IV. Testen von Hypothesen - SUPERNOWA.de

9 Signifikanztest und Binomialverteilung Stochastik 

IV. Testen von Hypothesen 

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IV. 

Testen von Hypothesen 

9 Signifikanztest und Binomialverteilung 

9.0 Wiederholung einer binomialverteilten Zufallsgröße 

9.0.1 Allgemeines 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette heißt Binomialverteilung. 

Trefferwahrscheinlichkeit: PX k Bn; p; 

k W k 

Erwartungswert: E X 

Varianz: 

2 

Var X 

Standardabweichung: 

9.0.2 Beispiel 

 

n k nk n 

k 

p q p 1 

p 

k k 

n 

p 

n p q 

n p 

q 

n 20 

p 0,7 

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl k der Treffer an. 

 

nk 

supernowa.de super-nowa.de 18.03.2013




k 

20 

k 20k 

Wk PX k B20;0,7; k 

0,7 0,3 

k 

Tafelwerk 

0 0,00000000003486784401 

1 0,0000000016271660538 

2 0,0000000360688475259 

3 0,0000005049638653626 

4 0,00000500755833151245 0,00001 

5 0,0000373897688752929 0,00004 

6 0,000218106985105875 0,00022 

7 0,00101783259716075 0,00102 

8 0,00385928193090118 0,00386 

9 0,012006654896137 0,01201 

10 0,030817080900085 0,03082 

11 0,0653695655456349 0,06537 

12 0,114396739704861 0,11440 

13 0,164261985217236 0,16426 

14 0,191638982753442 0,19164 

15 0,17886305056988 0,17886 

16 0,13042097437387 0,13042 

17 0,0716036722052622 0,07160 

18 0,0278458725242686 0,02785 

19 0,00683933711122388 0,00684 

20 0,000797922662976119 0,00080 

0,20 

0,18 

0,16 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

B(20; 0,7; k) 

k 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 





9.1 Linksseitiger einseitiger Signifikanztest 

9.1.1 Die Behauptung eines Schülers soll getestet werden; 

Ermittlung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei gegebener Entscheidungsregel 

Schüler Foskar behauptet, er sei in Mathematik ein guter Schüler und müsse daher nicht am 

Ergänzungsunterricht teilnehmen. Nach dem Notenschlüssel des Unterrichtsministeriums gilt 

als guter Schüler, wer bei einer Mathe-Prüfung mindestens 70 % der maximal möglichen Bewertungseinheiten 

erzielt. Lehrer Bossching führt nun mit dem Schüler Foskar einen Test mit 

20 Aufgaben durch und entscheidet dann aufgrund des Testergebnisses, ob er die Behauptung 

H 

0 

des Schülers glaubt oder nicht. Durch diesen Test wird also nicht geklärt, ob Foskar wirklich 

ein guter Schüler ist oder nicht. Es geht nur darum, ob der Lehrer aufgrund des Testergebnisses 

dem Schüler glaubt oder nicht. 

Es gibt folgende vier Möglichkeiten: 

H 

0 

trifft zu 

H 

0 

trifft nicht zu 

H 

0 

wird angenommen H 

0 

wird abgelehnt 

richtige Entscheidung für H 

0 

Sicherheitswahrscheinlichkeit 1. Art 

H0 

wird irrtümlich angenommen 

falsche Entscheidung für H 

0 

Fehler 2. Art (β-Fehler) 

Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art 

H0 

wird irrtümlich abgelehnt 

falsche Entscheidung gegen H 

0 

Fehler 1. Art (α-Fehler) 


 

richtige Entscheidung gegen H 

0 


Am schlimmsten ist, wenn man H 

0 

ablehnt, obwohl H 

0 

zutrifft, also H 

0 

irrtümlich ablehnt: 

krasses Fehlurteil, α-Fehler. 

Zu ermitteln ist daher, wie groß diese Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art ist, also die Wahrscheinlichkeit 

dafür, dass die Behauptung des Schülers irrtümlich abgelehnt wird. 

Als Entscheidungsregel legt der Lehrer fest, dass er dem Schüler glaubt, wenn mindestens 13 

Aufgaben richtig gelöst werden: 13 BE ergeben 8 Notenpunkte (Note 3). 





Art des Tests: linksseitiger (einseitiger) Signifikanztest 

Testgröße X: Anzahl der richtig gelösten Aufgaben (Trefferanzahl) unter n 20 gestellten 

Aufgaben 

Testlänge: n 20 

 

H : p 

0,7 

0 

 

H : p 0,7 

1 

A 0; ;12 

A 13; ;20 

20 20 

P 

1 

PA PX 

13 

A P0,7 X 12 F0,7 

12 

0,22773 

 

1PX 

121F12 

10,22773 0,77227 

Die Wahrscheinlichkeit und damit das Risiko, dass bei der durch den Lehrer festgelegten Entscheidungsregel 

aufgrund des Testausgangs die Behauptung Foskars, er sei ein guter Schüler, 

irrtümlich abgelehnt wird, ist mit über 22 % außerordentlich groß. Die festgelegte Entscheidungsregel 

ist daher nicht sinnvoll anwendbar. Es soll nun eine neue Entscheidungsregel so 

festgelegt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 3 % (Signifikanzniveau = 

maximale Irrtumswahrscheinlichkeit) beträgt. 

