§ 8 Impuls und Impulserhaltung - extremstark.de

§ 8 Impuls und Impulserhaltung8.1 KraftstoßBeispiel: Eine Person wirft einen Ball weg.Hier wirkt eine (konstante) Kraft F eine bestimmte Zeit t .FmvFFtttDie Fläche unter der Kurve im t-F-Diagramm ist ein Maß für den Kraftstoß den der Ballerfährt.vFt ma t m t mvtEine Kraft F , die eine bestimmte Zeit t auf einen Körper der Masse m ausgeübt wirdbewirkt eine Änderung der Geschwindigkeit dieses Körpers er wird also beschleunigt.Mit v0 0 folgt:Ft mvDas Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner Geschwindigkeit nennt man seinenImpulsp mvkg mp NssDer Impuls eines Körpers ist eine vektorielle Größe in Richtung seiner Geschwindigkeit.Bemerkung: Besitzt ein Körper einen Impuls, so ist er auch Träger von kinetischer Energie.Allgemein gilt:Ft mv pEin Kraftstoß ist somit gleichbedeutend mit einer Impulsänderung.W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de1

Teilt man obige Gleichung durch t , so erhält man:pFptDie auf einen Körper einwirkende Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses.Mit obiger Gleichung einher geht auch noch folgende Formel für Kräfte, die eine Funktionder Zeit sind:p t F(t)dt mit p 0 Die letzten beiden Formeln stellen jeweils eine allgemeine Formulierung des 2. NewtonschenGesetzes dar.Ändert sich jedoch neben der Kraft auch noch die Masse des Körpers mit der Zeit, so gilt: p m v m v mv ma0Aufgaben:1. Auf einen ruhenden Golfball der Masse m 46g wirkt die Kraft F 24 N genau0,050 s lang. Welche Geschwindigkeit erreicht er?2. Welche Kraft muss wirken, um innerhalb einer Zehntelsekunde t 0,10sdiekmGeschwindigkeit eines fliegenden Fußballes der Masse m 450 g um 36 zu erhöhen?3.0 Ein Ball m100 gm trifft mit einer Geschwindigkeit von v 1,2 senkrecht auf einerWand auf und wird mit demselben Betrag der Geschwindigkeit zurückgeschleudert. DieKontaktdauer mit der Wand beträgt 23ms.3.1 Berechne die mittlere Stoßkraft der Mauer auf den Ball.3.2 Welche mittlere Beschleunigung hat der Ball während des Kontakts mit derMauer erfahren?km4.0 Eine Raumsonde der Masse 435 kg fliegt mit einer Geschwindigkeit von 8,4simgravitationsfreien Raum. Um eine Begegnung mit einem Kleinplaneten nicht zu verfehlenmuss die Geschwindigkeit der Raumsonde auf 8,1 reduziert werden. DasSteuertriebwerk hat eine Schubkraft von 15 N.4.1 Berechne die notwendige Brenndauer des Steuertriebwerks.4.2 Ermittle die Verzögerung sowie die Impulsänderung der Raumsonde.5. Erklären Sie mit Hilfe der Beziehung F p warum Metallplatten von Satelliten selbstvon kleinsten Meteoriten durchschlagen werden können.kmsshW. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de2

8.2 ImpulserhaltungssatzNach dem 3. Newtonschen Gesetz (actio = reactio) treten ineinem abgeschlossenen System innere Kräfte immerpaarweise auf, sind gleich groß aber entgegengesetztgerichtet.F2F1v2m 2 F F1 2v1Die Kraft F 1 beschleunigt die Masse m2Die Kraft F 2 beschleunigt die Masse m1m 1Beobachtung: Beide Massen werden beschleunigt!Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt:somit folgt aus obiger Gleichung:vmit a wird daraus: tDamF mam a m a1 1 2 2vtvt1 21 m2 t auf beiden Seiten gleich ist (Wechselwirkungskräfte wirken gleich lang ein) folgt:m v1 m v2 p p p p 01 2 1 2 1 2Impulserhaltungssatz:In einem abgeschlossenen System, indem nur innere Kräfte wirken ist die Summe derImpulsänderungen stets null.p 0iDa dies eine allgemeingültige Aussage ist, kann ohne Kenntnis des zeitlichen Verlaufs derKräfte eine Aussage über deren Bewegungsablauf gemacht werden.iW. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de3

