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43 Anwendungsorientierte Extremwertaufgaben und Optimierungsprobleme Analysis 

VI. Gebrochen-rationale Funktionen 

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43 Anwendungsorientierte Extremwertaufgaben und Optimierungsprobleme 

43.1 Arten von Extremalpunkten 

Hochpkt. 

abs. Max. 

Randmax. 

Hochpkt. 

Tiefpkt. 

Tiefpkt. 

Randmin. 

abs. Min. 

Hochpunkt bzw. relatives Maximum, Tiefpunkt bzw. relatives Minimum 

Randmaximum, Randminimum 

D 

http://www.supernowa.de http://www.super-nowa.de 01.02.2012



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absolutes Maximum, absolutes Minimum 

Die absoluten Extrempunkte einer differenzierbaren und damit auch stetigen Funktion müssen 

Waagrechtpunkte oder Randpunkte des Definitionsbereichs sein. Zur Entscheidung berechnet 

man sich die Funktionswerte an den Waagrechtstellen und an den Rändern des Definitionsbereichs. 

43.2 Übungsaufgaben 

43.2.1 Aufgabe 1: Dosenabmessungen bei vorgegebenem Volumen und minimaler 

Oberfläche 

h 

Ein geschlossener gerader Kreiszylinder mit dem gegebenen 

Volumen V soll eine möglichst kleine Oberfläche (Materialverbrauch) 

besitzen. Wie sind die Abmessungen Radius r und 

Höhe h zu wählen? 

r 

(H) 

(N) 

(H) 

2 

O2r 2r 

h 

2 

V r h 

V 

h 

2 

r 

Zielfunktion: 

2 2 V 

2 2V 

Or2r 2rh2r 2r 2π 

r 

 

2 

r π r 

Definitionsmenge der Zielfunktion: r D 0; 

 

d 

2V 

Or Or4r 

2 

dr 

r 

; 

2 

4r 

V 0 

2 

r 

3 

4r 

2V 

0 

3 

4r 

2V 

3 

2r V 

O r 0 




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V 

2 

3 

r 

V 

r 3 D0; 

 

2 

V 

O 3 

 

r 

2π 

 

 

lim Or 

 

 

 

r 0 

 

lim Or 

 

r 

 

O differenzierbar 

 

 

O r 

absolut minimal für r 

3 

V 

2π 

(N) 

(H) 

3 

V 2π r 

Höhe h 2r 

Durchmesser 

2 2 

r π r π 

oder umständlicher: 

3 

V V 4V 8V V 

3 3 3 

2 

3 

2 

V 3 

π 

2 

Höhe h 2 2 r Durchmesser 

r π π 2π 2π 

 

4π 

absolut minimale Oberfläche: 

V 

O r r h r r r r V 

4π 

2 

2 2 2 3 

3 2 

min 

2 2 2 2 2 6 π 216 π 54π 

 

2 

Beispiel: 

V 0,5 

0,5dm 

3 

3 

V 0,5dm 

r 3 3 0,430dm 4,3cm 

2π 

2π 

V 0,5dm 

h 

2π 2π 

3 

2 r 2 3 2 3 0,860dm 8,6cm 

2 

Omin 54πV 

54π 0,5dm 3, 49dm 349cm 

3 2 3 

3 2 2 




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43.2.2 Aufgabe 2: Abfalleimer mit Schwingdeckel; 

oben offener Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel 

r 

h 

Ein Gefäß aus einem oben offenen geraden Kreiszylinder mit aufgesetzter Halbkugel soll bei 

gegebenem Volumen V eine möglichst kleine Oberfläche O haben. Wie sind die Abmessungen 

r und h zu wählen? 