9.1.2 Die Behauptung eines Schülers soll getestet werden; 

Festlegung der Entscheidungsregel bei vorgegebenem Signifikanzniveau 

Die Wahrscheinlichkeit und damit das Risiko, dass bei der durch den Lehrer festgelegten Entscheidungsregel 

aufgrund des Testausgangs die Behauptung Foskars, er sei ein guter Schüler, 

irrtümlich abgelehnt wird, ist mit über 22 % außerordentlich groß. Die festgelegte Entscheidungsregel 

ist daher nicht sinnvoll anwendbar. Es soll nun eine neue Entscheidungsregel so 

festgelegt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 3 % (Signifikanzniveau = 

maximale Irrtumswahrscheinlichkeit) beträgt. 


Testgröße X: Anzahl der richtig gelösten Aufgaben (Trefferanzahl) unter n 20 gestellten 

Aufgaben 


Signifikanzniveau: 0,03 

 

H : 0 

0,7 

A k1; ; 20 

 

 

p 

A 10; ;20 

 

 

H : p 0,7 

1 

 

A 0; ; k 

 

20 20 

 

P A P X k F k 

0,7 0,7 

0,03 

k 9 

maximaler Ablehnungsbereich: 

A 0; ;9 

tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit: 

20 20 

P A P X 9 F 9 0,01714 

0,7 0,7 





9.1.3 Gorleben: Weniger Mädchen geboren 

Nürnberger Nachrichten vom 24. Februar 2011 

Gorleben: Weniger 

Mädchen geboren 

Forscher vermutet Zusammenhang mit 

dem Atom-Zwischenlager 

GORLEBEN - Im Umfeld des Atomzwischenlagers 

in Gorleben werden deutlich 

weniger Mädchen geboren als im 

Bundesdurchschnitt. 

Seit Inbetriebnahme des Lagers 1996 

wurden nach einer der Nachrichtenagentur 

dpa in Hannover vorliegenden Untersuchung 

von Wissenschaftlern des Helmholtz- 

Zentrums München „signifikant“ weniger 

Mädchen geboren. „Ich halte dies nicht für 

einen Zufall“, sagt Ralf Kusmierz, einer der 

Autoren der Studie. 

Seit Beginn der Einlagerung hätten in 

den an das Zwischenlager grenzenden Gemeinden 

120 Jungen und 111 Mädchen das 

Licht der Welt erblickt, während derzeit im 

Bundesdurchschnitt 1055 Geburten von 

Jungen auf 1000 Mädchen-Geburten kämen. 

Kusmierz hatte im vergangenen Jahr 

bereits festgestellt, dass rund um das marode 

Atommülllager Asse der Jungenanteil 

unter den Geborenen ebenfalls extrem 

überhöht sei. Da in der Asse radioaktive 

Emissionen bekannt seien, sei hier die Ursache 

erkennbar, sagte Kusmierz. „In Gorleben 

sind mir die Ursachen jedoch nicht 

klar.“ 

(Null-)Hypothese H 0 : Mädchenanteil (Trefferwahrscheinlichkeit) 

Gegenhypothese 

H 1 : Mädchenanteil (Trefferwahrscheinlichkeit) 

 

1000 

p 

2055 

1000 

p 

2055 

Dass für Gorleben nicht H 0 , sondern H 1 zutrifft, meint Ralf Kusmierz durch eine Stichprobe 

1000 

der Länge n 231 belegen zu können, denn für n 231 und p beträgt der Erwartungswert 

n p 231 112,4 Mädchengeburten, in Gorleben wurden jedoch nur 

2055 

1000 

2055 

111 Mädchengeburten registriert. Ist dieses Stichprobenresultat signifikant genug, um H 0 abzulehnen? 

Man weiß nicht, ob H 0 auch für Gorleben zutrifft oder nicht zutrifft. Aber man kann aufgrund 

des Stichprobenresultats H 0 auch für Gorleben annehmen oder ablehnen. 






Testgröße X: Anzahl der Mädchengeburten bei n 231 Geburten insgesamt 


1000 

1000 

H0 

: p 

H1 

: p 

2055 

2055 

A 112; ;231 

A 0; ;111 

übrigens (siehe Technik 13): 

P A PX 111 F111 

0,45224 

sehr große Irrtumswahrscheinlichkeit 

9.2 Rechtsseitiger einseitiger Signifikanztest 

9.2.1 Ausschussware: 


Ein Fliesenhersteller behauptet, der Ausschuss einer bestellten Ware betrage höchstens 10 %. 

Um diese Hypothese zu testen, vereinbart er mit dem Abnehmer der Ware, 25 Fliesen zu untersuchen. 

Befinden sich darunter mindestens sechs Ausschuss-Fliesen, so muss der Hersteller 

die Ware zurücknehmen. Zu ermitteln ist das Risiko für den Hersteller, bei dieser Entscheidungsregel 

die Ware irrtümlich zurücknehmen zu müssen. 

Art des Tests: rechtsseitiger Signifikanztest 

Testgröße X: Anzahl der Ausschuss-Fliesen unter n 25 getesteten Fliesen 


 

H : p 

0,1 

0 

 

H : p 0,1 

1 

A 

A 0; ;5 

6; ;25 

1 

P A P X 5 

0,96660 

P A P X 61PX 

5 

25 

1F 

5 10,96660 0,0334 



Ein Obstgroßhändler behauptet, dass höchstens 5 % seiner Bananen ungenießbar sind. Um 

diese Hypothese zu testen, vereinbart er mit dem Abnehmer der Ware, 30 Bananen zu untersuchen. 

