5. Rentenrechnung

Übersicht 

Fortsetzung: 

Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre - 

Finanzmanagement und Kapitalmärkte 

Prof. Dr. C. Kaserer / Christian Diller 

5. Rentenrechnung 





Seite 1 

17.06.2004 

5.1 Einführung 

5.2 Verschiedene Anwendungsbereiche der 

Rentenrechnung 

5.3 Die Rentenrechnung 

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Finanz- und Wirtschaftsmathematik 

5.3.1 Konstante jährliche Rentenraten 

5.3.2 Unterjährige Rentenraten und jährliche Verzinsung 

5.3.3 Ewige Rente mit konstanten Raten 

5.4 Veränderliche Rentenraten 

5.4.1 Arithmetisch veränderliche Rente 

5.4.2 Geometrisch veränderliche Rente 

5.5 Unterjährige Raten und unterjährige Verzinsung 

5.6 Übungsaufgaben 


Finanz- und Wirtschaftsmathematik


5.3.2 Unterjährige Rentenraten und jährliche 

Verzinsung 

Die Zinsperioden werden nun in mehrere gleich lange 

und konstante Rentenbeträge r aufgeteilt. 

– Es existieren m Rentenzahlungen pro Zinsperiode 

– Innerhalb der Zinsperiode (unterjährig) wird mit einfacher 

Verzinsung gerechnet 







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Bestimmung der konformen Ersatzzahlungen 

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17.06.2004 



Zu den m unterjährigen Zahlungen werden konforme 

jährlich nachschüssige Ersatzzahlungen errechnet. 

Definition: 

– re – r`e r e 

⎡ i ⋅ 

= r ⋅ ⎢m 

+ 

⎣ 

jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate 

jährlich vorschüssige Ersatzrentenrate 

( m − 1) 

⎤ 

⎥⎦ 

2 

und 

⎡ i ⋅ 

r´ e 

= r´ 

⋅⎢m 

+ 

⎣ 

( m + 1) 

⎤ 

⎥⎦ 

Wenn die Ersatzrentenrate errechnet wurde, wird mit der 

Formel für die jährlich nachschüssige Rente 

weitergerechnet! 

n 

⎡ i ⋅( 

m − 1) 

⎤ q − 1 

Rn 

= re 

⋅ sn 

= r ⋅ 

⎢ 

m + ⋅ 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ q − 1 

2 



(B5.3): Monatlich nachschüssige Rente 

Statt einer jährlichen Zahlung von € 12.000 wird in 

unserem Beispiel jetzt eine monatliche Rente von € 

1.000 nachschüssig ausbezahlt. Der Zinssatz betrage 

4% p.a. und die Laufzeit 10 Jahre. Wie lautet der 

Endwert dieser Rentenzahlung? 

Lösung: 

( m 1) 

⎡ i⋅ 

re = r⋅ 

⎢m 

+ 

⎣ 

− 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ 0, 

04⋅ 

( 12− 

1) 

⎤ 

= 1. 

000⋅ 

⎢12+ 

= 1. 

000⋅ 

12, 

22 = 

2 ⎥ 

⎣ 

⎦ 

10 

1, 

04 − 1 

Rn 

12. 

220⋅ 

= 146. 

714, 

63 

1, 

04 − 1 




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12. 

220 

= oder Berechnung mit dem FC 

(B5.3): Monatlich vorschüssige Rente 




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Die Rente soll nun vorschüssig erfolgen. Wie lautet der 

Endwert dieser Rentenzahlung? 

Lösung: 

( m 1) 

⎡ i ⋅ 

r´ e = r´ 

⋅⎢m 

+ 

⎣ 

+ 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ 0, 

04⋅ 

= 1. 

000⋅ 

⎢12+ 

⎣ 2 

+ 

´ 

R n 

10 

( 12 1) 

⎤ 

⎥ = 

⎦ 

1. 

000 

1, 

04 −1 

= 12. 

260⋅ 

= 147. 

194, 

87 

1, 

04 −1 

oder Berechnung mit dem FC 

⋅ 

12, 

26 

= 

12. 

260 



(B5.4): Vermögenswirksame Leistungen 

Ein Arbeitnehmer zahlt in einen Sparvertrag für 

vermögenswirksame Leistungen jeweils am 

Monatsanfang € 52,00 ein. Der Zins beträgt während der 

Laufzeit 4%. Wie lauten der Kontostand nach 6 Jahren 

und der Barwert der Einzahlungen? 







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(B5.4): Vermögenswirksame Leistungen 

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Ein Arbeitnehmer zahlt in einen Sparvertrag für 

vermögenswirksame Leistungen jeweils am 

Monatsanfang € 52,00 ein. Der Zins beträgt während der 

Laufzeit 4%. Wie lauten der Kontostand nach 6 Jahren 

und der Barwert der Einzahlungen? 

Lösung: 

– Unterjährige Verzinsung Berechne r´ e, die konforme jährlich 

vorschüssige Ersatzrentenrate: 

⎡ i ⋅ 

r´ e = r´ 

⋅⎢m 

+ 

⎣ 

( m + 1) 

0, 

04 ⋅ ( 12 + 1) 

2 

⎤ ⎡ 

⎥ = 52 ⋅ ⎢12 

+ 

⎦ ⎣ 

– Berechne Rn (nachschüssige Formel !): 

6 

1, 

04 −1 

n = 

637 , 52 ⋅ = 4. 

