Integralrechnung (Skriptum)

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(∫ Beweis. (∫ (f(x) ± g(x)) dx) ′ = f(x) ± g(x) ∫ f(x) dx ± ′ (∫ g(x) dx) = ′ (∫ f(x) dx) ± = f(x) ± g(x) ) ′ g(x) dx Dabei haben wir im zweiten Teil die Summenregel der Differentiation verwenden. Somit sind beide Teile gleich, also ist die Behauptung bewiesen. Theorem 2.2. Konstantenregel Einen konstanten Faktor kann man vor das Integrationszeichen setzen: ∫ ∫ k · f(x) dx = k · f(x) dx , k ≠0 Beweis. (∫ ( ∫ k · k · f(x) dx) ′ = k · f(x) ′ (∫ f(x) dx) = k · f(x) dx) ′ = k · f(x) Dabei haben wir im zweiten Teil die Konstantenregel der Differentiation verwenden. Somit sind beide Teile gleich, also ist die Behauptung bewiesen. 6
∫ Beispiel 2.1. ∫ 3x 2 dx =3· ↑ Konstantenregel ( x x 2 3 ) dx =3· 3 + c = x 3 +3c = x 3 + c 1 ↑ Grundregel für x α oder mit der Summenregel: ∫ ∫ ( x 3x 2 dx = (x 2 + x 2 + x 2 3 ) ( x 3 ) ( x 3 ) )dx = 3 + c 1 + 3 + c 2 + 3 + c 3 =3· x3 3 +(c 1 + c 2 + c 3 )=x 3 + c Beispiel 2.2. ∫ ∫ e x e dx = 1 e ∫ e x dx = 1 e · (ex + c) = ex e + c e = ex−1 + c 1 e x−1 dx können wir noch nicht, denn in der Formel steht e x ,nichte x−1 . Beispiel 2.3. ∫ = ∫ 1 dx − 2 ∫ ∫ (1 − x) 2 dx = (1 − 2x + x 2 ) dx = ∫ xdx+ x 2 dx =(x + c 1 ) − 2 · ( x2 2 + c 2)+( x3 3 + c 3)= = x − x 2 + x3 3 +(c 1 − 2c 2 + c 3 )=x − x 2 + x3 3 + c Die Formel für x α dürfen wir hier nicht direkt anwenden, da hier die Basis x ist und nicht (1 − x)! Müssen also Ausquadrieren und unsere Regeln verwenden. Integrationskonstanten können einfach am Schluss dazugeschrieben werden. Es gibt nur Summen- und Differenzenregel, für Produkte und Quotienten gibt es im Gegensatz zur Differentiation keine Regeln. Ebenso wenig bei Verknüpfungen. Viele Integrale können wir mit unseren Regeln nicht lösen. Wir lernen nun 3 Möglichkeiten kennen, um ein paar mehr Integrale berechnenzukönnen. Sehr viele Integrale lassen sich überhaupt nicht explizit ausrechnen. 7
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Seite 5: Gibt man c einen speziellen Wert, s
Seite 9 und 10: • Den Quotient von cos x und √
Seite 11 und 12: ∫ ∫ ln xdx= x · ln x − x ·
Seite 13 und 14: A 1 (x − x 1 ) 1 , A 2 (x − x 1
Seite 15 und 16: Partialbruchzerlegung: 3x 2 +7x −
Seite 17 und 18: Abbildung 4: beliebige Kurve - A =?
Seite 19 und 20: Abbildung 8: Flächeninhalt 2 Der o
Seite 21 und 22: Abbildung 11: A = F (b) − F (a) F
Seite 23 und 24: Flächeninhalt unter f(x) =sinx üb

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