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8 Normalverteilung Stochastik 

III. Statistik 

Seite 1 von 23 

8 Normalverteilung 

8.1 Wiederholung Binomialverteilung 

8.1.1 Gleichungen 

Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Binomialverteilungen 

n 

n 

P X x B n p x p q p p 

x 

x 

x n 

x x 

; ; 1 

 

2 

n p ; npqnp1 

p 

8.1.2 Histogramme von Binomialverteilung 

Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Binomialverteilungen 

n 

x 

1 n 

1 2 

PX x Bn; p ; x 3 

 

x 

 

3 3 

x n 

x 

für 

n 18 mit 

n 72 mit 

n 288 mit 

1 

np18 6 

3 

und 

1 

np72 24 

3 

und 

1 

np288 296 

3 

und 

n pq 

 

1 2 

18 2 

3 3 

n pq 

 

1 2 

72 4 

3 3 

n pq 

 

1 2 

288 8 

3 3 

0,20 

0,18 

0,16 

n = 18 

μ = 6 

σ = 2 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

n = 72 

μ = 24 

σ = 4 

n = 288 

μ = 96 

σ = 8 

http://www.super-nowa.de http://www.super-nowa.de 23.01.2014




Ein Vergleich der Histogramme von Binomialverteilungen mit gleichem Parameter p bei 

wachsender Länge n zeigt: 

● 

● 

● 

Die Histogramme wandern immer weiter nach rechts. 

Die Histogramme verflachen und verbreitern sich. 

Unsymmetrie geht immer mehr in Symmetrie über. 

8.2 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer Normalverteilung 

8.2.1 Dichtefunktion der Normalverteilung als Näherung der Wahrscheinlichkeitsfunktion 

einer Binomialverteilung 

Approximation der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung durch die Dichtefunktion 

f der Normalverteilung: 

● 

2 

brauchbar für n pq9 und damit 3 

n 

PX x Bn; p; 

x p q 

x 

x n 

x 

 

 

 

2 

x 

2 

 

1 x 

 

2 

 

2 

 

2 

1 1 

e e f 

; x 

f x 

2π 2π 

 

n 

p 

2 

n p 

q 

n p 

q 





Grafische Darstellung der Normalverteilungen 

 

x6 2 x 

6 2 

1 1 

 

 

24 

f6;2 

x e e 

2 

2π 8π 

x24 x24 

2 2 

 

216 

32 

1 1 

f24;4 

x e e 

4 

2π 32π 

x296 x296 

2 2 

 

264 128 

1 1 

f96;8 

x e e 

8 

2π 128π 

8 

, 

, 

: 





0,20 

0,18 

0,16 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

8.2.2 Vergleich Binomialverteilung mit Normalverteilung 

8.2.3 Dichtefunktion auf einer Banknote 

Zehn Deutsche Mark: Zeichnung für 3 und 1: 

x 

x3 x3 

2 

 

2 2 2 

 

2 

21 

2 

1 1 1 

f x e e e 

2π 1 

2π 2π 





x 0 1 2 3 4 5 6 

f x 0,0044 0,054 0,24 0,40 0,24 0,054 0,0044 

Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855): 

deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker 









8.2.4 Verteilungsfunktion der Normalverteilung als Näherung der kumulativen Verteilung 

einer Binomialverteilung 

Approximation der kumulativen Verteilung einer Binomialverteilung durch die Verteilungsfunktion 

F der Normalverteilung: 

t t 

2 

2 2 2 

 

 

2 2 

x x x 

 

1 1 

F x f tdt e dt e dt 

2π 

2π 

 

 

8.3 Standardnormalverteilung 

8.3.1 Standardisierung einer Binomialverteilung bzw. Normalverteilung 

Um Histogramme von Binomialverteilungen bzw. Dichtefunktionen von Normalverteilungen 

mit gleichem Parameter p für verschiedene Längen n besser miteinander vergleichen zu 

können, werden sie standardisiert. Dazu eliminiert man und aus dem Term der Dichtefunktion 

f , indem man ihren Graphen passend verschiebt und verformt: 

1. Schritt: Verschiebung nach links um ; Verschiebung in x-Richtung 

2. Schritt: Verformung (Stauchung) in x-Richtung um dem Faktor 1 . 

3. Schritt: Verformung (Streckung) in y-Richtung um dem Faktor . 

Bei dieser Standardisierung bleiben die Inhalte der Rechtecksflächen eines Histogramms unverändert. 