Das Risiko für den Händler, die Ware irrtümlich zurücknehmen zu müssen, soll 

höchstens 3 % betragen. 

0,1 

 

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Art des Tests: rechtsseitiger (einseitiger) Signifikanztest 

Testgröße X: Anzahl der Ausschuss-Bananen unter n 30 untersuchten Bananen 



 

H : 0 

0,05 

A 0; ; 

k 

 

 

p 

A 0; ; 4 

 

 

H : p 0,05 

1 

 

A k 1; ; 30 

 

 

P A P X k1 1P X k 1F k 0,03 

Fk 0,97 

30 

F k 

0,05 

0,97 

k 4 

größtmöglicher Ablehnungsbereich: 

A max 5; ;30 mit 

 

 

 

1F 

4 10,98436 0,01564 

9.3 Schematische Beispiele für einseitige Signifikanztests 

9.3.1 Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei einem linksseitigen Signifikanztest 

mit vorgegebener Entscheidungsregel 


Testgröße X: Anzahl der Treffer bei einem Stichprobenumfang von n 100 


 

H : p 

0,3 

0 

 

H : p 0,3 

1 

A 

A 22; ;100 

0; ; 21 

100 

1 

PA PX 

22 

P A PX 21 F0,3 

21 

0,02883 

1PX 

2110,02883 

 

0,97117 





9.2.3 Tombola 

Der Veranstalter einer sehr großen Tombola (große Grundgesamtheit Binomialverteilung) 

behauptet, dass mindestens ⅓ seiner Lose Gewinnlose (Treffer) sind. 

Diese Behauptung H 0 (Nullhypothese) des Veranstalters kann zutreffen oder nicht zutreffen. 

Und man kann diese Behauptung H 0 des Veranstalters annehmen oder ablehnen. 

(Null-)Hypothese H 0 : Trefferwahrscheinlichkeit 

Gegenhypothese 

H 1 : Trefferwahrscheinlichkeit 

 

1 

p 

3 

1 

p 

3 

Somit sind vier Fälle möglich: 

H 0 trifft zu 

H 0 trifft nicht zu 

H 0 wird angenommen 

I. 

richtige Entscheidung für H 0 


III. 

falsche Entscheidung für H 0 

Fehler 2. Art (β-Fehler) 


H 0 wird abgelehnt 

II. 

falsche Entscheidung gegen H 0 

Fehler 1. Art (α-Fehler) 


IV. 

richtige Entscheidung gegen H 0 


Schlimm ist, wenn man H 0 ablehnt, obwohl H 0 zutrifft: α-Fehler: Fehlurteil !!! 

Als Entscheidungshilfe soll die (Null-)Hypothese des Veranstalters durch eine zufällige Stichprobe 

untersucht (getestet) werden. Dazu werden n 30 Lose gezogen. Aufgrund einer Entscheidungsregel 

und des vorliegenden Stichprobenergebnisses wird dann die Hypothese des 

Veranstalters angenommen oder abgelehnt. 

Beim Ziehen der 30 Lose ist zu beachten: Für sehr große Grundgesamtheiten ist das geordnete 

oder auch ungeordnete Ziehen ohne Zurücklegen praktisch gleichwertig mit dem geordneten 

Ziehen mit Zurücklegen einer Bernoulli-Kette. 

Wenn die Behauptung des Veranstalters zutrifft, so ist die Stichprobe eine Bernouli-Kette der 

1 

Länge n 30 mit dem Parameter p . 

3 

Die Zufallsgröße oder Testgröße X gibt die Anzahl k der Gewinnlose (Treffer) unter den 30 

gezogenen Losen an. 





9.2.2 Ermittlung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei gegebener Entscheidungsregel 

Erinnerung: Erwartungswert: 

Standardabweichung: 

1 

n p 30 10 

3 

1 2 

n pq 

30 2,58 

3 3 

Entscheidungsregel: 

Wenn unter den 30 gezogenen Losen mindestens 8 Gewinnlose sind, so nimmt man die Behauptung 

H 0 des Veranstalters an. Sind unter den 30 gezogenen Losen aber höchstens 7 Gewinnlose, 

so entscheidet man sich für H 1 und lehnt die Behauptung H 0 des Veranstalters ab. 

W(k) 

0,16 

0,15 

0,14 

0,13 

0,12 

0,11 

0,10 

0,09 

0,08 

0,07 

0,06 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

0,01 

0,00 

k 

Annahmebereich für H 0 : A 8; ;30 

Ablehnungsbereich für H 0 : A 0; ;7 

Da sowohl die wahre Trefferwahrscheinlichkeit nicht festgestellt werden kann als auch der 

Ausgang der Stichprobe zufällig ist, kann die getroffene Entscheidung richtig oder falsch 

(Fehlurteil) sein. 






Testgröße X: Anzahl der Gewinnlose (Treffer) unter n 30 gezogenen Losen 


1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A 8; ;30 

A 0; ;7 

1 

PA PX 

8 

30 

P A PX 7 F1 3 

7 

0,16678 

1P X 7 10,16678 0,83322 

 

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Behauptung des Veranstalters abgelehnt wird, obwohl sie 

wahr ist, beträgt ca. 17 %. 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten β für die irrtümliche Annahme von H 0 und 1 

 

für die richtige Ablehnung von H 0 sind nicht möglich, da keine Trefferwahrscheinlichkeit für 

die Gegenhypothese H 1 vorliegt. 