228, 

65 

R´ 

1, 

04 − 1 

2 

⎤ 

⎥ = 637 , 52 

⎦ 



Bemerkung: Unterjährige Rente bei unterjähriger Verzinsung 

Wenn der Renten- und der Zinszeitraum übereinstimmen 

und der Periodenzinssatz p * = p / m gegeben ist, 

dann gilt für nachschüssige Renten: 

R 

R 

n⋅m 

0 

n⋅m 

q − 1 

= r ⋅ 

q − 1 

= 

R 

q 

n⋅m 

n⋅m 

1 

= n⋅ 

q 

Analog für vorschüssige Renten 







m 

n⋅m 

q −1 

⋅ ⋅r 

q −1 

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(B5.5): Monatliche Rentenauszahlung bei mtl. Zinsperioden 

Gesucht wird der Rentenbarwert einer Rente, den ein 

Arbeitnehmer im Laufe seiner Arbeitszeit angespart 

haben muss, damit er 20 Jahre lang eine monatliche 

nachschüssige Rente von € 1.500 erhält. Die monatliche 

Verzinsung beträgt 0,5%. 

R 

0 

1 

= 

1, 

005 

INPUTS 

OUTPUT 

20⋅12 

20⋅12 

1, 

005 − 1 

⋅ 

⋅1. 

500 = 

1, 

005 − 1 

CPT 

209. 

371, 

16 

240 0,5 1.500 0 

N I/YR PV PMT FV 

-209.371,16 




5.3.3 Ewige Rente mit konstanten Raten 

Wird für die Rente kein Endtermin und damit bei 

jährlichen Renten kein endlicher Wert für n vereinbart, so 

bezeichnet man die Rentenverpflichtung als ewige 

Rente. 

Eine ewige Rente ist nur möglich, wenn die Auszahlungen 

r kleiner sind als der Zinsbetrag, der aus dem 

(angesammelten) Kapital R0 generiert wird. 

Außerdem dient die unendliche Laufzeit einer Rente zu 

Rechenzwecken 




Barwert einer ewigen Rente 




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Für p>0 ist der Barwert einer konstanten Rente endlich. 

– Nachschüssige Rente: 

r 

R0 = 

i 

– Vorschüssige Rente: 

r´ 

r ⋅ q i + 1 

R´ 0 = = = r ⋅ 

i i i 

Die Rentenrate einer jährlich nachschüssig zu 

zahlenden, ewigen Rente ergibt: 

r R0 

i ⋅ = 

Der Kapitalstock bleibt erhalten und der Zinsertrag wird für die 

Rente verbraucht. 



(B5.6): Rentenhöhe bei unterschiedlichen Laufzeiten 

Ein Lottogewinner legt seine Gewinnsumme von 

400.000 € am Jahresbeginn zu einem festen Zinssatz 

von 4,5 % an. Wie hoch ist die Rente, die er jährlich 

nachschüssig abheben kann, wenn er mit einer 

a) Ewigen 

b) 40 Jahre langen 

c) 10 Jahre langen Rentenauszahlung rechnet? 




Übungsaufgaben 




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(A5.10): Ein Student zahlt 6 Jahre lang jeweils zum 

Ersten des Monats € 78 von seinem Taschengeld in 

einen Sparplan ein. Die Verzinsung erfolge jährlich mit 

6%. Wie groß ist das Guthaben, auf welches er nach 7 

Jahren zugreifen kann? 

(A5.11): Ein Arbeitnehmer möchte von seinem 65. 

Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatlich 

nachschüssige Rente von € 2.000 ausgezahlt 

bekommen. 

– Welchen Betrag muss er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 65. 

Geburtstag vierteljährich vorschüssig einzahlen? Sowohl in der 

Anspar- als auch in der Auszahlungsphase werde das Konto 

jährlich zu 5,5% verzinst. 

– Welche ewige nachschüssige monatliche Rente könnte der 

Arbeitnehmer bei diesen Einzahlungen erhalten? 




5.4.1 Arithmetisch veränderliche Rentenrate 

Die laufenden Rentenzahlungen 

r, r+d, r+2d, r+3d, … , r+nd 

bilden eine arithmetische Zahlenfolge für d>0 oder d

Nachschüssige arithm. fortschreitende Rentenzahlung 

Der Rentenendwert bei n nachschüssigen arithmetisch 

fortschreitenden Rentenzahlungen der Höhe r+(k-1)d ist: 

n 

Rn n sn 

⎛ d ⎞ q − 1 n ⋅ d 

= ⎜r 

+ ⎟⋅ 

− = r ⋅ s 

⎝ q − 1 ⎠ q − 1 q −1 




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d 

+ ⋅ 

q −1 

( − n) 

Den Rentenbarwert von n nachschüssigen arithmetisch 

steigenden Rentenzahlungen erhält man aus: 

n 

⎛ ⎞ − ⋅ 

= 

Rn 

d q 1 n d 

R0 

= ⎜r 

+ ⎟⋅ 

− 

n 

n 

n 

q ⎝ q − 1⎠ 

q ⋅ ( q −1) 

q ⋅ ( q − 1) 

d ⎛ ⎞ 

= ⋅ + ⋅⎜ 

n 

r an 

⎟ 

⎜a 

n − n 

q − 1 ⎟ 

⎝ q ⎠ 

Nachschüssige arithm. fortschreitende Rentenzahlung 

Der (Basis-) Rentenbetrag r bei n nachschüssigen 

arithmetisch fortschreitenden Rentenzahlungen 

berechnet sich aus: 

r = 

R 

a 

0 

n 

− 

d ⎛ n ⎞ 

⋅⎜ 

1− 

⎟ 

i ⎝ sn 

⎠ 




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(B5.7): Arithmetisch fortschreitender Rentenbetrag 

Zum Ende des gerade beginnenden Monats werde eine 

Rente über € 1.000 fällig. Die Rentenbeträge für die 

nachfolgenden Monate sollen um jeweils € 5 erhöht 

werden. Die Verzinsung erfolge monatlich mit 0,4 %. 