8.3.2 Standardisierte Dichtefunktion einer Normalverteilung; 

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung 

Approximation einer standardisierten Binomialverteilung durch die standardisierte Dichtefunktion 

der Normalverteilung: 

Dichtefunktion der Normalverteilung: 

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: 

 

1 

f x 

e 

2π 

2 

1 x 

 

 

 

2 

2 

2 

x 

2 

 

 

 

2 2 2 

1 x 

 

1 2 1 2 

1 

 

1 x 

 

1 x 1 

x e 

e e e 

2π 2π 2π 2π 





Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: Gauß-Funktion: 

 

x 

1 

e 

2π 

2 

x 

 

2 

Für die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung gilt: 

 

x 

x 

Wertetabelle und grafische Darstellung - Gaußsche Glockenkurve: 

x 0 1 2 3 

x 

0,40 0,24 0,054 0,0044 





Beispiel für die Standardisierung einer Dichtefunktion mit 6 und 2 : 

1 

x 2 f 2x6 e 

2π 

1 2 

x 

2 

1 

f x 

e 

2 

2π 

2 

1 x6 

 

2 2 

2 

1 x 

1 2 

2 

x 

2 2 

2 

1 1 

f 2x6 e e 

2 

2π 2 

2π 

2 2 

1 x66 1 x 

 

2 2 2 2 

1 1 

f x6 e e 

2 

2π 2 

2π 

 

8.3.3 Standardisierte Verteilungsfunktion einer Normalverteilung 

Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung 

 

2 2 

x x t 

x t 

1 1 

2 2 

 

 

x t dt e dt e dt 

2π 2π 

 

Für die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung gilt: 

x 

 

lim 

t dt 1 

x 

 

 

 





 

x 1 x 

bzw. x 1 

 

x 

Wertetabelle und grafische Darstellung der standardisierten Verteilungsfunktion: 

8.4 Zusammenhang zwischen Normalverteilung und Standardnormalverteilung 

- Formeln von Moivre und Laplace 

8.4.1 Lokale Näherungsformel 

 

x 

2 

x 

 

2 

1 1 

e 

e 

2π 2π 

 

 

2 

 

1 2 

x 

2 

2 

2 

x 1 x 

1 

 

2 

2 

1 1 1 x 

f x e 

e 

 

2π 2π 

 

Für den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion B einer Binomialverteilung, 

der Dichtefunktion f einer Normalverteilung und der Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung 

gilt somit die lokale Näherungsformel von de Moivre und Laplace: 

x 

2 

2 

 

n 

1 

x n 

x 

1 x 

2 

 

PX x Bn; p; 

x 

p q f x 

e 

x 

 

 

2π 

8.4.2 Integrale Näherungsformel 

2 

t 

 

2 

1 

x e dt 

2π 

 

x 

 





 

t 

2 

x 

1 

 

2 

2 

F x e dt 

 

 

2π 

 

x 

1 2 

1 

u 

2 

e 

du 

2π 

 

 

x 

1 2 

1 

u 

2 

e du 

2π 

 

 

x 

 

 

t 

u 

 

du 

dt 

dt 

1 

 

 

du 

Ist die Zufallsgröße X stetig, d.h. kann sie jeden beliebigen Wert x annehmen, so nähert 

x 

man F x durch 

an. 

F x 

Nimmt dagegen die Zufallsgröße X nur diskrete Werte x an, dann nähert man 

x 

0,5 

 

durch an. Diese Stetigkeitskorrektur 0,5 berücksichtigt, dass man bei der Berechnung 

von F x als letztes Rechteck das ganze Rechteck nehmen 

 

muss. 