8.3 StoßgesetzeLässt man zwei Körper mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aufeinander zulaufen, so wirdsich ein zentraler Stoß ereignen (die Wirkungslinien beider Geschwindigkeitsvektoren fallenzusammen).v1v2WirkungslinieEin zentraler unelastischer Stoß liegt vor, wenn sich beide Körper nach dem Zusammenstoßgemeinsam mit der selben Geschwindigkeit weiterbewegen (realisierbar z. B. durchAnbringen von Knetmasse an der Stoßstelle).vor dem Stoßnach dem Stoßm 1m 1m 2v1v2mu m1 2m 2Ein zentraler elastischer Stoß liegt vor, wenn sich beide Körper nach dem Zusammenstoßgetrennt mit jeweils eigener Geschwindigkeit weiterbewegen (realisierbar z. B. durchAnbringen einer Schraubenfeder an der Stoßstelle).vor dem Stoßm 1v1v2m 2nach dem Stoßm 1u 1u 2m 2In beiden Fällen können beide Körper jeweils als ein abgeschlossenes System betrachtetwerden, wenn von Reibung abgesehen wird.Aus dem Impulserhaltungssatz p0folgt, dass die Summe der Impulse vor dem Stoßgleich der Summe der Impulse nach dem Stoß ist.Daher gilt:pi,v iipi,nW. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de4

8.3.1 Betrachtungen für den zentralen unelastischen Stoß:Mit dem Impulserhaltungssatz lässt sich die Geschwindigkeit u der beiden Körper nach einemvollkommen unelastischen Stoß berechnen, wenn die Geschwindigkeiten v1bzw. v2vor demStoß und die Massen m1bzw. m2der Körper bekannt sind.Es gilt:p1,v p2,v pnm v m v m m u1 1 2 2 1 2m v m vu m m1 1 2 21 2FS:S.19Sonderfall für m1 m2 m:12u v v1 2Beim unelastischen Stoß ist die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß größer als diekinetische Energie des Gespanns nach dem Stoß. Die „verlorene“ kinetische Energien vE E E wird in Verformung und Wärme umgesetzt.kinkinDiese „verlorene“ Energie lässt sich allgemein berechnen: n v 1 2 1 2 1 2kin kin 2 1 2 2 1 1 2 2 2E E E m m u m v m v 2 1m1 v1 m2 v22 2 2m1 m2 m1v1 m2v2m1m 2 2 m1 v1 m12 v2 2 2 2m1v1 m2v2 m1m22 2 2 21m1 v1 2m1m 2v1v2 m2 v22 22 m1v1 m2v2 m1m2 2 22 22 21m1 v1 2m1m2v1v 2 m2 v m21v1 m2v2 m1 m 2 2 m1 m2 m1 m212 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m1 v1 2m1m 2v1v2 m2 v2 m1 v1 m1m 2v1 m1m 2v2 m2v2 2 m m 1 21 212 2 m1m2v1 2m1m2v1v 2 m1m2v2 2 m m m mm m 2 m m 2 m m1 2 2 21 2v1 2v1v2 v 2v 21 v2 1 2 1 2mm 2 m m1 2E v v 1 221 2W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de5

Aufgaben:6.0 Ein Güterwagen m35 t1 rollt einen 2,0 m hohen Rangierhügel herunter. Oben hattemer eine Geschwindigkeit von 0,75s. Er trifft unten auf einen anderen Güterwagenmm 27 t; v 0 mit dem er ankuppelt, so dass beide gemeinsam weiterrollen.2 2 sReibungskräfte sowie Energiebeiträge aus der Rotation bleiben unberücksichtigt.6.1 Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Güterwagen im angekuppelten Zustandweiter?6.2 Berechnen Sie die Impulsänderung, die der 1. Wagen beim Stoßvorgang erfahren hat.6.3 Was lässt sich über den Energieerhaltungssatz beim Stoß aussagen? (rechnerischeÜberprüfung)8.3.2 Betrachtung für den zentralen vollkommen elastischen StoßDie Körper haben vor dem Stoß die Geschwindigkeiten v1bzw. v2, nach dem Stoß dagegendie Geschwindigkeiten u1bzw. u2.Sind die Anfangsgeschwindigkeiten und die Massen bekannt, so lassen sich damit dieEndgeschwindigkeiten berechnen.Es gilt:Impulserhaltung:Energieerhaltung:p p p p1,v 2,v 1,n 2,nm v m v m u m u1 1 2 2 1 1 2 2m v m u m u m v1 1 1 1 2 2 2 2 m v u m u v 11 1 1 2 2 2Ekin,v Ekin,nm v m v m u m u 21 2 1 2 1 2 1 22 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 22 2 2 2m1v1 m2v2 m1u1 m2u22 2 2 2m1v1 m1u1 m2u2 m2v22 2 2 2 m v u m u v1 1 1 2 2 2 m v u v u m u v u v 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2Rechnet man nun 2 : 1 , so erhält man: m v u v u m u v u vm v u m u v1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2v u u v1 1 2 21 2 2 12 1 1 2 u u v v 3u v u v 4W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de6