– N=10 * 12 = 120 und r =1.000, d=5 

– Der Rentenendwert R nach 10 Jahren ist somit: 

n 

⎛ 5 ⎞ 1, 

004 − 1 120⋅ 

5 

120 = ⎜1. 

000 + ⎟⋅ 

− 

R 

– Der Rentenbarwert beträgt: 




⎝ 

0, 

004⎠ 

1 

R0 = R120⋅ 

= 

120 

1, 

004 




0, 

004 

121. 

194, 

51 

Seite 19 

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(B5.8): Bestimmung des Rentenbarwertes 

5 Jahre lang sollen jeweils 

zum Jahresende die 

folgenden Rentenbeträge 

fällig werden: 

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0, 

004 

= 195. 

671, 

91 



Auszahlungsphase 

0 5 

1 2 3 4 

10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 

Gesucht ist das Anfangskapital R0 bei p=5% p.a. 

Mit r=10.000 und d=1.000 erhält man für den 

Rentenbarwert 

5 

⎛ 1. 

000 ⎞ 1, 

05 − 1 5 ⋅1. 

000 

R0 = ⎜10. 

000 + ⎟⋅ 

− 

5 

5 

⎝ 1, 

05 −1 

⎠ 1, 

05 ⋅ 1, 

05 − 1 1, 

05 ⋅ 1, 

05 − 1 

= 51. 

531, 

68 

( ) ( ) 



Vorschüssige arithm. fortschreitende Rentenzahlung 

Der Rentenendwert bei n vorschüssigen arithmetisch 

fortschreitenden Rentenzahlungen der Höhe r+(k-1)d ist: 

n 

⎛ d ⎞ q − 1 n⋅ 

d ⋅q 

R´ 

n = q ⋅Rn 

= q⋅ 

⎜r 

+ ⎟⋅ 

− 

⎝ q − 1⎠ 

q − 1 q −1 

q⋅ 

d 

d 

= q⋅ 

r ⋅s 

n + ⋅ ( sn 

− n) 

= r ⋅ s´ 

n + ⋅ ( s´ 

n − n⋅ 

q) 

q −1 

q − 1 

Den Rentenbarwert von n vorschüssigen arithmetisch 


n 

⎛ ⎞ − ⋅ 

= ⋅ = 

R´ 

n d q 1 n d 

R0 

q R0 

= ⎜r 

+ ⎟⋅ 

− 

n 

n−1 

n−1 

q ⎝ q − 1⎠ 

q ⋅ ( q −1) 

q ⋅ ( q − 1) 

d ⎛ ⎞ 

= ⋅ + ⋅⎜ 

n 

r a´ 

n 

⎟ 

⎜a´ 

n − n−1 

q − 1 ⎟ 

⎝ q ⎠ 




Beispiele 




Seite 21 

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Seite 22 

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(B5.9): Die Rentenzahlungen aus (B5.7) erfolgen nun 

vorschüssig. Wie lautet der Rentenendwert und der 

Rentenbarwert dieser Rente? 

(B5.10): Welches Kapital R 0 muss angespart werden, 

wenn die Rentenauszahlungen aus (B5.8) vorschüssig 

erfolgen? 




5.4.2 Geometrisch veränderliche Rentenrate 

Die laufenden Rentenzahlungen verändern sich um den 

Wachstumsfaktor g und damit bildet 

r, r*g, r*g2 , r*g3 , … , r+gn-1 eine geometrische Zahlenfolge. 

Die k-te Rentenzahlung lautet dann: ( ) 1 k − 

= r ⋅ 1+ 

g 







0 N 

1 2 … t-1 t … (N-1) 

r r*g r*g 2 … r k … r*g N 

Geometrisch veränderliche Rente 

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r 

k 



Ein Unternehmen kann durch die geometrische 

veränderliche Rente verschiedene Faktoren modellieren, 

um die richtige Höhe der Pensionsrückstellungen bzw. der 

zukünftigen Pensionsaufwendungen zu bestimmen. 

Solche Faktoren können sein 

KapitalmarktrisikenZinsentwicklungInvestitionsentwicklung 

Aktiva Unternehmensbilanz Passiva 

AV 

UV 

-Finanzanlagen 

(=Assets ) 

EK 

Pensionsrückstellungen 

FK 

Inflation 

Lohn- und 

Gehaltsentwicklung 

Aktuarisches Risiko 

Zinsrisiko, Liquiditätsrisiko bzgl. der Deckung der Pensionsverpflichtung 



Lebensversicherer: Widerstand gegen niedrigeren Garantiezins 

20. Mai 2003 Die deutschen Lebensversicherer sperren sich gegen eine Senkung des 

Höchstrechnungszinses schon zu Beginn des kommenden Jahres. Sie wollen vermeiden, schon vom 

1. Januar nächsten Jahres an mit einem Höchstrechnungszins (Garantiezins) von 2,75 (derzeit 3,25) 

Prozent umgehen zu müssen. Das sieht jedoch der vom Bundesfinanzministerium erarbeitete Entwurf 

einer neuen Verordnung über die Rechnungsgrundlagen für die Deckungsrückstellungen vor. 