 

Für den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion F einer Normalverteilung und der 

Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung gilt die integrale Näherungsformel 

von de Moivre und Laplace: 

1 

 

x 

 

PX x Fx 

2 

 

 

 

 

 

x 

PX x Fx 

 

bei diskreter Verteilung der Zufallswerte 

bei stetiger Verteilung der Zufallswerte 

8.5 Zusammenfassung 

 

 

x 

1 

e 

2π 

x 

x 

2 

x 

 

2 

; ; 

 

 

2 

 

2 

x 

n 

 

x n 

x 

2 

P X x B n p x p q e f x 

1 1 x 

 

 

x 

 

2π 

 





1 

 

x 

 

PX x Fx 

2 

 

 

 

 

 

 

x1 x 

bzw. x 1 

 

x 

8.6 Musteraufgaben 

8.6.1 Aufgabe 1 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 200-maligem Werfen eines Laplace-Würfels genau 

35-mal die Augenzahl „sechs“ zu erhalten? 

Binomialverteilung (Tafelwerk oder Taschenrechner: ; ; 

n 

 

B npx 

pq 

x 

 

 

x n 

x 

 

P X 

35 165 

1 200 

1 5 

35 B200; ;35 0,07049 

6 

 

35 

 

6 6 

1 200 100 1 

n p 200 33 

6 6 3 3 

2 1 5 250 7 

n pq 

200 27 9 Normalverteilung 

6 6 9 9 

1 

P X x f x e 

2 

2π 

Normalverteilung (Taschenrechner): 

1 

PX 35 f 35 

e 

2π 

x 

2 

 

2 

2 

 

2 

0,05 

 

2 

100 

35 

 

3 

 

 

250 

2 

9 

1 

e 

 

250 

2π 

9 

3 5 

50 π 

e 

0,07200 

 

x 

2 

1 

B200; ;35 

f 35 

6 

0,07200 0,07049 

Fehler 

 

2,14% 

1 

0,07049 

B 200; ;35 

6 

2 

2 





Standardnormalverteilung (Tafelwerk): PX x f x 

100 

35 

x 3 1 

10 0,32 

250 10 

9 

35 f 35 

P X 

1 x 

 

 

 

 

100 

35 

1 x 1 

 

3 

 

 

250 250 

 

9 9 

 

1 3 10 

 

0,32 0,37903 0,07192 

250 

50 

9 

0,07192 0,07049 

Fehler 2,03% 

0,07049 


Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 200-maligem Werfen eines Laplace-Würfels mindestens 

25-mal und höchstens 55-mal die Augenzahl „sechs“ zu erhalten? 

Binomialverteilung (Tafelwerk): 

 

P 25 X 55 F 55 F 

24 0,99996 0,04264 0,95732 

Normalverteilung (Tafelwerk): 

 

F x 

1 

 

x 

 

2 

 

 

 

 

 

1 100 1 

x 

55 

x 55 2 3 2 4,21 

 

250 

9 

 

F 55 4,21 0,99999 





1 100 1 

x 

24 

x 24 2 3 2 1,68 

 

250 

9 

 

F 24 1,68 1 1,68 10,95352 0,04648 

 

P 25 X 55 F 55 F 

24 0,99999 0,04648 0,95351 


Ein Laplace-Würfel wird 200-mal geworfen. Wie groß darf x höchstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit 

dafür, dass die Augenzahl „sechs“ weniger als x-mal erscheint, unter 10 % 

liegt? 

Binomialverteilung (Tafelwerk): n 200 ; 

x 

0,1 

x 

1 

0,1 

P X 

P X 

F x 

x 1 

26 

x 27 

1 0,1 

Normalverteilung (Tafelwerk): 

1 100 

np200 6 3 

1 

p 

6 

2 1 5 250 7 

npq200 27 9 Normalverteilung brauchbar 

6 6 9 9 

1 1 

x1 x 1 

PX x PX x 1 Fx 

1 

 

2 

 

2 

0,1 

 

 

1 

x 1 

 

2 1,281 

 

1 

x 1 1,281 

 

2 





1 250 100 1 

x 1, 281 1 1,281 1 27,08 

2 9 3 2 

x 27 


Wie oft muss man mit einem Laplace-Würfel mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit 

von mehr als 90 % die Augenzahl „sechs“ wenigstens einmal erscheint? 