Setzt man nun 3 in 1 , so erhält man:m1 v1 u2 v2 v1 m2 u 2 v2m1 v1 u2 v2 v1 m2 u 2 v2m 2v u v m u v 1 1 2 2 2 2 22m v m u m v m u m v1 1 1 2 1 2 2 2 2 22m v m v m v m u m u1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 m v m 2v v m m u2 2 1 1 2 1 2 2u2m v m 2v vm m2 2 1 1 21 2Setzt man 4 in 1 , so erhält man:m1 v1 u1 m2 v1 u1 v2 v2m v u m v u 2v 1 1 1 2 1 1 2m v m u m v m u 2m v1 1 1 1 2 1 2 1 2 2m v 2m v m v m u m u1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 m v m 2v v m m u1 1 2 2 1 1 2 1u1m v m 2v vm m1 1 2 2 11 2FS:S.19FS:S.19Sonderfall 1: m1 m2 m und v2 0 (d.h. der gestoßenen Körper ist zunächst in Ruhe)6 erhält man:Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichungen 5 und u1 0 und u2 v1Der stoßende Körper bleibt in Ruhe und der gestoßene Körper erhält dessen Geschwindigkeit(die Impulse werden ausgetauscht).Dies kann an einem Beispiel demonstriert werden.Sonderfall 2: m1 m2und v2 0 (d.h. der gestoßenen Körper ist zunächst in Ruhe)Durch Einsetzen in die Gleichung 5 und u1 1m16 und dem Zusammenhang, dass 0m folgt: v und u2 0Der stoßende Körper erfährt nur eine Umkehrung seiner Richtung (sein Impuls kehrt sichum), der gestoßene Körper bleibt in Ruhe.Bsp.: Kugel stößt gegen eine feste Wand!2W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de7

7.0 Zwei Kugeln hängen wie dargestellt je an einem Faden der Länge l 50 cm . Ihre Massenverhalten sich wie m1: m2 1: 2. Kugel 1 wird unter einem Winkel von 55ausgelenkt und dann losgelassen.m1m2vv 217.1 Berechnen Sie die Geschwindigkeit v1, mit der die Kugel 1 auf die Kugel 2 trifft.7.2 Ermitteln Sie rechnerisch die Geschwindigkeit u2der Kugel 2 nach dem Stoß, wenndiese vorher in Ruhe war.7.3 Berechnen Sie den Auslenkwinkel der Kugel 2 nach dem Stoß.7.4 Entscheiden Sie, ob die Kugel 1 nach dem Stoß nach links oder nach rechts ausgelenktwird. (rechnerische Begründung)7.5 Berechnen Sie den Auslenkwinkel der Kugel 1 nach dem Stoß.8.0 Zur Bestimmung der Geschwindigkeit einerLuftgewehrkugel mit der Masse m1 0,50 g kannman ein ballistisches Pendel heranziehen. Das Pendellist mittels zweier Fäden der Länge l 60 cmaufgehängt und besteht aus Holz der Massevm2 650 g . Schießt man mit dem Luftgewehr darauf m 1m 2 sso bleibt die Kugel im Holz stecken, das dabei eineAuslenkung von s 3,6 cm erfährt.8.1 Berechne die Geschwindigkeit der Luftgewehrkugel2 mArbeite mit v 1,9 10 sweiter 8.2 Ermittle näherungsweise die durchschnittliche Kraft, mit der die Kugel auf das Holzwährend des Eindringens einwirkt, wenn die Eindringtiefe der Kugel in das Holzs 4,5 mm beträgt.8.3 Berechne die Rückstoßkraft des Luftgewehrs, wenn die Masse des Luftgewehrsm3 3,8 kg , der Lauf des Luftgewehrs 42 cm beträgt und von einer konstantenBeschleunigung der Kugel ausgegangen werden kann.9.0 Die Saturn V-Rakete hat 2890 t Startmasse und 35 MN Startschub.9.1 Mit welcher Beschleunigung hebt die Rakete ab?9.2 Pro Sekunde werden 13.500 kg Treibstoff verbrannt. Wie groß ist die Geschwindigkeitder austretenden Verbrennungsgase?W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de8

