Workshop zu Trigonometrie

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Berechnung von weiteren Werten ohne Taschenrechner Neben den Werten für 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ und 270 ◦ gibt es noch einige andere Werte, die man ohne Taschenrechner berechnen kann. Zuerst wollen wir uns auf den ersten Quadranten beschränken: sin 1 2 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ √ √ 1 1 2 2 2 3 √ √ 1 1 1 cos 2 3 2 2 2 Doch wie kommt man auf diese Werte? Für 30 ◦ und 60 ◦ kann man sich die Werte über ein gleichseitiges Dreieck herleiten: a a 2 30 ◦ h 30 ◦ a 2 a 60 ◦ 60◦ Nach Pythagoras gilt: a2 = ( a 2 )2 +h2 ⇒ h2 = a2 − a2 3a2 4 = 4 cos(60) = Ankathete Hypertenuse cos(30) = h a = a 2 a √ 1 = 2 3 sin(30) = Gegenkathete Hypertenuse sin(60) = h a √ 1 = 2 3 a 1 = 2a = 2 Für 45 ◦ kann man sich die Werte mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck erklären: a 45 ◦ a c 45 ◦ = 1 2 Nach Pythagoras gilt: c = a √ 2 sin(45) = a a √ 2 = 1 √ = 2 √ √ √2 = 2 2 1 2 cos(45) = a a √ 2 √ 1 = 2 2 Kennt man diese Funktionswerte von Cosinus und Sinus kann man natürlich sofort für diese Winkel auch den Tangens berechnen: tan(30) = sin(30) 1 2 cos(30) = √ 1 = 3 1 √ = 3 1 √ 3 3 2 tan(45) = 1 tan(60) = √ 3 10 √ 2
Mit diesen bekannten Werten im ersten Quadranten, kann man sich auch für die anderen Quadranten einige Werte überlegen. Zum Beispiel: 120 ◦ 240 ◦ 60 ◦ 300 ◦ cos(60) = 1 2 cos(120) = − 1 2 cos(240) = − 1 2 cos(300) = 1 2 Allgemein kann man diese Überlegungen in folgenden Formeln <strong>zu</strong>sammenfassen: Beispiele sin(α) = sin(180 ◦ −α) = −sin(180 ◦ +α) = −sin(360 ◦ −α) = sin(α+360 ◦ ) cos(α) = −cos(180 ◦ −α) = −cos(180 ◦ +α) = cos(360 ◦ −α) = cos(α+360 ◦ ) tan(α) = −tan(180 ◦ −α) = tan(180 ◦ +α) = −tan(360 ◦ −α) = tan(α+360 ◦ ) Berechne alle Lösungen für 0 ◦ ≤ x ≤ 360 ◦ ohne Taschenrechner! 1) cos(2π) = x 2) sin(120◦ ) = x 3) tan(x) = 1 4) sin(x) = 1 √ 2 2 5) arccos(1) = x 6) tan(240◦ ) = x 7) sin(330◦ ) = x 8)cos( π 2 ) = x 9)arctan(−1) = x 10)tan( π 4 ) = x 11) arccos(−1 √ 2 3) = x 12)sin(150◦ ) = x 13)cos(315◦ ) = x 14)cos(x) = −1 √ 2 2 15)tan(x) = −1 √ 3 3 16)cos(240◦ ) = x 17)sin(x) = −1 18)tan( 5 4π) = x 19)arccos(x) = 0√ 2 20)sin(x) = − 1 2 Lösungen: 1) 1 2) 1 2 6) √ 3 7) − 1 √ 3 3) 45 ◦ oder 225 ◦ 4) 45 ◦ oder 135 ◦ 5) 0 ◦ oder 360 ◦ 2 8) 0 9) 135◦ oder 315◦ 10) 1 11) 150◦ oder 210◦ 12) 1 2 13) 1 16) − 2 1 2 17) 270◦ 18) 1 19) 1 20) 225◦ oder 315◦ √ 2 14) 135 ◦ oder 225 ◦ 15) 150 ◦ oder 330 ◦ Natürlich kann man alle Winkelmaße auch im Bogenmaß als Lösung angeben. 11
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Seite 3 und 4: Allgemein gilt für 0 ◦ ≤ α
Seite 5 und 6: Der Tangens Neben Cosinus und Sinus
Seite 7 und 8: In rechtwinkligen Dreiecken mit 0 <
Seite 9: 1) Rechne das Gradmaß ins Bogenma

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