Finite Differenzen Verfahren zur numerischen ... - Michael Szell

4.4. Hochauflösende Verfahren 46
Eine Liste einiger Limiter die im Laufe der Zeit definiert wurden findet sich z. B. in
[Hir90, S. 537 ff.]. Die zwei einfachsten lauten:
Minmod: φ mm (θ) = max(0, min(1, θ)) (4.38)
Superbee: φ sb (θ) = max(0, min(1, 2θ), min(θ, 2)) (4.39)
Sie entsprechen dem unteren bzw. oberen Rand des TVD Gebietes, siehe Abb. 4.8. Der
Minmod Limiter ist der am meisten, der Superbee Limiter der am wenigsten auf diesem
Gebiet definierte diffusive. Letzterer wirkt oft sogar anti-diffusiv. Die Wahl des Flux-
Limiters hängt vom jeweiligen Problem ab und muss empirisch ermittelt werden – einen
besten“ Flux-Limiter gibt es nicht.
”
Abbildung 4.8: Minmod Limiter (links) und Superbee Limiter (rechts) im TVD-Gebiet zweiter
Ordnung
Slope-Limiter und Rekonstruktion
In engem Zusammenhang mit dem Flux-Limiter steht die Idee des Slope-Limiters, der
aus der am Ende von Abschnitt 4.3.1 erwähnten Godunov Methode hervorgeht. Die
Godunov Methode basiert auf einer Funktion ũ k (x, t k ), die eine stückweise konstante
Rekonstruktion der Zellwerte aus den vorhandenen Daten U k j darstellt, siehe Abb. 4.9
links, d. h.:
ũ k (x, t k ) ≡ U k j für x ∈ [x j−1/2 , x j+1/2 ] (4.40)
Aus diesen rekonstruierten Werten wird nach exakter Lösung der Gleichungen die Funktion
ũ k (x, t k+1 ) bestimmt, die, wie in Gleichung (4.4), gemittelt über die Zelle die neuen
Gitterwerte Uj
k+1 liefert.
Eine natürliche Ausweitung dieser Vorgangsweise besteht in einer stückweise linearen
statt konstanten Rekonstruktion der Zelle [x j−1/2 , x j+1/2 ], also
ũ k (x, t k ) = U k j + σ k j (x − x j ), (4.41)
mit einer entsprechenden Steigung σj k. Abhängig von der Definition von σk j folgen in
direkter Konsequenz geometrische Auswirkungen. Hat man es etwa mit der linearen