1 Zahlenmengen

1. Zahlenmengen
1.1 Definitionen und Schreibweisen
Eine Zusammenfassung von „Dingen“ heißt Menge. Die „Dinge“ heißen Elemente der Menge.
x∈ A : x ist Element der Menge A.
x∉ A : x ist nicht Element der Menge A.
Zwei Mengen A und B sind gleich, falls sie die gleichen Elemente enthalten: A = B ⇔ ( x∈A ⇔ x∈B) Ist jedes Element von A auch Element von B, so heißt A Teilmenge von B. Man schreibt: A ⊆ B
Gilt A ⊆ B und A ≠ B , so heißt A echte Teilmenge von B: A ⊂ B
Die leere Menge ∅ (oder {}) ist Teilmenge jeder Menge.
Für jede Menge A gilt: ∅⊆A und A ⊆ A .
Darstellung von Mengen:
a) graphisch: Venn-Diagramm
b) aufzählend: Bsp. A = {; 135 ; }
c) beschreibend: A = { x| x ist ungerade
Zahl}
1.2 Verknüpfung von Mengen
A und B seien Mengen.
a) A∪ B: = { x| x∈A ∨ x∈B} heißt Vereinigungsmenge von A und B.
b) A∩ B: = { x| x∈A ∧ x∈B} heißt Schnittmenge von A und B.
c) Falls B ⊆ A ist: A\ B: = { x| x∈A∧x∉ B}
heißt Komplement von B in A.
Achtung: Die Zeichen „ ∪ “ („vereinigt mit“) und „ ∩ “ („geschnitten mit“) verbinden Mengen, die Zeichen
„ ∨ “ („oder“) und „ ∧ “ („und zugleich“) aber Aussagen!
Beispiele:
Gegeben sind die Mengen A = {; 13579 ; ; ; } , B = { 4567 ; ; ; } und C = {; 59 } .
Bestimmen Sie A ∪ B , A ∪ C , B∪ C , A∩ B,
A∩ C,
B∩ C sowie A\ C !
1.3 Zahlenmengen
N Menge der natürlichen Zahlen (ohne 0, sonst N0)
Z Menge der ganzen Zahlen
Q Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
C Menge der komplexen Zahlen
Es gilt: N⊂Z⊂Q⊂R⊂ C.
Einfache Rechnungen mit negativen Zahlen, Brüchen, Dezimalzahlen, irrationalen Zahlen (Wurzeln)
Hinweise zur jeweiligen Erweiterung
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1.4 Die reellen Zahlen als geordnete Menge
Für je 2 reelle Zahlen x und y gilt stets x < y oder x = y oder x > y . Daher ist die Menge R geordnet und
läßt sich durch die Zahlengerade darstellen:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 5 6
Dabei stellt der Betrag | x | einer reellen Zahl x den Abstand von x zur Zahl 0 auf der Zahlengeraden dar.
⎧ x für x≥0
Es gilt: | x|
= ⎨
⎩−
x für x<
0
Zusammenhängende reelle Zahlenmengen lassen sich als Intervalle schreiben. Dabei können die Symbole ∞
(„unendlich“) und −∞ („minus unendlich“), die aber selbst keine Zahlen sind, verwendet werden.
Beispiele:
[ − 35 ; ] = { x ∈R | −3≤ x≤5}
[; 137 ,[ = { x ∈R | 1≤ x<
37 ,}
]; 461 ,] = { x ∈ R | 4< x≤61
,}
] − 12; 0[ = { x ∈R | − 12 < x<
0}
] −∞ ; 1] = { x ∈R |x≤1}
] 35; ∞= [ { x ∈ R |x>
35}
] −∞; ∞ [ =R
Aufgaben (mit Hilfe der Zahlengeraden)
[ −23 ; [ ∪]
07 ; ]
R\{ 0} ∪ R\{
2}
{ x ∈ R| | x|
< 2} ∩] −31
; ]
Hausaufgabe
]; 37] ∩ [; 05] = ]; 35]
R\[ −21 ; [ ∪ [ 07 ; ] = R\[
−20
; [
{ x ∈R| | x|
≥5} ∩ ] 310 ; [ = [ 510 ; [
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