Binomialverteilung: 

1 

p ; gesucht: n 

6 

0 n 

n 1 5 

0,1 

0 

 

6 6 

n 

5 

 

0,1 

6 

 

n 

5 

 

ln ln 0,1 

6 

 

5 

nln ln 0,1 

6 

ln0,1 

n log5 6 

0,112,62 

5 

ln 6 

n 13 

Normalverteilung: 

PX 1 

0,9 

1PX 

0 0,9 

F 

PX 

0 0,1 

F 

PX 0 0,1 

F 

Lösungsversuch mit Dichtefunktion: 

1 0 0,9 

0 0,1 

0 0,1 





2 2 

1 

 

 

 

 

 

2 

2 

2 

1 0 

1 1 

PX 0 f 0 

e e 

 

2π 

2π 

2 2 

n p p 

n 

2npq 

 

2q 

1 1 

e 

e 

0,1 

n pq 2π 

2π pq 

n 

↯ 

Lösung mit Verteilungsfunktion: 

F 

 

0,5 

 

0 

0,1 

 

 

 

0,5 

1,281 

 

1 

n 

0,5 

6 1,281 

1 5 

n 

6 6 

1 5 

n0,5 1,281 n 

6 36 

1 5 

n1,281 n 0,5 0 

6 36 

0,477 

n 1/2 

 

5 2 5 1 

1,281 1,281 4 0,5 

36 36 6 3, 68 

 

1 

 

0,82 0 

2 

 

6 

 

n 3, 68 

n 13,54 

n 14 

2 1 5 35 

Probe: npq14 9 Normalverteilung nicht brauchbar 

6 6 18 






Wie oft muss man mit einem Laplace-Würfel mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit 

von mehr als 99 % die Augenzahl „sechs“ wenigstens 33-mal erscheint? 

PX 33 

0,99 

 

 

 

 

 

 

1P X 32 0,99 

P X 32 0,01 

32 

0,01 

P X 

F 32 0,01 

32 

0,5 

 

 

0,01 

 

32,5 

 

0,01 

 

32,5 

2,326 

 

1 

32,5 n 

 

6 2,326 

1 5 

n 

6 6 

1 5 

32,5 n 2,326 

6 36 

1 

0 0,867 32,5 

6 n n 

1 

0,867 32,5 0 

6 n n 

n 

n 

1/2 

1 

16,8 

6 

 

1 

 

2 

6 

11,6 0 

2 

0,867 0,867 4 32,5 

n 282,24 

n 283 

2 1 5 

Probe: n pq 

283 39,3 

9 Normalverteilung 

6 6 

 





8.7 Analysis der Normalverteilung 

8.7.1 Kurvendiskussion der allgemeinen Dichtefunktion einer Normalverteilung 

1 

f x 

e 

2π 

2 

1 x 

 

 

2 

f x0 keine Nullstellen 

Symmetrie: 

2 2 

1 x 1 x 

1 

 

2 1 

 

 

 

2 

 

f x 

e e 

 

2π 

2π 

 

2 2 

 

1 

x 1 x 

1 

 

2 1 

 

 

2 

 

f x e e f x 

 

2π 

2π 

 

Symmetrie zur 

Achse x 

Ableitungen: 

2 

1 x 

 

 

1 2 

1 x 1 

x x 

f 

x e 2 f x f 

2 x 

2 

2π 2 

x 

1 x 

x 

1 

f 

 

x f 

x f 

2 

x f 

2 x f 

2 2 

x 2 

 

2 

2 

x 1 x 1 

f x f 

4 

x f 

2 

x 

 

 

4 

2 

 

 

 

 

2 2 

x 

 

xx 

f x f 

4 

x 

4 

 

 

x x 

f x f 

4 

x 

 

Waagrechtpunkte: 

x 0 

f ; x 

0 

x1 

 

 

 

xx 

4 

 

2 

1 

 

 

2 

2 

 

 

1 1 1 

f f 0 Hop mit f e 

 

2π 

2π 





Wendepunkte: 

x 0 

f ; 

x 

2 

1 

f x 0 

 

x 

2 

 

 

1 

 

4 2 

0 

; x2 

 

 

4 2 

3 

2 2 

x 

2 2 

x 

x 

x 

x 

x 

x2/3 

 

jeweils 1. Ord. mit VZW Wep mit 

2 

1 

 

1 

 

 

2 

2 

1 1 1 

f e e 

 