9.2.3 Festlegung der Entscheidungsregel bei vorgegebenem Signifikanzniveau 

Die Irrtumswahrscheinlichkeit 0,16678 für die irrtümliche Ablehnung von H 0 ist sehr 

groß. Um eine kleinere Irrtumswahrscheinlichkeit zu erhalten, müssen der Annahmebereich A 

für H 0 vergrößert und der Ablehnungsbereich A für H 0 verkleinert werden. 

Es sollen der Annahmebereich A und der Ablehnungsbereich A für H 0 so festgelegt werden, 

dass die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 3 % (Signifikanzniveau) beträgt. 


Testgröße X: Anzahl der Gewinnlose unter n 30 gezogenen Losen 



1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A k 1; ; 30 

A 0; ; k 

 

 

 

 

30 

1 3 

 

P A P X k F k 0,03 

k 4 

A 

 

5; ;30 

 


A 0; ;4 

 

 

Bei diesem Ablehnungsbereich beträgt die 

Irrtumswahrscheinlichkeit: 

30 

1 3 

 

P A P X 4 F 4 0,01223 





9.3 Rechtsseitiger einseitiger Signifikanztest 



Ein Fliesenhersteller behauptet, der Ausschuss einer bestellten Ware betrage höchstens 10 %. 

Um diese Hypothese zu testen, vereinbart er mit dem Abnehmer der Ware, 25 Fliesen zu untersuchen. 

Befinden sich darunter mindestens sechs Ausschuss-Fliesen, so muss der Hersteller 

die Ware zurücknehmen. Zu ermitteln ist das Risiko für den Hersteller, bei dieser Entscheidungsregel 

die Ware irrtümlich zurücknehmen zu müssen. 


Testgröße X: Anzahl der Ausschuss-Fliesen unter n 25 getesteten Fliesen 


 

H : p 

0,1 

0 

 

H : p 0,1 

1 

A 

A 0; ;5 

6; ;25 

1 

P A P X 5 

0,96660 

P A P X 61PX 

5 

25 

1F 

5 10,96660 0,0334 



Ein Obstgroßhändler behauptet, dass höchstens 5 % seiner Bananen ungenießbar sind. Um 

diese Hypothese zu testen, vereinbart er mit dem Abnehmer der Ware, 30 Bananen zu untersuchen. 

Das Risiko für den Händler, die Ware irrtümlich zurücknehmen zu müssen, soll 

höchstens 3 % betragen. 


Testgröße X: Anzahl der Ausschuss-Bananen unter n 30 untersuchten Bananen 



 

H : 0 

0,05 

A 0; ; 

k 

 

 

p 

A 0; ; 4 

 

 

0,1 

 

H : p 0,05 

1 

 

A k 1; ; 30 

 

1 1 

P A P X k P X k 

 

Fk 

Fk 0,97 

30 

F k 

 

1 0,03 

0,05 

0,97 

k 4 


A max 5; ;30 mit 

 

 

 

1F 

4 10,98436 0,01564 





9.4 Schematische Beispiele für einseitige Signifikanztests 

9.4.1 Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei einem linksseitigen Signifikanztest 



Testgröße X: Anzahl k der Treffer 


 

H : p 

0,3 

0 

 

H : p 0,3 

1 

A 

A 26; ;100 

0; ;25 

100 

1 

PA PX 

26 

P A PX 25 F0,3 

250,16313 

1PX 

2510,16313 

 

0,83687 

9.4.2 Festlegung der Entscheidungsregel bei einem linksseitigen Signifikanztest mit 

vorgegebener Signifikanzniveau 





 

H : 0 

0,3 

A k 1; ;100 

 

p 

 

H : p 0,3 

1 

 

A 0; ; k 

 

100 

 

P A P X k F0,3 k 0,01 

k 19 


A 0; ;19 mit 

 

 

100 

0,3 

P A P X 19 F 19 0,00889 

9.4.3 Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei einem rechtsseitigen Signifikanztest 





 

H : p 

0,35 

0 

 

H : p 0,35 

1 

A 

A 0; ;22 

23; ;50 

1 

PA PX 

22 

0,92904 

P A P X 231PX 

22 

50 

1F 

22 10,92904 0,07096 

0,35 

 

 





9.4.4 Festlegung der Entscheidungsregel bei einem rechtsseitigen Signifikanztest mit 

vorgegebener Signifikanzniveau 





 

H : 0 

0,3 

A 0; k 

 

p 

 

H : p 0,3 

1 

 

A k 1; ;100 

 

1 1 


 

Fk 

Fk 0,99 

100 

F k 

9.5 Übungsaufgaben: einseitige Signifikanztests 

9.5.1 Haribo Goldbären 

1 0,01 

0,3 

0,99 

k 41 


A max 42; ;100 mit 

 

100 

0,3 

 

 

 

1F 

41 10,99283 0,00717 

Anlässlich des 85. Geburtstages der Goldbären überarbeitete der Fruchtgummihersteller Haribo 

im August 2007 seine Palette neu. Statt bisher fünf haben die Goldbären jetzt sechs Geschmacksrichtungen 

bzw. Farben. Die neuen Geschmacks- und Farbkombinationen sind Erdbeere 

(hellrot), Himbeere (dunkelrot), Apfel(grün), Zitrone (gelb), Orange (orange) und Ananas 

(weiß). 

