Skript Dimension 2a

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

10 2.2 Selbstähnlichkeitsdimension In Kapitel 1.4 haben wir bereits Einblicke in die Dimensionen erhalten, die wir nun auf selbstähnliche Figuren übertragen wollen. Dort hatten wir ein Ausgangsbild B 0 durch eine Skalierung mit einem Faktor k abgebildet auf ein Bild B 1 . Wir nennen in den folgenden Betrachtungen den Skalierungsfaktor s. Bei der (exakten) Selbstähnlichkeit erzeugen wir Verkleinerungen B 1 mit dem Faktor s !0 < s
11 Diese Methode führt zur Selbstähnlickeitsdimension. Um Verwechslungen mit anderen Dimensionsbegriffen zu vermeiden, bezeichnen wir sie mit d s ,. 2.3 Fraktale 2.3.1 Was sind Fraktale Es gibt bis jetzt noch keine umfassende Definition von Fraktalen. Um einen Arbeitsbegriff zur Verfügung zu haben, werden wir einige typische Eigenschaften nennen, die als hinreichende Bedingungen für ein Fraktal gelten. Das bedeutet, wenn eine dieser Eigenschaften auftritt, sprechen wir von einem Fraktal, wissend, dass es möglicherweise auch Fraktale ohne diese Eigenschaft gibt. Der von B. Mandelbrot geprägte Begriff Fraktal leitet sich von dem lateinischen Wort frangere bzw. fractum ab (deutsch: brechen, bzw. gebrochen) und bezieht sich auf die oft nicht ganzzahlige Dimension von Fraktalen. Eine nicht ganzzahlige Dimension ist ein hinreichendes Erkennungsmerkmal von Fraktalen. 5 Wir haben im letzten Kapitel den Begriff der Selbstähnlichkeit eingeführt und gezeigt, dass manche wohlvertraute Figur exakt selbstähnlich ist. Eine weitere Methode wurde von Mandelbrot selbst beschrieben: durch mehrfaches Anwenden einer Verkleinerungs- und Vervielfältigungsvorschrift, angewendet auf eine Ausgangsfigur, wird eine geometrische Figur erzeugt. Führt man diese Vorschrift unendlich oft durch, erhalten wir als Grenzbild dieses Prozesses eine exakt selbstähnliche Figur, bei der in jedem geeigneten Teil der Figur stets die Struktur des Ganzen erkennbar ist. Diese Selbstähnlichkeit ist eine weitere typische Eigenschaft für ein Fraktal. Bei den so erzeugten Figuren kann man die Selbstähnlichkeitsdimension sehr leicht bestimmen und es zeigt sich, dass die so ermittelte Dimension in den meisten Fällen nicht ganzzahlig ist. Es gibt aber auch Fraktale, die nicht selbstähnlich oder nur eingeschränkt selbstähnlich sind. Für solche Fraktale kann man die Dimension nicht über die Selbstähnlichkeit bestimmen. Diese Problematik wird im dritten Kapitel durch einen weiteren Dimensionsbegriff, die Boxdimension, gelöst. 2.3.2 Konstruktion von selbstähnlichen Fraktalen Es gibt verschiedene Wege, Fraktale zu erzeugen. Allen Verfahren gemein ist ein rekursives Vorgehen. Wir beschränken uns auf das Erstellen von selbstähnlichen Fraktalen durch einen rekursiven Prozess, der in jeder Stufe die drei Komponenten Verkleinern, 5 Einige besondere Fraktale mit ganzzahliger Dimension sind z.B. der Sierpinski- Tetraeder, die Peano-Kurve und die Hilbert-Kurve. Alle drei Fraktale haben die Dimension 2.
Seite 1: 9 2 Selbstähnlichkeit, Selbstähnl
Seite 5: 13 Initiatorelementen. In Abb. 2.2

Skript Dimension 2a

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?