10. Zeige, dass für die Energieübertragung beim vollkommen unelastischen Stoß für v 0gilt:Ekin,nm1m m1 2Ekin,v211.0 Zwei Kugeln mit den beiden Massen m1 m und m2 2m bewegen sich mit gleichemGeschwindigkeitsbetrag aufeinander zu. Welche Geschwindigkeiten ergeben sich fürdie beiden Massen nach dem Zusammenstoß, wenn dieser11.1 elastisch,11.2 unelastisch erfolgt?11.3 Wie groß ist im Fall 11.2 der Energieverlust E ?12.0 Zwei aneinandergekoppelte Fahrzeuge der Masse m1 600 kg und m2 800 kg ruhenauf einer horizontalen Ebene. Zwischen beiden Fahrzeugen befindet sich eine (nichtbefestigte) um die Länge s 16 cm zusammengedrückte Feder der FederkonstantenkND 40m. Nach Lösen der Kopplung entspannt sich die Feder.12.1 Berechnen Sie, welche Geschwindigkeiten v1und v2die beiden Fahrzeuge nach demLösen der Kopplung besitzen?13.0 Ein Hammer der Masse mH 1,00 kg kann sich um das Ende seines Stiels (Massevernachlässigbar) reibungsfrei drehen. Der Hammer wird um einen bestimmten Winkelausgelenkt und losgelassen. Er trifft im tiefsten Punkt seiner Bewegung zentral undvollelastisch auf eine Kugel der Masse m 300 g .13.1 Berechne die Geschwindigkeit vH, mit der der Hammer die Kugel trifft, wenn diese mitmeiner Geschwindigkeit von vK 6,7swegfliegt.13.2 Ermittle die mittlere Stoßkraft, wenn Hammer und Kugel 0,012 s in Kontakt sind.13.3 Nach dem Stoß schwingt der Hammer weiter nach rechts bis zum Umkehrpunkt.Berechne die Höhe dieses Umkehrpunkts über dem tiefsten Punkt.14. Ein Mann m70 kgKM springt aus einer Höhe von h 80 cm horizontal von einemruhenden Boot mB 90 kgins Wasser und landet in einer Entfernung von x 2,0 mvom Boot. Berechne die Energie, die der Mann beim Sprung aufwenden musste.W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de9

Weitere Aufgaben zum Impulsm1.0 Ein Junge wirft einen Tennisball mit der Geschwindigkeit 15ssenkrecht auf diekmRückwand eines Lastwagens, der mit der Geschwindigkeit 18hvorwärts fährt.1.1 Welche Geschwindigkeit hat der Ball nach dem Aufprall?1.2 Wie viel Prozent seiner Energie verliert der Ball beim Stoß? Wo verbleibt diese Energie?2. Die Masse m1stößt auf die ruhende Masse m2. Nach dem Stoß bewegen sich beideKörper mit entgegengesetzt gleicher Geschwindigkeit auseinander. Was kann man überdas Massenverhältnis der beiden Körper und ihre Geschwindigkeiten nach dem Stoßaussagen?3. Eine Gewehrkugel trifft kurz nach Verlassen der Mündung mit der Geschwindigkeitmv0 500sauf eine senkrecht aufgehängte kleine Stahlplatte (Länge der Aufhängungl 2,0 m , Plattenmasse M 5,0 kg ) und prallt elastisch zurück. Wie stark (Höhe undWinkel) schlägt die aufgehängte Platte aus?4.0 Beim U-Bahn-Bau werden zur Abdichtung gegen Grundwasser Eisenschienenm 200 kg senkrecht in den Boden gerammt. In einem speziellen Fall trifft eine Massevon 280 kg aus einer Höhe von 1,84 m auf eine solche Schiene und treibt sie dabei2,0 cm in den Boden. Betrachte den Vorgang als unelastischen Stoß.4.1 Welche Geschwindigkeit besitzen beide Massen unmittelbar nach dem Stoß?m4.2 Innerhalb der 2,0 cm werden die beiden Massen auf die Geschwindigkeit 0sabgebremst. Berechne die Verzögerung, die vorhandene Reibungskraft und denEnergieverlust.W. Stark; Berufliche Oberschule Freisingwww.extremstark.de10