Auf seiner österreichischen Webseite gibt Haribo bekannt, dass in einem vollautomatischen 

Produktions- und Abfüllvorgang die verschiedenfarbigen Goldbären gleichzeitig hergestellt 

1 

und jeweils 6 hellrot, dunkelrot, grün, gelb, orange und weiß gefärbt werden. 

Seit dieser Umstellung tritt bei Käufern bisweilen fälschlicherweise die Vermutung auf, dass 

1 

der Anteil der roten (hell und dunkel) Goldbären unter 3 gefallen ist. Daher führt eine Schulklasse 

aus Stochastadt einen Test mit 100 Goldbären durch. 





Ermitteln Sie, wie viele dieser 100 Goldbären rot sein dürfen, damit die Klasse mit höchstens 

5 % Wahrscheinlichkeit riskiert, irrtümlich anzunehmen, dass der Anteil der roten Goldbären 

1 

unter 3 liegt. 

Bestimmen Sie sodann, wie groß bei der von der Schulklasse aufgestellten Entscheidungsregel 

die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art tatsächlich ist. 


Testgröße X: Anzahl k der roten Gummibären bei n 100 getesteten Gummibären 



1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A k 1; ;100 

A 0; ; k 

A 

 

 

26; ;100 

 

 

 

 

100 

1 3 

 

P A P X k F k 0,05 

k 25 


A 0; ; 25 mit 

 

 

PX 

25 

P A 

F 

1 3 

100 

 

 

25 0,04583 

9.6 Abituraufgaben FOSBOS Mathematik Nichttechnik 12 

9.6.1 Abitur 2010 FOSBOS Mathematik Nichttechnik 12 Aufgabe S I Teil 3 

Ein Campingplatzbesitzer bezieht von einem Flüssiggaslieferanten 5 kg-Gasflaschen. Der 

Lieferant garantiert, dass das Füllgewicht nur in 3% aller Fälle unterschritten wird. Der misstrauische 

Campingplatzbesitzer vermutet, dass mehr als 3% der Gasflaschen das Füllgewicht 

unterschreiten. Zur Überprüfung testet der Lieferant aus einer größeren Lieferung 100 Flaschen. 

Geben Sie zu diesem Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an und ermitteln Sie deren 

größtmöglichen Ablehnungsbereich, wenn das Signifikanzniveau 5% betragen soll. 

Erklären Sie kurz, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht. 






Testgröße X: Anzahl k der Gasflaschen mit zu geringem Füllgewicht unter den n 100 

überprüften Gasflaschen 



 

H : 0 

0,03 

A 0; k 

 

p 

 

Kurzfassung: 

H : p 0,03 

1 

 

A k 1; ;100 

 

1 1 


 

 

Fk 0,95 

100 

F k 

 

1F k 0,05 

0,03 

0,95 

k 6 


A 7; ;100 

Testgröße X: Anzahl k der Gasflaschen mit zu geringem Füllgewicht unter den n 100 überprüften 

Gasflaschen 

 

H : 0,03 

0 

 

 

p 

A k 1; ;100 

 

 

P A P X k1 1P X k 1F k 0,05 

Fk 

0,95 

100 

F k 

0,03 

0,95 

k 6 

größtmöglicher Ablehnungsbereich: A 7; ;100 

Fehler 2. Art: H 0 wird irrtümlich angenommen, H 1 irrtümlich abgelehnt. 

Obwohl in der Wirklichkeit mehr als 3% der Gasflaschen das Füllgewicht von 

5 kg unterschreiten, entscheidet man sich aufgrund des Tests dagegen, weil 

man in der Stichprobe nur höchstens 6 fehlerhafte Flaschen findet. 

9.6.2 Abitur 2010 FOSBOS Mathematik Nichttechnik 12 Aufgabe S II Teil 2 

Auf Grund von zeitlich bereits länger zurückliegenden Kontrollen weiß man, dass 95% der 

PKW-Insassen angeschnallt sind. 

Bei einer späteren Kontrolle soll untersucht werden, ob sich der Anteil der angeschnallten 

Personen erhöht hat. Dazu wird ein Test mit 50 zufällig ausgewählten PKW, die jeweils mit 

genau vier Personen besetzt sind, durchgeführt. 

 

 





Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und bestimmen Sie den größtmöglichen 

Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. 

Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn 97% der kontrollierten Personen angeschnallt 

sind? 


Testgröße X: Anzahl k der angeschnallten Personen unter den n 200 überprüften Insassen 



 

H : 0 

0,95 

A 0; k 

 

p 

 

Kurzfassung: 

H : p 0,95 

1 

 

A k 1; ;200 

 

1 1 


 

 

Fk 0,95 

200 

F k 

 

1F k 0,05 

0,95 

0,95 

k 195 


A 196; ;200 

Testgröße X: Anzahl k der angeschnallten Personen unter den n 200 überprüften Insassen 

 

H : 0,95 

0 

 

 

p 

A k 1; ;200 

 

 

P A P X k1 1P X k 1F k 0,05 

Fk 

0,95 

200 

F k 

0,95 

0,95 

k 195 


97% von 200 = 194. Man entscheidet sich für H 0 . 


Jemand vermutet, dass sich der Anteil der silberfarbigen PKW von bisher 50% inzwischen 

modebedingt erhöht hat. Er möchte dies an Hand von 50 vorbeifahrenden Autos festen. 

Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Berechnen Sie den maximalen Ablehnungsbereich 

der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. 