Die Lebensversicherer wollen sich dafür einsetzen, daß die Senkung dieses Zinssatzes, der jeweils 

nur für das Neugeschäft gilt, nicht schon zum 1. Januar 2004 wirksam wird, wie vom Gesamtverband 

der Deutschen Versicherungswirtschaft zu hören ist. Sie wollen ausreichend Zeit für die auch 

technische Entwicklung neuer Tarife haben. Am liebsten wäre den Versicherern die Einführung eines 

neuen Rechnungszinses erst zum 1. Januar 2005. Vielleicht wird in der Verordnung, der auch der 

Bundesrat zustimmen muß, als Kompromiß der 1. Juli 2004 fixiert. 

Bedeutend für die Kalkulation der Angebote 

Der Rechnungszins ist für Lebensversicherer von zentraler Bedeutung. Er bestimmt die Höhe der für 

künftige Versicherungsleistungen zurückzustellenden Beträge (Deckungsrückstellung). Je höher der 

Rechnungszins, desto niedriger fällt die Rückstellung aus, und umgekehrt. Deshalb ist der 

Rechnungszins auf einen Höchstsatz begrenzt, denn damit wird die Mindesthöhe der Rückstellung auf 

der Passivseite der Versicherungsbilanz festgelegt. 

Der Rechnungszins hat aber auch Bedeutung für die Kalkulation der Angebote der Lebensversicherer. 

Zwar ist kein Versicherer gezwungen, seine Tarife und Beiträge mit diesem Zinssatz zu kalkulieren 

(wie er auch für die Berechnung der Deckungsrückstellung einen niedrigeren Zinssatz wählen könnte, 

was dann freilich einen höheren Rückstellungsbetrag zur Folge hätte). 

Folge: Niedrigere garantierte Leistung 

Die Höhe des Rechnungszinses bestimmt aber die Höhe der garantierten Leistung, weshalb er auch 

als Mindestzins bezeichnet wird. Je höher der Zins, desto höher ist bei gegebenem Monatsbeitrag des 

Kunden die ihm garantierte Leistung. Ein niedrigerer Zins hätte eine niedrigere garantierte Leistung im 

Gefolge, so daß aus Gründen des Wettbewerbs die Anbieter durchweg mit dem Rechnungszins 

kalkulieren. 







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Lebensversicherer: Widerstand gegen niedrigeren Garantiezins (II) 

Der Rechnungszins wird aus Gründen der Vorsicht vergleichsweise niedrig angesetzt, so daß die 

Versicherer unter normalen Umständen keine Schwierigkeiten haben, aus ihren Kapitalanlagen 

entsprechende Erträge und darüber hinaus Überschüsse zu erwirtschaften, die - in der Praxis mit 

Ausnahme nur weniger Prozentpunkte - an die Versicherten verteilt werden und über die garantierte 

Leistung hinaus eine weitere aus Überschüssen gespeiste Leistung erwarten lassen. 

"Sicherheitsabstand" zum aktuellen Kapitalzins sinkt 

Die seit zehn Jahren fallenden Zinsen am Kapitalmarkt zusammen mit den starken Kursrückgängen 

für Aktien in den vergangenen drei Jahren haben jedoch solche Überschüsse stark beschnitten und in 

Einzelfällen sogar aufgezehrt. Das hat zu Senkungen der Überschußbeteiligungen geführt, die noch 

nicht abgeschlossen sind. Ausschlaggebend für den Kunden ist letztlich aber nicht die Höhe des 

Rechnungszinses, sondern die Höhe der Kapitalerträge insgesamt. 

Ob die Versicherer sich einen größeren 

zeitlichen Spielraum für den Übergang auf 

einen neuen Rechnungszins verschaffen 

können, ist offen. Es sprechen auch viele 

gute Argumente für eine möglichst rasche 

Senkung dieses Zinssatzes. Der 

"Sicherheitsabstand" zum aktuellen 

Kapitalzins ist deutlich geschmolzen. Zwar 

werden die Ertragsrechnungen der Branche 

im Jahr 2004 von einer Senkung oder 

Beibehaltung des Rechnungszinses kaum 

berührt, aber der Zins wirkt lange in die 

Zukunft. Die privaten Krankenversicherer 

rechnen übrigens seit Jahr und Tag 

unverändert mit 3,5 Prozent. 

Text: Frankfurter Allgemeine Zeitung, 

21.05.2003, Nr. 117 / Seite 21 



Gefahr für betriebliche Pensionspläne nicht gebannt 

HANDELSBLATT, 15.5.2003 

NEW YORK. New Yorker Finanzanalysten beschäftigen sich nur selten mit Reden von Bundeskanzler 

Gerhard Schröder. Doch dessen Empörung über eine Rating-Herabstufung des Stahlkonzerns 

Thyssen-Krupp diente in New York als Einstieg einer Konferenz der Ratingagentur Standard & Poor’s 

(S&P) über die Risiken betrieblicher Pensionsverpflichtungen. 

Schröder hatte gefordert, den „dominierenden Einfluss amerikanischer Ratingagenturen“ 

einzudämmen, nachdem S&P das Bonitätsurteil für Thyssen vor Monaten drastisch gesenkt hatte. Die 

Entscheidung löste einen Tagesverlust der Thyssen-Aktie von rund 10 % und einen Proteststurm aus. 