(H) 

(N) 

1 

2 4 π 2 2 π 3 2 

2 

2 1 4 3 2 2 3 

V r πh r πr πh 

r π 

2 3 3 

2 2 3 

r πhV r π 

3 

2 2 2 2 2 

Or rh r r rh r r r 

h 




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h 

V 

r 

2 

r 

2 

π 3 

(H) 

Zielfunktion: 

2 V 2 2 2V 4 2 5 2 2V 

Or3r 2r 

r 3r r π π r 

2 

π r 3 r 3 3 r 

Definitionsmenge: (N) h 0 ; 

2 3 

r π 

V 

3 

Gefäß besteht nur aus Halbkugel 

3 3V 

r 

2π 

3 V 

r 3 Radius der Halbkugel 

2π 

3 V 

r D 0; 

 

3 

 

2π 

Halbkugel als Lösung zugelassen 

d 10 2V 

Or Or π r 

2 

dr 3 r 

10 2V 

Or 0 ; π r 

0 

2 

3 r 

3 

10π r 

6V 

0 

3 

10π r 

6 

V 

3 6V 

3V 

r 

10π 5π 

3 V 

r 3 D 

5π 

5 3 

 

2 π r 

3V 

 

5 

3 

2 2V 

5 2 3 

 

O 

r π 

π 

5π 

r r 

 

 

3 r 3 r 

 

2 

 

5 2 10 2 2 3 3 9V 

3 

2 

πr πr 5π r 125π 45π V 

 

2 

3 3 25π 

 

 

limOr 

 

 

r 0 

 

2 2 3 

3V 

3 

2 9V 279V 

π 

3 3 

3 

2 

O r 3r π 3 π = 60,75π V 

 

2 2 

2π 

 

 

4π 4π 

 

 

O differenzierbar 

 

3V 

r 3 

5π 

O 

min 

45π V 

3 2 




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(N) 

5 π 

3 

r 

V 2 3 2 5 2 

h r r r r r 

2 2 

π r 

3 π r 

3 3 3 




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43.3 Abituraufgaben 

43.3.1 Abitur 2004 FOSBOS Mathematik Technik 12 Analysis A II: 

Oben offener Zylinder bei vorgegebenem Volumen und minimaler Oberfläche 

3.0 Die Abmessungen einer oben offenen zylinderförmigen Tonne sollen so gewählt 

werden, dass bei festem Volumen V der Tonne der Materialverbrauch 

möglichst gering wird. Die Dicke des Materials ist vorgegeben und wird bei 

der Rechnung nicht berücksichtigt. Der Radius der kreisförmigen Grundfläche 

wird mit r, die Höhe der Tonne mit h bezeichnet. 

4 3.1 Ermitteln Sie die Formel für die äußere Oberfläche O in Abhängigkeit vom 

Radius r und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge von O r an. 

 

Teillösung: 

O r 

 

 

2 2 

r 

π 

V 

r 

 

 

 

6 3.2 Bestimmen Sie den Radius 0 

Minimum annimmt. 

r so, für den die Oberfläche 

O r ein absolutes 

4 3.3 Berechnen Sie auf Millimeter gerundet die Abmessungen der Tonne mit minimalem 

Materialverbrauch, deren Volumen 100 Liter beträgt. 

Lösung: 

2 

Or 2r 

h 

2 

4 3.1 (H) 

(N) V r h 

V 

h 

2 

r 

(H) Zielfunktion: 

2 2 V 2 2V 

Orr 2rhr 2r r 

 

2 

r r 

rD 

0; 

6 3.2 O r Or 2 r 2V 

2 

 

d 

2V 

 

dr 

r 

 

0 

Or 0 ; 

3 

2r 

2V 

0 

3 

2r 

2 

3 V 

V 

r 

V 

r 3 D0; 

 

 




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V 

O 3 

 

r 

π 

 

 

limOr 

 

 

 

lim Or 

 

r 

 

O differenzierbar 

 

r 0 0 

 

r 

 

3 

V 

π 

Zusatz: 

h 

V 

π 

3 

0 

0 

r 

2 2 0 

r0 r0 

 

r 

4 3.3 

3 

100dm 

3 3,17 dm 317 mm 

r0 

 

π 

3 

100dm 

h 3,17 dm 317 mm r 

2 

3,17 dm 

 

 

0

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