 

 





Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn 30 silberfarbige PKW gezählt werden? 

Erklären Sie kurz, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht. 


Testgröße X: Anzahl k der silberfarbigen PK unter den n 50 getesteten PKW 



 

H : 0 

0,5 

A 0; k 

 

p 

 

Kurzfassung: 

H : p 0,5 

1 

 

A k 1; ; 50 

 

1 1 


 

 

Fk 0,95 

50 

F k 

 

1F k 0,05 

0,5 

0,95 

k 31 


A 32; ;50 

Testgröße X: Anzahl k der silberfarbigen PK unter den n 50 getesteten PKW 

 

H : 0,5 

0 

 

 

p 

A k 1; ; 50 

 

 

P A P X k1 1P X k 1F k 0,05 

Fk 

0,95 

50 

F k 

0,5 

0,95 

k 31 


Bei 30 silberfarbigen PKW entscheidet man sich für H 0 . 


Obwohl sich der Anteil der silberfarbigen PKW erhöht hat, entscheidet man 

sich aufgrund des Tests gegen diese Vermutung, weil man bei der Stichprobe 

nur höchstens 31 silberfarbige PKW gezählt hat. 

9.6.4 Abitur 2009 FOSBOS Mathematik Nichttechnik 12 Aufgabe S II Teil 5 

Beim Glücksspiel „Roulette“ verwendet man eine drehbare Scheibe mit 36 abwechselnd roten 

und schwarzen Nummernfächern sowie einem 37. (grünen) Fach für die Null. 

 

 





Im Folgenden werden Spiele, bei denen die 0 erscheint, außer Acht gelassen. Dann sollte das 

Ereignis „Zahl aus dem ersten Dutzend“ im Schnitt in einem Drittel aller Spiele eintreten. 

Lord Grips vermutet, dass dieses Ereignis bei einem bestimmten Roulette-Tisch im Casino 

von Nepphausen mit zu geringer Häufigkeit erscheint. Daher betrachtet er 200 Kugelwürfe in 

Hinblick auf „erstes Dutzend“. 

Geben Sie zu diesem Test die Testgröße sowie Null- und Gegenhypothese an und ermitteln 

Sie deren größtmöglichen Ablehnungsbereich, wenn das Signifikanzniveau 5% betragen soll. 

Erklären Sie, worin bei diesem Beispiel der Fehler 2. Art besteht und begründen Sie kurz, 

weshalb man dessen Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnen kann. 


Testgröße X: Anzahl k der Zahlen im „ersten Dutzend“ bei n 200 beobachteten Drehungen 



1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A k 1; ; 200 

A 0; ; k 

 

 

 

 

200 

1 3 

 

P A P X k F k 0,05 

k 55 


A 0; ;55 


Obwohl in Wirklichkeit das Ereignis „Zahl aus dem ersten Dutzend“ bei weniger 

als einem Drittel aller Spiele eintritt, entscheidet Lord Grips aufgrund des 

Tests, dass der Roulette-Tisch in Ordnung ist, weil bei der Stichprobe mindestens 

56 Zahlen aus dem „ersten Dutzend“ erscheinen. 

lässt sich nicht berechnen, weil für die Ge- 

p H angegeben ist. 

200 

Die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art P 

A 

pH 

1 

genhypothese keine Wahrscheinlichkeit 1 

 

 


In einer Jugendherberge wählen zum Mittagessen erfahrungsgemäß 3% der Gäste ein vegetarisches 

Gericht. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: 

E 2 : „Von 50 Gästen wählen mehr als 3 das vegetarische Gericht.“ 

E 3 : „Die Zahl der vegetarischen Essen bei 100 Gästen liegt innerhalb der einfachen Standardabweichung 

um den Erwartungswert.“ 

E 4 : „Von 100 Gästen essen 99 nicht das vegetarische Gericht.“ 





Aus aktuellen Beobachtungen schließt der Herbergsvater, dass der Anteil der vegetarischen 

Gerichte zugenommen hat. Um seinen Eindruck zu untermauern, führt er einen Test an 200 

zufällig ausgewählten Essensbestellungen durch. 

Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an und bestimmen Sie auf 

dem 5%-Niveau den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Ermitteln Sie für diesen 

Fall auch die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. 

50 50 50 50 

 

P E P V 3 P V 4 1P V 3 1F 

3 10,93724 0,06276 

2 0,03 0,03 0,03 0,03 

 

V n p 100 0,03 3 

n pq 

1000,030,97 2,91 1,71 

31,71V 

3 

1,71 

1,29 V 

4,71 

2V 

4 

100 

 

PE3 P0,03 2V4 PV2 PV3 PV4 

 

0,22515 0,22747 0,17061 0,62323 

100 100 100 

 

P E P 2 V 4 F 4 F 

1 0,81785 0,19462 0,62323 

3 0,03 0,03 0,03 

100 1 99 

1 0,03 0,97 0,14707 auch Tafelwerk) 

P E P V 

4 0,03 

100 

 

1 

100 99 1 

oder: PE P V 

99 0,97 0,03 0,14707 auch Tafelwerk) 

4 0,97 

100 

 

99 






Testgröße X: Anzahl k der vegetarischen Gerichte bei n 200 Bestellungen 



 

H : 0 

0,03 

A 0; ; k 

 

p 

 

H : p 0,03 

1 

 

A k 1; ;200 

 

1 1 

P A P V k P V k 

 

Fk 

0,95 

 

1 

0,05 

F k 

F k 

200 

0,03 

0,95 

k 10 


A 11; ;200 

 

 

11 1 10 

P A PV PV 

200 

0,03 

 

 

1F 

10 10,95987 0,04013 





9.4 Zweiseitiger Signifikanztest 

9.4.1 Gummibären: 


Ein Hersteller von Fruchtgummis behauptet, dass genau ⅓ seiner Gummibären rot gefärbt ist. 