Doch nicht etwa Unverständnis für die deutsche Firmenkultur, sondern einzig die hohen 

Pensionsverpflichtungen von Thyssen-Krupp steckten hinter der Entscheidung, betonte Samson, 

verantwortlich für Ratingkriterien bei S&P. Die Ratingagentur, an deren Urteilen sich Investoren 

weltweit orientieren, achtet verstärkt auf versteckte Bilanzrisiken durch betriebliche Pensionspläne. 

Nach einer umfassenden Analyse senkte S&P das Bonitätsrating für mehrere Großkonzerne – unter 

anderem auch General Motors, Ford und Goodyear. 

Kurzfristig erwartet Scott Sprinzen, Leiter der Pensionsanalyse bei S&P, keine weiteren 

Herabstufungen. „Wenn aber die Börsen erneut nachgeben, werden wir uns einige Problemfälle 

genauer ansehen müssen“, sagte Sprinzen am Dienstag. Besonders in Europa waren die 

Herabstufungen auf Kritik von Unternehmen und Öffentlichkeit gestoßen. „Wir haben uns nie ins 

Schlaglicht gedrängt. Aber es scheint, wir haben mit unserer Initiative einen wunden Punkt getroffen“, 

sagte Sprinzen. 







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Gefahr für betriebliche Pensionspläne nicht gebannt (II) 

Hauptgrund für die schwierige Lage vieler Pensionspläne ist die Börsenkrise. Denn insbesondere in 

angelsächsischen Ländern finanzieren die Unternehmen ihre Zusagen an Betriebsrentner durch 

Pensionsfonds, die stark in Aktien investieren. Mit den Kursgewinnen schmolzen die Reserven der 

Fonds in den vergangenen Jahren dahin. 

Nach einer aktuellen Studie der Vergütungsberatung Towers Perrin decken die Pensionsfonds eines 

durchschnittlichen US-Unternehmens nur noch rund 80 % der künftigen Verpflichtungen ab. „Damit 

stehen viele Konzerne bilanztechnisch an einer kritischen Marke“, sagte am Dienstag Jerry Spigal, 

Partner bei Towers Perrin. Zwar erlauben die US-Bilanzregeln für kleinere Fehlbeträge eine 

schrittweise Abschreibung über viele Jahre, die kaum ins Gewicht fällt. Überschreitet jedoch die 

Pensionslücke eine bestimmte Grenze, dann droht eine hohe Einmal-Abschreibung, die das 

Eigenkapital angreift. „Um diesen Effekt zu vermeiden, haben viele Unternehmen im vergangenen 

Jahr ihre Pensionsfonds massiv aufgestockt“, sagte Spigal. Auch künftig werden die Firmen mehr 

Geld für ihre Betriebsrentner zurücklegen müssen. „Das bedeutet Cash-Abflüsse, auf die Kreditgeber 

und Aktionäre keinen Zugriff mehr haben“, betonte Sprinzen. 

Nach den deutschen HGB-Regeln müssen Unternehmen keine Pensionsfonds aufbauen. Doch je 

mehr einstige Mitarbeiter zu Betriebsrentnern werden, desto höhere Zahlungen fallen an. Einige 

Konzerne wie Siemens und Daimler-Chrysler haben Pensionsvermögen nach angelsächsischem 

Muster. 

„Siemens muss für seine deutschen Mitarbeiter gar keine Rücklagen bilden, hat aber freiwillig einen 

Großteil der Pensionszusagen durch einen Fonds abgedeckt. Das werten wir sehr positiv“, sagte 

Emmanuel Dubois-Pelerin, Leiter des Pariser S&P-Büros – nicht zuletzt, um der Kritik an Thyssen- 

Krupp ein positives Beispiel gegenüberzustellen. 



Finanzvolumen in % vom BIP 

Hintergrundwissen: Pensionsfonds und Rating 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

138 

114 

70 

Schweiz 

Niederlande 

Pensionsfondsvolumina in 

verschiedenen Ländern 

Gemessen in % vom BIP 

46 

60 

51 

32 

16 22 90 

72 

59 

44 41 

33 

16 

28 

5 67 34 23 

2 

UK 

US 

Canada 

Dänemark 

Australien 

Schweden 

1991 2000 




Japan 

Italien 

Deutschland 

Frankreich 

Spanien 

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17.06.2004 

Hintergrundwissen: Pensionsfonds 

Empirisch beobachtete Ausfallraten 

von Unternehmensanleihen 

(je nach Rating) 

in % 

Rating 

AAA 

AA 

A 

BBB 

BB 

B 

CCC 

Systematik für Pensionsfonds im Rahmen der Riester-Rente 

Arbeitgeber 

Beiträge 

Möglichkeit 1: 

Beiträge vom Unternehmen 

= Betriebsausgaben 




Pensionssicherungs -verein 

(PSV a.G.) 

Leistungszusage mit garantierter Mindestleistung 

Möglichkeit 2 (Entgeltumwandelung): 

Gehaltsverzicht möglich 

Kapitalanlage 

Pensionsfonds 

Eigenkapital Deckungs- 

-rückstellung 

Seite 30 

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zahlt Rentenleistung 

Übriges 

Fondskapital 

Default Rate 

in % 

0,52 

1,31 

2,32 

6,64 

19,52 

35,76 

54,38 



Leistungen bei Ausfall 

des Arbeitgebers 

Arbeitnehmer 

Rechtsanspruch 

auf Leistung 



Nachschüssige geom. fortschreitende Rentenzahlung 

Der Rentenendwert bei n nachschüssigen geometrisch 

fortschreitenden Rentenzahlungen beträgt: 

