
2
x a
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