Finite Differenzen Verfahren zur numerischen ... - Michael Szell

4.4. Hochauflösende Verfahren 50
Leider erweist sich dieser erste Versuch als ähnlich dissipativ wie das Lax-Friedrichs Schema
selbst. Modifikation schafft allerdings erhebliche Verbesserung. Tóth und Odstrčil
[TO96] empfehlen das Hinzumultiplizieren der globalen Courant-Zahl τ δ max i(|a i+1/2 |)
zum dissipativen Limiter, was die meisten wünschenswerten Eigenschaften der TVD-
Methode erhält und zum in [WH01] untersuchten MTVDLF (modified TVDLF) Schema
führt:
φ MTVDLF
j+1/2
In [CLS89] findet sich weiters
= max(|a i+1/2 |)(U R
i
j+1/2 − U j+1/2 L ) (4.50)
φ j+1/2 = max(|a i+1/2 (U R
i
i+1/2 )|, |a i+1/2(Ui+1/2 L )|)(U j+1/2 R − U j+1/2 L ) (4.51)
und der lokale Ansatz
φ j+1/2 = max(|a j+1/2 (Uj+1/2 R )|, |a j+1/2(Uj+1/2 L )|)(U j+1/2 R − U j+1/2 L ). (4.52)
Die Variable a steht für die Geschwindigkeit am jeweiligen Punkt. Abbildung 4.12 zeigt
am Beispiel der linearen Wellengleichung eine erhebliche Verbesserung bei Anwendung
des MTVDLF Schemas im Gegensatz zu den klassischen Methoden aus Abschnitt 4.3.
Abbildung 4.12: Implementierung des MTVDLF Verfahrens anhand der linearen Wellengleichung
Anmerkung zur zweidimensionalen Implementierung
Zweidimensionale TVD Methoden besitzen – außer in trivialen Fällen – höchstens Ordnung
Eins, [LeV92, S. 206]. Es besteht die Möglichkeit zur Anwendung von Strang splitting,
wo das zweidimensionale Problem in eindimensionale Subprobleme in Richtungen
der Koordinatenachsen zerlegt wird. Dies bringt allerdings Schwierigkeiten mit sich, z. B.
eine Voreingenommenheit des Schemas in die Koordinatenrichtungen. Auf diesem Gebiet
sind noch einige theoretische Fragen ungelöst, viele vorhandene Implementierungen sind
von empirischer Natur.