R 

n 

⎧ n− 

r ⋅n 

⋅q 

⎪ n = ⎨ g − q 

⎪r 

⋅ 

⎩ g − q 

Den Rentenbarwert von n nachschüssigen geometrisch 


R 

0 

= 

R 

q 

n 

n 




1 

n 

für g = q 

für g ≠ q 

⎧ r ⋅ n 

⎪ 

für g = q 

q 

⎪ 

n 

⎪ 

= ⎨ ⎛ g ⎞ 

⎪ ⎜ ⎟ −1 

⎪ ⎝ q ⎠ 

⎪r 

⋅ 

für g ≠ q 

⎩ g − q 




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Vorschüssige geom. fortschreitende Rentenzahlung 

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Der Rentenendwert bei n vorschüssigen geometrisch 

fortschreitenden Rentenzahlungen beträgt: 

R´ 

n 

⎧ n 

r ⋅n 

⋅q 

⎪ n = ⎨ g − q 

⎪ r ⋅q 

⋅ 

⎩ g − q 

n 

für g = q 

für g ≠ q 

Den Rentenbarwert von n vorschüssigen geometrisch 


R´ 

0 

= q⋅ 

R 

0 

⎧ r ⋅n 

⎪ 

n 

⎪ ⎛ g ⎞ 

= ⎨ ⎜ ⎟ − 1 

⎪ ⋅ ⋅ 

⎝ q 

r q 

⎠ 

⎪⎩ 

g − q 

für g = q 

für g ≠ q 



(B5.11): Geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen 

Eine Rente werde 10 Jahre lang jeweils zum 

Jahresende ausgezahlt. Der erste Betrag sei € 10.000. 

Danach steige die Rente jährlich um 5%. 

a) Wie lautet der Rentenendwert bei einem Jahreszinssatz von 

5,2%? 

b) Wie lautet der Rentenbarwert von 10 nachschüssigen 

Jahresrenten? 

c) Wie lautet der Rentenendwert und -barwert bei einem 

Jahreszinssatz von 5,0%? 




(B5.12): Pensionsrückstellungen 




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Beim Ausscheiden aus einem Betrieb erhält ein 

Arbeitnehmer für 10 Jahre eine jährlich nachschüssige 

Rentenzusage aus der betrieblichen Altersvorsorge und 

zwar am Ende des 1. Jahres von € 20.000. Dieser 

Betrag wird jährlich um 3% erhöht. Bei der Aufstellung 

der Bilanz zu Beginn des 1. Jahres muss die Firma den 

Barwert als Pensionsrückstellungen buchen. 

a) Welchen Betrag muss die Firma in die Pensionsrückstellungen 

bei einem Jahreszinssatz von 6,5% einstellen? 

b) Wie ändert sich die Höhe des Betrages, wenn die Firma mit 

einem Kalkulationszinssatz von 4% rechnet? 

c) Was sagt der Kalkulationszins in diesem Fall aus? 

d) Welche Risiken trägt das Unternehmen aus einer internen 

Finanzierung der betrieblichen Altersvorsorge? 



Bestimmung der Laufzeit N … 

⎧ R0 

⋅q 

… bei nachschüssigen ⎪ r 

Rentenzahlungen: 

⎪ 

⎪ ⎛ ⋅( 

g−q 

) ⎞ 

= ⎨lg⎜1+ 

R0 

N 

⎟ 

⎪ ⎝ r ⎠ 

⎪ ⎛ g ⎞ 

⎪ 

lg⎜ 

⎟ 

… bei vorschüssigen ⎩ ⎝ q ⎠ 

für g = q 

für g ≠ q 

Rentenzahlungen: ⎧ R0 

⎪ 

r 

⎪ 

⎪ ⎛ ⋅( 

g−q 

) ⎞ 

= ⎨lg⎜1+ 

R0 

N 

⎟ 

⎪ ⎝ r⋅q 

⎠ 

⎪ ⎛ g ⎞ 

⎪ lg⎜ 

⎟ 

⎩ ⎝ q ⎠ 

für g = q 

für g ≠ q 







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(B5.13): Wie lange reichen die Pensionsrückstellungen aus? 

Ein Unternehmen hat für eine mit 5% Wachstum und 

mit € 30.000 beginnende geometrisch fortschreitende 

jährliche Rente eine Pensionsrückstellung in Höhe von 

€ 400.000 gebildet. Das Unternehmen rechnet mit 

einem Jahreszins von 5%. 

Wie lange sind die Renten der Arbeitnehmer durch die 

Pensionsrückstellungen gedeckt? 

a) bei nachschüssiger Rentenzahlung 

b) bei vorschüssiger Rentenzahlung 




Renten- und Zinszeitraum stimmen überein 

– Wenn der Periodenzinssatz p * und 

– die Laufzeit n ebenfalls in Zinsperioden (statt in Jahren) gegeben 

ist, 

– dann ändert sich gegenüber der Berechnung der jährlichen 

Zinszahlungen nichts. (Siehe dazu Folie 9 und 10) 

Während eines Zinszeitraumes erfolgen mehrere 

Rentenzahlungen 

– Berechnung der Periodenersatzrente 

– Mit dieser können die normalen Rentenformeln benutzt werden. 

(Siehe dazu Folien 3 bis 8) 







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Der Rentenzeitraum ist ein Vielfaches des 

Zinszeitraumes 

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– Z.B. wenn die Verzinsung quartalsweise erfolgt, die 

Rentenzahlung allerdings jährlich 

– Annahmen: 

Die Rentenlaufzeit in Rentenperioden sei ganzzahlig 

Die Anzahl der Zinsperioden pro Rentenperiode sei m´. 