Zum Testen dieser Behauptung sollen 30 zufällig ausgewählte Gummibären betrachtet werden. 

Die Hypothese des Herstellers wird angenommen, wenn mindestens 7 und höchstens 13 

der untersuchten Gummibären rot sind. 

Art des Tests: zweiseitiger Signifikanztest 

Testgröße X: Anzahl der roten Gummibären unter n 30 getesteten Gummibären 

n 30 

1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A 7; ;13 

A 0; ;6 14; ;30 

1 

PA P7 X 13 

P A PX 6PX 

14 

F13F6 

PX 

61PX 

13 

0,91023 0,08384 

 

30 30 

F1 61F1 

13 

3 3 

0,82639 

0,08384 10,91023 0,17361 

W(k) 

0,16 

0,15 

0,14 

0,13 

0,12 

0,11 

0,10 

0,09 

0,08 

0,07 

0,06 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

0,01 

0,00 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

k 





9.4.2 Festlegung der Entscheidungsregel bei vorgegebenem Signifikanzniveau 

Ein Hersteller von Fruchtgummis behauptet, dass genau ⅓ seiner Gummibären rot gefärbt ist. 

Zum Testen dieser Behauptung sollen 200 zufällig ausgewählte Gummibären betrachtet werden. 

Es soll der größtmögliche Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 1%- 

Signifikanzniveau ermittelt werden. 






Testgröße X: Anzahl k der roten Gummibären (Treffer) unter n 200 getesteten Gummibären 

Stichprobenlänge n 200 

0,01 

1 

1 

H0 

: p 

H1 

: p 

3 

3 

A a1; ; b 

A 0; ; a b1; ;200 

 

 

 

Amax 50; ;84 

 

 

 

P A P X a P X b1 0,01 

0,01 

PX 

a 0,005 

2 2 

13 

200 

F a 0,005 

a 49 

0,01 

PX 

b1 0,005 

2 2 

1P X b 

0,005 

 

1Fb 

0,005 

Fb 0,995 

200 

F1 3 

b 

0,995 

b 84 

Amax 0; ;49 85; ;200 

 

9.4.3 Schematisches Beispiel für die Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit bei 

einem zweiseitigen Signifikanztest mit vorgegebener Entscheidungsregel 




H : p 0,3 

0 

 

 

A 24; ;36 

 

H 

1 

: p 0,3 

A 0; ;23 37; ;100 

 

23 37 

P A P X P X 

23 1 PX 

36 

23 1 F36 

P X 

F 

0,07553 10,92012 0,15541 





9.4.4 Schematisches Beispiel für die Festlegung der Entscheidungsregel bei einem 

zweiseitigen Signifikanztest mit vorgegebenem Signifikanzniveau 




0,1 

H : p 0,3 

0 

A a1; ; b 

 

 

 

Amax 23; ;38 

 

H : p 0,3 

1 

A 0; ; a b1; ;100 

 

 

P A P X a P X b1 0,1 

P X a 0,05 

Fa 0,05 

a 22 

P X b1 0,05 

 

 

 

 

1Fb 

0,05 

Fb 0,95 

1P X b 

0,05 

Fb 0,95 

b 38 

Amax 0; ;22 39; ;100 

 





9.5 Aufgaben 

9.5.1 Parapsychologie 

Die Parapsychologie beschäftigt sich mit hellseherischen Fähigkeiten von Testpersonen. Eine 

Testperson muss versuchen, eine aus fünf verschiedenen Karten ausgewählte Karte zu identifizieren. 

Es werden n = 10 Versuche durchgeführt. 


Testgröße X: Anzahl k der richtig erkannten Karten (Treffer) 


 

H : p 

0,2 

0 

 

H : p 0,2 

1 

(keine hellseherischen Fähigkeiten) 

A 4; ;10 

A 0; 3 

P A P X 4 1P X 3 

 

 

 

 

10 

0,2 

 

1F 

3 10,87913 0,12087 

Die Wahrscheinlichkeit (das Risiko), einer „normalen“ Testperson irrtümlich hellseherische 

Fähigkeiten zuzuschreiben, beträgt ca. 12,1 %. 

9.5.2 Partei 

Eine politische Partei vermutet, von mindestens 40 % der Wähler unterstützt zu werden. Es 

werden 100 Wähler zufällig befragt. Wie viele dieser Wähler dürfen höchstens für die genannte 

Partei stimmen, wenn das Umfrageergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 

5 % nicht mit der vermuteten Unterstützung für die Partei übereinstimmen soll? 

Art des Tests: linksseitiger Signifikanztest 

Testgröße X: Anzahl der die Partei unterstützenden Wähler unter den 100 Befragten 


0,05 

 

H : p 

0,4 

0 

 

H : p 0,4 

1 

A 0; ; k 

A k 1; ;100 

 

 

9.5.3 Ideale Münze 

P A P X k Fk 

0,05 

k 31 


A 0; ;31 

Durch einen Test der Länge n = 10 soll entschieden werden, ob eine Münze sich ideal verhält. 

