Skript Dimension 2a

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2 Selbstähnlichkeit, Selbstähnlichkeitsdimension
und Fraktale
2.1 Selbstähnlichkeit
Bei den Betrachtungen zur Dimension in Kapitel 1 haben wir ähnliche
(im geometrischen Sinn) Figuren miteinander verglichen. Dabei wird
eine Figur durch eine zentrische Streckung mit einem
Skalierungsfaktor k verkleinert oder vergrößert. In diesem Kapitel soll
es nun darum gehen, dass die kleinere Figur in der großen
wiederzufinden ist. Diese Eigenschaft nennt man Selbstähnlichkeit.
Definition (Selbstähnlichkeit)
Eine Struktur heißt selbstähnlich, wenn Teile von ihr verkleinerte
Kopien des Ganzen sind.
Eine Struktur heißt exakt selbstähnlich, wenn sie sich in einzelne,
genaue Kopien des Ganzen zerlegen lässt. Jeder dieser Teile einer
exakt selbstähnlichen Struktur ist eine genaue Kopie des Ganzen. 4
Genauer heißt das, dass es zu einer exakt selbstähnlichen Figur
(Punktmenge) einen Skalierungsfaktor s < 1 und eine Zahl n ∈
gibt, so dass die Vereinigung von n mit s verkleinerten Kopien die
Figur reproduziert.
Beispiele: Jede Strecke kann in eine gewisse Anzahl von Strecken
zerlegt werden. Da alle Strecken trivialerweise zueinander ähnlich
sind, ist jede Strecke also selbstähnlich.
Jeder Quader kann in 8, 27, 64, . . . gleichgroße Teilquader, die zum
ursprünglichen Quader ähnlich sind, zerlegt werden. Jeder Quader ist
also selbstähnlich.
Nicht alle Figuren sind selbstähnlich. So lässt sich zum Beispiel ein
Kreis nicht vollständig durch kleinere Kopien von sich selbst, also
Kreisen, reproduzieren. Das gleiche gilt für ein Sechseck oder eine
Pyramide.
Abb. 2.1: Nicht-selbstähnliche Figuren
4 Fraktale, Selbstähnlichkeit, Chaosspiel, Dimension, Ein Arbeitsbuch, Peitgen u. a.,
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2.2 Selbstähnlichkeitsdimension
In Kapitel 1.4 haben wir bereits Einblicke in die Dimensionen erhalten,
die wir nun auf selbstähnliche Figuren übertragen wollen.
Dort hatten wir ein Ausgangsbild B 0 durch eine Skalierung mit einem
Faktor k abgebildet auf ein Bild B 1 . Wir nennen in den folgenden
Betrachtungen den Skalierungsfaktor s.
Bei der (exakten) Selbstähnlichkeit erzeugen wir Verkleinerungen B 1
mit dem Faktor s !0 < s