– Berechnung des zum Periodenzinssatz der Rentenperiode p * 

konformen Ersatzzinssatz pe: ⎡⎛ 

p* 

⎞ 

pe 

= 

⎢⎜1 

+ ⎟ 

⎢⎣ 

⎝ 100 ⎠ 

m´ 

⎤ 

− 1⎥⋅100 

⎥⎦ 

– Mit diesem Zinssatz und n Rentenperioden berechnet man die 

Formeln Rentenrechnung in gewohnter Weise. 




(A5.12): Eine Jahresrente von € 20.000 soll jedes Jahr 

um € 200 erhöht werden. Welcher Betrag muss dafür bei 

6,5% Jahreszins vorschüssig bereitgestellt werden, 

damit die Rente a) nachschüssig 

b) vorschüssig 

15 Jahre lang gezahlt werden kann? 

c) Welcher Rentenbetrag wird insgesamt ausgezahlt? 

(A5.13): Ein Unternehmen will seinem ehemaligen 

Manager eine Jahresrente von € 15.000 auszahlen, die 

jährlich um 5% erhöht werden soll. Welches Kapital 

muss zu Beginn bereitgestellt werden, damit die Rente 

10 Jahre lang nachschüssig bei einem fixen 

Jahreszinssatz von 6% bzw. 5% gezahlt werden kann? 

Berechne zusätzlich die Summe aller 10 Rentenbeträge. 








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(A5.14): Ein Handwerker verkauft seinen kleinen 

Handwerksbetrieb, der einen Wert von € 300.000 hat, 

aufgrund von Nachfolgeproblemen an einen Investor. 

Der Handwerker möchte zur Altersabsicherung eine 

jährliche Laibrente erhalten, die mit 20.000 € beginnt und 

sich jährlich um 4% erhöht. Wie lange kann diese Rente 

a) nachschüssig bzw. 


bei einem Jahreszinssatz von 5% gezahlt werden? 




(A5.15): Ein Hausverkäufer erhält als Verkaufspreis 

folgende Rentenzusagen: 

Zunächst wird eine vorschüssige Monatsrente von € 2.000 

gezahlt. Die Laufzeit der Rente betrage 10 Jahre. 

Die Rente wird jährlich 

a) konstant um € 100 erhöht oder 

b) um jeweils 4,5% erhöht. 

Welche Rente sollte der Hausverkäufer bei einem 

nominellen Jahreszinssatz wählen, wenn er den 

Verkaufspreis seines Hauses maximieren will. 




Übungsaufgaben mit Lösungen 




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(L5.10): Ein Student zahlt 6 Jahre lang jeweils zum 

Ersten des Monats € 78 von seinem Taschengeld in 

einen Sparplan ein. Die Verzinsung erfolge jährlich mit 

6%. Wie groß ist das Guthaben, auf welches er nach 7 

Jahren zugreifen kann? 

Lösung: 

– Unterjährige Verzinsung Berechne r´ e, die konforme jährlich 

vorschüssige Ersatzrentenrate: r´ e = 966,42 € 

7 

– Rentenendwert: 

1, 

06 −1 

n = 

966, 

42 ⋅ = 8. 

111, 

97 

Beachte: 

R´ 

1, 

06 − 1 

Trotz vorschüssiger Rente wird hier nicht mit dem Rentenendwertfaktor 

(s´ n) der vorschüssigen Rente, sondern mit dem 

Rentenendwertfaktor (s n) der nachschüssigen Rente gerechnet, da 

die Vorschüssigkeit der Rente bereits in der konformen jährlichen 

Ersatzrentenrate r´ e implizit berücksichtigt wurde. (siehe 

Herleitung) 




(L5.11): Ein Arbeitnehmer möchte von seinem 65. 

Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatlich 

nachschüssige Rente von € 2.000 ausgezahlt 

bekommen. 

– Welchen Betrag muss er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 65. 

Geburtstag vierteljährich vorschüssig einzahlen? Sowohl in der 

Anspar- als auch in der Auszahlungsphase werde das Konto 

jährlich zu 5,5% verzinst. 

– Welche ewige nachschüssige monatliche Rente könnte der 

Arbeitnehmer bei diesen Einzahlungen erhalten? 







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Übersicht und Lösung zu Aufgabe 5.11 

Ansparphase 

Auszahlungsphase 

0 

1 2 … t-1 t … (N-1) 1 2 … t-1 t … (N-1) 

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30 50 

30 Jahre 20 Jahre 

Vierteljährlich vorschüssige Rente monatlich nachschüssige Rentenraten 

- Unterjährige Verzinsung mit m=12 

- Konforme nachschüssige Rentenrate: 

- Rentenendwert der vorschüssigen 

re =24.605,00 

- Barwert der nachschüssigen Ersatzrente im 

Ersatzrente zum Jahr 30 (n=30) 

Jahr 30: (für die Berechnung: n=20) 

- RS 30 = 294.039,16 

- r´ e = 4.059,32 (m=4) 

- r = 981,10 € 

RZ 30 = 294.039,16 

b) Ewige Rente in Höhe von r = 1.314,54 

(r e = 16.172,15) 




(L5.12): Eine Jahresrente von € 20.000 soll jedes Jahr 

um € 200 erhöht werden. Welcher Betrag muss dafür bei 

6,5% Jahreszins vorschüssig bereitgestellt werden, 

damit die Rente a) nachschüssig 


15 Jahre lang gezahlt werden kann? 

c) Welcher Rentenbetrag wird insgesamt ausgezahlt? 

