Kurze Geschichte der linearen Algebra

Kurze Geschichte der linearen Algebra
Dipl.-Inform. Wolfgang Globke
Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Differentialgeometrie
Universität Karlsruhe
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Entwicklung
Die Historische Entwicklung der linearen Algebra entspricht grob
der umgekehrten Reihenfolge des Stoffes in der Vorlesung.
Die Wurzeln der linearen Algebra:
lineare Gleichungssysteme,
Geometrie.
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Lineare Gleichungen – Ursprünge
Lineare Gleichungen treten in natürlicher Weise bei vielen
Problemen auf.
Die Babylonier behandelten bereits um 2000 v.Chr. lineare
Gleichungsysteme mit zwei Unbekannten,
ax + by = p,
cx + dy = q.
Unbekannte wie hier x, y traten nur in Form konkreter Größen
(Länge, Breite, Gewicht, etc.) auf.
Die meisten Probleme waren durch konkrete geometrische
Fragestellungen motiviert.
Keine allgemeine Lösungstheorie für LGSe.
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Lineare Gleichungen – Ursprünge
Den chinesischen Mathematikern um 200 v.Chr. waren
Methoden zur Lösung von 3 × 3-LGSen bekannt.
Sie erkannten, dass die Struktur eines LGS unabhängig von
seinen Variablen ist und nur durch die numerischen
Koeffizienten bestimmt ist.
Dies führte sie schon auf eine matrixartige Schreibweise,
⎛
a b
⎞
c
⎝d e f ⎠ ,
g h i
auf das ein Verfahren ähnlich der Zeilenelimination angewandt
wurde.
Auch hier gab es noch keine allgemeine Lösungstheorie.
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Determinanten
Die erste systematische Untersuchung von LGSen wird Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) zugeschrieben.
Er kannte noch keine Matrizen, aber führte die Formeln für
Determinanten direkt für 2 × 2 und 3 × 3-LGSe ein.
Seine Ergebnisse wurden zu Lebzeiten nicht veröffentlicht.
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Determinanten
Später war es Gabriel Cramer (1704-1752), der die nach ihm
benannte allgemeine Lösungsformel für Systeme von n Gleichungen
in n Unbekannten veröffentlichte.
Seine Arbeit an LGSen war motiviert durch geometrische
Probleme, nämlich das Bestimmen einer algebraischen Kurve, die
durch gewisse vergegebene Punkte laufen sollten.
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Determinanten
Bis ins 18. Jhd. wurde das Studium linearer Gleichungssysteme
als die Theorie der Determinanten aufgefasst.
Daher wurden nur Systeme mit n Gleichungen und n
Unbekannten untersucht.
Unter- oder überbestimmte LGSe wurden ignoriert.
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Gauß-Algorithmus
Carl Friedrich Gauß (1777-1855) betrachtete LGSe im
Zusammenhang mit astronomischen Problemen.
1811 entwickelte er dafür den nach ihm benannten Algorithmus.
Damit gab er erstmals ein systematisches Verfahren zur Lösung
von LGSen an, bei denen die Anzahl der Gleichungen und
Variablen verschieden ist.
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Matrizen
Auch Gauß verwendete keine Matrizen für seine linearen
Gleichungssysteme.
Die chinesischen Mathematiker benutzten Matrizen, aber
diese waren lediglich ein Kurznotation für LGSe und wurden
nicht als algebraische Objekte aufgefasst.
Als algebraische Objekte wurden Matrizen von Gauß
eingeführt, jedoch nicht für LGSe, sondern um lineare
Abbildungen x ↦→ Ax zu beschreiben.
Er führte auch implizit das Matrizenprodukt ein, um die
Verknüpfung von linearen Abbildungen zu berechnen.
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Matrizen
Der erste, der Matrizen systematisch als algebraische Objekte
untersuchte, war Arthur Cayley (1821-1895).
Er erkannte den Zusammenhang zwischen Matrizen als
algebraischen Objekten und LGSen, und er erkannte die
Ringstruktur von Matrizen über R und C
(auch wenn der Begriff ”
Ring“ noch nicht erfunden war).