2π 2π 2π e 

Wertetabelle und Zeichnung für 3 und 1: 

1 

f x e 

2π 

 

x3 2 

2 

x 0 1 2 3 4 5 6 

f x 0,0044 0,054 0,24 0,40 0,24 0,054 0,0044 

Wep Hop Wep 

μ − σ 

μ 

μ + σ 





8.7.2 Kurvendiskussion der standardisierten Dichtefunktion 

 

x 

1 

e 

2π 

1 2 

x 

2 

x0 keine Nullstellen 

 

 

1 x 

1 

1 2 1 2 

x 

2 2 

x e e 

x Symmetrie zur y-Achse 

2π 

2π 

Ableitungen: 

1 2 

1 

 

2π 

x 

2 

x e x x x 

 

2 

 

 

x1x1 

x 

 

x 1 x x x 1 x x x x x 1 

 

x 

Waagrechtpunkte: 

x 0 ; x1 0 

Wendepunkte: 

1 

000 Hop mit 0 0,40 

2π 

x 0 ; x2/3 1 jeweils 1. Ord. mit VZW Wep mit 

1 

1 1 

2 

1 e 

0,24 

2π 2π e 

Wertetabelle und Zeichnung: 

x 0 1 2 3 4 5 6 

x 

0,0044 0,054 0,24 0,40 0,24 0,054 0,0044 

Wep Hop Wep 





8.8 Übungsaufgaben 

8.8.1 Übung 1 

13 % der Bevölkerung sind Linkshänder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 

1000 zufällig ausgewählten Menschen genau 125 Linkshänder? 

n p 10000,13 130 

2 

n pq 

1000 0,130,87 113,1 9 Normalverteilung 

n 

 

P X x 

p q 

x 

 

 

x nx 

Binomialverteilung (Taschenrechner): 

1000 

 

125 

 

 

125 875 

125 B(1000;0,13;125) 0,13 0,87 

P X 

Taschenrechner versagt! 

1 

P X x f x e 

2 

2π 

Normalverteilung (Taschenrechner): 

x 2 

 

2 

2 

x 2 

125130 2 

 

2 

2 

2113,1 

1 

1 

PX 125 f 125 e e 

 

2 

2π 

113,1 

2π 

0,11 

0,03751e 

0,03360 





Standardnormalverteilung (Tafelwerk): PX x f x 

x 

125 130 

0,47 

113,1 

1 x 

 

 

 

1 x 

1 125 130 

 

PX 

125 f 125 

 

 

113,1 113,1 

1 1 0,35723 

0,47 0,47 0,03359 

113,1 113,1 113,1 

8.8.2 Übung 2 

13 % der Bevölkerung sind Linkshänder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 

1000 zufällig ausgewählten Menschen höchstens 125 Linkshänder? 

n p 10000,13 130 

2 

n pq 

 

1000 0,13 0,87 113,1 9 Normalverteilung 

1 

 

x 

 

PX x Fx 

2 

 

 

 

 

 

1 1 

x 

125 130 

 

2 2 0,42 

113,1 

 

P X 125 F 125 0,42 1 

0,42 10,66276 0,33724 

8.8.3 Übung 3 

In einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Der Anteil der weißen Kugeln beträgt 

80 %. Es sollen nacheinander Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Welchen Umfang 

muss eine Stichprobe haben, wenn unter den gezogenen Kugeln mit einer Sicherheit von 

mindestens 90 % wenigstens 200 weiße Kugeln sein sollen? 

PX 200 

0,9 

 

 

 

1P X 199 0,9 

 

 

1F 

199 0,9 

F 199 0,1 

 





 

 

F 199 0,1 

199 

0,5 

 

 

0,1 

 

199,5 

 

0,1 

 

199,5 

1,281 

 

199,5 n 

0,8 

1,281 

n 0,80,2 

199,5 n0,8 1,281 n0,8 

0,2 

0,8 n0,5124 n 199,5 0 

16,12 

2 

0,5124 0,5124 4 0,8 199,5 

 

n 

 

1/2 20,8 

 

15,47 0 

n 259,85 

n 260 

2 

Probe: n pq 

260 0,8 0,2 41,6 9 Normalverteilung

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