Lösung: 

– Arithmetisch fortschreitende Rente mit r=20.000 und d=200 

– a) Rentenbarwert R0=199.038,83 – b) Rentenbarwert R´ 0=211.976,35 

– c) Summe U = 15 * 20.000 + 200 * (1+2+…+14) 

=300.000 +200*(14*15/2) = 321.000 








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(L5.13): Ein Unternehmen will seinem ehemaligen 

Manager eine Jahresrente von € 15.000 auszahlen, die 

jährlich um 5% erhöht werden soll. Welches Kapital 

muss zu Beginn bereitgestellt werden, damit die Rente 

10 Jahre lang nachschüssig bei einem fixen 

Jahreszinssatz von 6% bzw. 5% gezahlt werden kann? 

Berechne zusätzlich die Summe aller 10 Rentenbeträge. 

Lösung: 

– Geometrisch fortschreitende Rente mit r=15.000 und g=1,05 

– Zins 6% q=1,06 R0 = 135.650,62 

– Zins 5% q=1,05=g R0 = (10*15.000)/1,05 = 142.857,14 

– Summe U= 15.000 * (1+1,05+1,052 +1,053 +…+1,059 ) = 

= 15.000 * ((1,0510-1)/0,05) = 188.668,39 




(L5.14): Ein Handwerker verkauft seinen kleinen Handwerksbetrieb, der 

einen Wert von € 300.000 hat, aufgrund von Nachfolgeproblemen an 

einen Investor. Der Handwerker möchte zur Altersabsicherung eine 

jährliche Leibrente erhalten, die mit 20.000 € beginnt und sich jährlich 

um 4% erhöht. Wie lange kann diese Rente 

a) nachschüssig bzw. 


bei einem Jahreszinssatz von 5% gezahlt werden? 

Lösung: 

– Geometrische Rente mit r=20.000 und g=1,04 und q=1,05 

– a) N=16,98 Jahre 16 Jahre (abgerundet) und eine Restzahlung 

von K16 = 35.075,69 (R16= 619.786,69), die sich durch die 

Verzinsung bis zum Ende der Periode erhöht auf: 35.075,69 *1,05 = 

36.829,48 < 37.459,62 = r17 – b) N=16,11 Jahre 16 Jahre (abgerundet) und eine Restzahlung 

von 3.891,77 < r17 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre - 







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(L5.15): Ein Hausverkäufer erhält als Verkaufspreis 

folgende Rentenzusagen: 

Zunächst wird eine vorschüssige Monatsrente von € 2.000 

gezahlt. Die Laufzeit der Rente betrage 10 Jahre. 

Die Rente wird jährlich 

a) konstant um € 100 erhöht oder 

b) um jeweils 4,5% erhöht. 

Welche Rente sollte der Hausverkäufer bei einem 

nominellen Jahreszinssatz von 5% wählen, wenn er den 

Verkaufspreis seines Hauses maximieren will. 



Lösung zu Aufgabe (A5.15) 

a) Arithmetisch fortschreitende Rente mit r = 2.000, 

d=100 und m=12 (vorschüssig), p=5% 

– Unterjährungsfaktor: 12 + ((13*0,05)/2) = 12,325 

– Rentenbarwert 

R´ 

n ⎛ d ⎞ q 

R´ 

0 = = 12, 

325⋅ 

⎜r 

+ ⎟⋅ 

n 

n 

q ⎝ q −1 

⎠ q ⋅ 

− 1 

− 

n ⋅ d 

10 

⎛ 100 ⎞ 1, 

05 − 1 

= 12, 

325 ⋅⎜ 

2. 

000 + ⎟⋅ 

10 

⎝ 0, 

05 ⎠ 1, 

05 ⋅ 

= 229. 

351, 

92 

− 

10 ⋅100 

Rentenendwert: 

R´ 10 =373.590,10 




Lösung zu Aufgabe (A5.15) 




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n 

n ( q − 1) 

q ⋅( 

q − 1) 

10 

( 0, 

05) 

1, 

05 ⋅ ( 0, 

05) 



b) Geometrisch fortschreitende Rente mit r = 2.000, 

g=1,045 und m=12 (vorschüssig), p=5% 

– Unterjährungsfaktor: 12 + ((13*0,05)/2) = 12,325 

n 

– Rentenbarwert ⎛ g ⎞ 

R´ 

0 

= 

R´ 

q 

n 

n 

= 

⎜ ⎟ −1 

q 

12, 

325⋅ 

r ⋅ 

⎝ ⎠ 

g − q 

10 

⎛ 1, 

045⎞ 

⎜ ⎟ − 1 

1, 

05 

= 12, 

325⋅ 

2. 

000⋅ 

⎝ ⎠ 

1, 

045 − 1, 

05 

= 229. 

794, 

64 

Rentenendwert: 

R´ 10 =374.311,26 

Der Verkäufer sollte sich für die geometrisch steigende Rente 

entscheiden, da er hier ein größeres Vermögen generieren kann. 



Literatur zu Rentenrechnung 

• Locarek-Junge, Hermann: Finanzmathematik, München 1997 

Kapitel 4, Seite 95-120 

• Bosch, Karl: Finanzmathematik, München, 2000 

Kapitel 5, Seite 86-120 

• Caprano, Eugen / Wimmer, Konrad: Finanzmathematik, München 1999 

Kapitel I.4, Seite 36-61 




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5. Rentenrechnung

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