 

 






Testgröße X: Anzahl von Kopf bei 10 Versuchen 


H : p 0,5 

H : p 0,5 

0 1 

A 4;5;6 

A 0; ;3 7; ;10 

1 

PA P4 X 6 

P A P X 3PX 

7 

F6F3 

F31F6 

0,82813 0,17188 0,65625 

0,17188 10,82813 0,34375 

9.8 Abituraufgaben Grundkurs Bayern 

2001 - IV 

Ein Gesangverein hat 50 Mitglieder. Der Chorleiter vermutet, dass die Anwesenheitsquote unter 

85 % gefallen ist. Um diese Vermutung zu überprüfen, soll die Nullhypothese 

H 0 : p 0, 85 auf dem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu wird bei vier Chorproben 

jeweils die Anzahl der Anwesenden festgestellt. Die Entscheidung soll aufgrund der 

Summe dieser vier Zahlen getroffen werden. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel. 


Testgröße X: Anzahl der teilnehmenden Mitglieder 


0,05 

 

H : p 

0,85 

0 

 

H : p 0,85 

1 

A 

Ak 

1; ;200 

0; ; k 

P A F k 

 

A 162; ;200 

2000 - IV 

 

0,05 

k 161 

A 0; ;161 : 

Zur Steigerung ihres Bekanntheitsgrads beauftragt die Firma “Furore“ eine Agentur mit einer 

Werbekampagne. Es wird vereinbart, dass die Agentur eine besondere Prämie bekommen soll, 

wenn nach der Kampagne mindestens 95 % der Bevölkerung den Markennamen kennen. Es 

wird eine Umfrage unter 200 zufällig ausgewählten Personen durchgeführt. Bestimmen Sie 

die für Furore günstigste Vereinbarung mit der Agentur, bei der die Prämie mit einer Wahrscheinlichkeit 

von mehr als 80 % ausgezahlt wird, falls ein Bekanntheitsgrad von 95 % erreicht 

wurde. 

 

 






Testgröße X: Anzahl der Personen, die Furore kennen 


0,2 

 

H : p 

0,95 

0 

 

H : p 0,95 

1 

A 

Ak 

1; ;200 

0; ; k 

P A P X k 1 1Fk 

0,8 P A Fk 

0,2 

Fk 

0,2 

k 186 

k 186 

A 0; ;186 

: keine Prämie 

A 187; ;200 : Prämie wird bezahlt 

 

 

1998 - III 

Eine Glückswand besteht aus 20 Feldern mit genau drei Gewinnfeldern. Ein Kandidat behauptet, 

hellseherische Fähigkeiten zu besitzen und Gewinnfelder mit erhöhter Wahrscheinlichkeit 

zu erkennen. In einem Test muss er 200-mal versuchen, ein Gewinnfeld zu finden. 

Nach jedem Versuch werden die Felder neu verteilt. Dem Kandidaten sollen mit einer Wahrscheinlichkeit 

von höchstens 10 % irrtümlich hellseherische Fähigkeiten zugebilligt werden. 

Ermitteln Sie die Entscheidungsregel. 


Testgröße X: Anzahl der Gewinnfelder 


0,1 

 

3 

H0 

: p 0,15 

20 

A 0; ; k 

 

 

 

 

A 0; ;37 : Kandidat ist kein Hellseher 

H : p 0,15 

1 

 

A k 1; ;200 

 

 

P A P X k 1 1F k 0,1 

Fk 0,9 

k 37 

 

 

A 38; ;200 : Kandidat ist Hellseher 

1997 - III 

Der Besitzer eines Spielcasinos vermutet, dass bei einem neu gelieferten Spielautomaten 

Glückszahlen ungewöhnlich häufig auftreten. Der Automat soll ausgetauscht werden, wenn 

bei einem Test mit 200 Spielen die relative Häufigkeit der Glückszahlen mindestens 0,14 ist. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Automat nicht ausgetauscht wird, obwohl 

bei ihm Glückszahlen mit der Wahrscheinlichkeit 0,15 auftreten? 





Lösung: 

Der Automat wird ausgetauscht, wenn bei dem Test mindestens als 0,14 200 28 Glückszahlen 

auftreten. 


Testgröße X: Anzahl der Glückszahlen 


 

H : 0 

0,15 

A 28; ;200 

 

p 

 

H : p 0,95 

1 

 

A 0; ;27 

 

200 

 

P A F 0,15 

27 0,31659 

Mit 31,7 % Wahrscheinlichkeit wird der Automat nicht ausgetauscht. 

1994 - V 

1 

Jemand vermutet, dass bei einem Glücksrad die Trefferwahrscheinlichkeit p kleiner als 4 

ist. 

Um diese Vermutung zu testen, dreht er das Glücksrad 200-mal. Erscheint höchstens 40-mal 

Treffer, nimmt er seine Vermutung an. 

1 

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt er bei seiner Vermutung, obwohl p = 4 

ist? 

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwirft er seine Vermutung, obwohl p = 51 

. 


Testgröße X: Anzahl der Treffer 


1 

H0 

: p 

4 

A 41; ;200 

 

 

200 

1 5 

 

b) P A P X 41 1F 

40 

10,54218 0,45718 

1 

H1 

: p 

5 

A 0; ;40 

 

 

PX 

 

a) P A 40 

 

F 

1 4 

200 

 

 

40 0,05785

IV. Testen von Hypothesen - SUPERNOWA.de

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