Finite Differenzen Verfahren zur numerischen ... - Michael Szell

2.5. Grundgleichungen 14
Abbildung 2.7: Wirkung der Zentrifugalkraft auf die Normalspannung. (Quelle: [NiT05, S. 86])
2.5 Grundgleichungen
Unter den Grundgleichungen der Strömungsmechanik versteht man die mathematischen
Formulierungen des Erhaltungsprinzips für Masse, Impuls und
”
Energie. Diese drei Größen werden in bezug auf einen in der Regel ortsfesten
(endlichen oder infinitesimal kleinen) Kontrollraum einzeln bilanziert. Sie
können über die Kontrollraumgrenzen ein- und austreten, im Kontrollraum
aber weder vernichtet noch erzeugt werden.“ (Quelle: [Her02, S. 47])
In diesem Abschnitt sollen die zwei für ELBA relevanten Grundgleichungen für Masse
und Impuls hergeleitet werden. Gleichungen für Energie werden wegen der Isothermalitätsannahme
nicht verwendet. Die Herleitung erfolgt beruhend auf grundlegenden
strömungsmechanischen Ansätzen aus [Her02] und [Wen92].
2.5.1 Kontinuitätsgleichung
Aus dem physikalischen Grundgesetz der Massenerhaltung folgt, dass die Masse ∆m
eines Fluidelements erhalten bleibt, sich also nicht ändert. In Lagrangescher Schreibweise:
D∆m
Dt
= 0 (2.15)
Diese Grundgleichung zur Erhaltung der Masse heißt Kontinuitätsgleichung.
Für ein inkompressibles zweidimensionales Fluid ohne Abflusshöhe
Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung im ELBA-Modell wird sie zuvor an einem
inkompressiblen zweidimensionalen Fluid ohne Abflusshöhe demonstriert.