Integralrechnung (Skriptum)

Partialbruchzerlegung:
3x 2 +7x − 1
x 3 +3x 2 − 4 =
A
x − 1 +
B
x +2 +
C
(x +2) 2 |·(x − 1)(x +2) 2
3x 2 +7x − 1=A(x +2) 2 + B(x − 1)(x +2)+C(x − 1)
x = −2 : −3 =C · (−2 − 1) ⇒ C =1
x =1: 9=A · (1 + 2) 2 ⇒ A =1
x =0: −1 =4A − 2B − C ⇒ B =2
Da die Nullstellen 1 und −2 schon ”
verbraucht“ sind, verwenden wir irgendeinen
anderen praktischen Wert, z.B. x =0.
Integration:
∫ 3x 2 +7x − 1
x 3 +3x 2 − 4 dx = ∫
∫
1
x − 1 dx +
∫
2
x +2 dx +
1
(x +2) 2 dx
denn:
∫
=ln|x − 1| +2· ln |x +2|− 1
x +2 + c
∫
1
1
(x +2) 2 dx = z 2 dz = −z−1 = − 1
x +2
6 Bestimmtes Integral & Flächeninhalt
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Gebietes, welches von krummen
Linien begrenzt wird?
Beispiel 6.1. Gegeben ist eine Funktion f : y = f(x).
Gesucht ist die unter der Funktion liegende Fläche.
Genauer:
Gesucht ist der Flächeninhalt A zwischen f und den Senkrechten
x = a und x = b.
Exakt: {(x|y) :a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
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