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Diese Methode führt zur Selbstähnlickeitsdimension. Um Verwechslungen
mit anderen Dimensionsbegriffen zu vermeiden,
bezeichnen wir sie mit d s ,.
2.3 Fraktale
2.3.1 Was sind Fraktale
Es gibt bis jetzt noch keine umfassende Definition von Fraktalen. Um
einen Arbeitsbegriff zur Verfügung zu haben, werden wir einige
typische Eigenschaften nennen, die als hinreichende Bedingungen für
ein Fraktal gelten. Das bedeutet, wenn eine dieser Eigenschaften
auftritt, sprechen wir von einem Fraktal, wissend, dass es
möglicherweise auch Fraktale ohne diese Eigenschaft gibt.
Der von B. Mandelbrot geprägte Begriff Fraktal leitet sich von dem
lateinischen Wort frangere bzw. fractum ab (deutsch: brechen, bzw.
gebrochen) und bezieht sich auf die oft nicht ganzzahlige Dimension
von Fraktalen. Eine nicht ganzzahlige Dimension ist ein hinreichendes
Erkennungsmerkmal von Fraktalen. 5
Wir haben im letzten Kapitel den Begriff der Selbstähnlichkeit
eingeführt und gezeigt, dass manche wohlvertraute Figur exakt
selbstähnlich ist.
Eine weitere Methode wurde von Mandelbrot selbst beschrieben:
durch mehrfaches Anwenden einer Verkleinerungs- und
Vervielfältigungsvorschrift, angewendet auf eine Ausgangsfigur, wird
eine geometrische Figur erzeugt. Führt man diese Vorschrift unendlich
oft durch, erhalten wir als Grenzbild dieses Prozesses eine exakt
selbstähnliche Figur, bei der in jedem geeigneten Teil der Figur stets
die Struktur des Ganzen erkennbar ist. Diese Selbstähnlichkeit ist eine
weitere typische Eigenschaft für ein Fraktal. Bei den so erzeugten
Figuren kann man die Selbstähnlichkeitsdimension sehr leicht
bestimmen und es zeigt sich, dass die so ermittelte Dimension in den
meisten Fällen nicht ganzzahlig ist.
Es gibt aber auch Fraktale, die nicht selbstähnlich oder nur
eingeschränkt selbstähnlich sind. Für solche Fraktale kann man die
Dimension nicht über die Selbstähnlichkeit bestimmen. Diese
Problematik wird im dritten Kapitel durch einen weiteren
Dimensionsbegriff, die Boxdimension, gelöst.
2.3.2 Konstruktion von selbstähnlichen Fraktalen
Es gibt verschiedene Wege, Fraktale zu erzeugen. Allen Verfahren
gemein ist ein rekursives Vorgehen. Wir beschränken uns auf das
Erstellen von selbstähnlichen Fraktalen durch einen rekursiven
Prozess, der in jeder Stufe die drei Komponenten Verkleinern,
5 Einige besondere Fraktale mit ganzzahliger Dimension sind z.B. der Sierpinski-
Tetraeder, die Peano-Kurve und die Hilbert-Kurve. Alle drei Fraktale haben die
Dimension 2.

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mehrfaches Kopieren und anschließendes Zusammensetzen der Kopien
beinhaltet.
1. Beispiel
Nehmen wir als Grundelement (Initiator) eine einfache Strecke. Wir
verkleinern die Strecke mit dem Skalierungsfaktor s = 1 3
und erstellen
von diesem Element 4 Kopien. Diese setzen wir nun so zusammen, wie
in Stufe 1 bei Abb. 2.2 gezeigt. (Generator) Die gewonnene Figur wird
wiederum mit s = 1 3
verkleinert, kopiert und mit den Kopien
zusammengefügt, usw. (Stufe 2, Stufe 3, ...).
Stufe 0
Stufe 1
Stufe 2
Stufe 3
Abb. 2.2: Entstehung der Koch-Kurve
Das beschriebene Verfahren zum Erstellen von Fraktalen wird oft auch
unter Verwendung eines Initiators und eines Generators dargestellt.
Der Vorteil dabei ist, dass die Art des Zusammenfügens der Kopien im
Allgemeinen im Generator ablesbar ist. Das Grundelement, der
Initiator, ist in unserem Fall die Ausgangsstrecke. Der Generator ist
eine Figur, durch welche der Initiator ersetzt werden soll. Er besteht
aus einer bestimmten Anzahl von entsprechend verkleinerten

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Initiatorelementen. In Abb. 2.2 entspricht Stufe 1 dem Generator. In
jeder weiteren Stufe wird nun jedes Initiatorelement durch eine
entsprechend verkleinerte Kopie des Generators ersetzt. Dieses wird
unendlich oft fortgesetzt.
2. Beispiel
Abb. 2.3: Konstruktion mit Initiator und Generator
Hier werden 3 Kopien des mit s = ! 1 verkleinerten Initiators (Quadrat)
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zum Generator zusammengesetzt.
Wählt man nun denselben Initiator und ergänzt im Generator
verschiedene Drehvorschriften, ergeben sich eine Vielzahl an
Fraktalen, die gebildet werden können. Um die Drehvorschrift im
Generator ablesen zu können, ist eine Ecke des Initiators markiert.
Abb. 2.4: Drehungen im Generator