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Matrizen
In der Mitte des 19. Jhd. wurde die Theorie der Matrizen
weiterentwickelt.
In dieser Zeit wurden verschiedene Klassifikationsresultate für
Matrizen gefunden (orthogonale, unitäre, symmetrische
Matrizen).
Diese Klassifikationen basieren im Wesentlichen auf der
Untersuchung der Eigenwerte und Eigenräume der Matrizen.
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Jordansche Normalform
Eine vollständige Klassifikation der komplexen Matrizen beruht auf
der Jordanschen Normalform, die von Camille Jordan (1838-1922)
eingeführt wurde.
Das Prinzip dieser Normalform ist es, eine vollständige Zerlegung
in verallgemeinerte Eigenräume für eine Matrix zu finden.
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Vektoren und Koordinaten
Die geometrischen Wurzeln der linearen Algebra liegen in der
klassischen Vektorrechnung.
Vektoren tauchten ursprünglich in der Physik auf, um
physikalische Größen zu beschreiben, die sowohl einen Betrag
als auch eine Richtung besitzen (Geschwindigkeit, Kraft,
Impuls, etc.).
Mit der Einführung von cartesischen Koordinaten durch
René Descartes (1596-1650) war die Grundlage für die
algebraische Behandlung von Vektoren gegeben.
Es verging viel Zeit, bis der heutige abstrakte
Vektorraumbegriff formuliert werden konnte.
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Komplexe Zahlen und Quaternionen
William Rowan Hamilton (1805-1865) studierte komplexe Zahlen
und Quaternionen.
Er erkannte, dass ihnen eine geometrische Struktur zugrunde liegt,
und dass diese geometrische Struktur eng mit ihren algebraischen
Eigenschaften verknüpft ist.
Die Ausformulierung dieser Strukturen war der erste Schritt zur
axiomatischen Definition von Vektorräumen.
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n Dimensionen
Cayley und Hamilton entwickelten diese
geometrisch-algebraischen Strukturen weiter.
Der nächste Schritt war die Verallgemeinerung der konkreten
Beispiele auf n-dimensionale Räume.
Auf diesem Wege wurde auch der Begriff der Dimension zum
ersten Mal relevant.
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Grassmanns Ausdehnungslehre
Bahnbrechende Arbeit auf diesem Gebiet wurde auch von
Hermann Günter Grassmann (1809-1877) geleistet.
Er veröffentlichte 1844 eine Arbeit über Ausdehnungslehre, in der
bereits alle modernen Konzepte der endlichdimensionalen
Vektorräume enthalten waren.
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Grassmanns Ausdehnungslehre
Bei Grassmann war ein Vektorraum im Prinzip definiert als die
Menge aller Linearkombinationen
λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + . . . + λ n b n ,
wobei eine Basis {b 1 , . . . , b n } als gegeben vorausgesetzt
wurde.
Für diese Linearkombinationen sollten die bekannten
Rechenregeln für Vektorräume gelten (Assoziativität,
Kommutativität, Distributivgesetze, etc.).
Grassmann bewies verschiedene Aussagen zur Dimension von
Vektorräumen, unter anderem den Dimensionssatz
dim V + dim W = dim(V + W ) + dim(V ∩ W ).
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Axiomatische Definition
Motiviert durch Grassmans Arbeiten gab
Guiseppe Peano (1858-1932)
eine axiomatische Definition von reellen Vektorräumen, die der
heutigen sehr nahe kommt.
Er führte auch das in mündlichen Prüfungen sehr beliebte Axiom
0 · x = 0
ein.
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Axiomatische Definition
Die heutige Formulierung der Vektorraumaxiome erschien 1930
zum ersten Mal in dem Buch Moderne Algebra von
Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996), in dem er
Vektorräume über beliebigen Körpern als Spezialfall von Moduln
über Ringen einführte.
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MacTutor History of Mathematics
I. Kleiner
A History of Abstract Algebra (Birkhäuser)
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