8 Testen von Hypothesen - Fos Bos

8. Testen von Hypothesen
8.1 Begriffe
Im folgenden sind Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses vorgegeben. Diese
Hypothesen sollen auf Grund einer Stichprobe angenommen oder abgelehnt werden. Zu berechnen ist dann die
Wahrscheinlichkeit, mit der man eine Hypothese ablehnt, obwohl sie wahr ist (Irrtumswahrscheinlichkeit).
Die Stichprobe wird – solange nicht ausdrücklich anders angegeben – immer nacheinander mit Zurücklegen
entnommen. Es lässt sich somit die Binomialverteilung anwenden. Je nach Ausgang der Stichprobe entscheidet
man sich für oder gegen die Hypothese durch eine Entscheidungsregel.
Beispiel:
1.) In einer Urne befinden sich rote und weiße Kugeln. Der Anteil der roten Kugeln beträgt entweder 20% oder
70%. Befinden sich in einer Stichprobe von 10 Kugeln höchstens 4 rote Kugeln, so entscheidet man sich für
die Hypothese H1: p120% = (und damit gegen die Hypothese H2: p2= 70% ). Befinden sich in der
Stichprobe mehr als 4 rote Kugeln, so entscheidet man sich für die Hypothese H2: p2= 70% (und damit
gegen die Hypothese H1: p1= 20% ).
0 ... 4 rote Kugeln 5 ... 10 rote Kugeln
H1 Annahme Ablehnung
H2 Ablehnung Annahme
2.) In einer Urne befinden sich rote und weiße Kugeln. Man vermutet, dass der Anteil der roten Kugeln 50%
beträgt. Befinden sich in einer Stichprobe von 10 Kugeln mindestens 3 und höchstens 7 rote Kugeln, so
entscheidet man sich für die Hypothese H0: p0= 50% . Im anderen Fall lehnt man die Hypothese
p = 50% ab.
H0: 0
3 ... 7 rote Kugeln 0 .. 2; 8 .. 10 rote Kugeln
H0 Annahme Ablehnung
nicht H0 Ablehnung Annahme
Ein Test, bei dem zwei Hypothesen zur Auswahl stehen und man sich je nach Ausgang der Stichprobe entweder
für die eine Hypothese H1 oder die andere H2 entscheidet, heißt Alternativtest (Beispiel 1)
Ein Test, bei dem nur eine Hypothese angeboten wird und man sich je nach Ausgang der Stichprobe entweder für
oder gegen diese Hypothese H0, die Nullhypothese, entscheidet, heißt Signifikanztest (Beispiel 2)
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Alternativtest die Hypothese H1 abzulehnen, obwohl sie wahr ist, nennt man
Fehler 1. Art oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art oder ✍-Fehler.
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Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Alternativtest die Hypothese p2 abzulehnen, obwohl sie wahr ist, nennt man
Fehler 2. Art oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art oder ✎-Fehler.
Im Beispiel 1:
p = 0, 2; w( α ) = w(5 ≤ x ≤ 10) = 1− F(4) = 1− 0,96721 = 0,03279 ≈ 3,3%
Mit 3,3% wird H1 abgelehnt, obwohl H1 wahr ist.
p = 0,7; w( β ) = w(0 ≤ x ≤ 4) = F(4) = 0,04735 ≈ 4,7%
Mit 4,7% wird H2 abgelehnt, obwohl H2 wahr ist.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Signifikanztest die Hypothese p0 abzulehnen, obwohl sie wahr ist, nennt man
Fehler 1. Art oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art oder ✍-Fehler oder Signifikanzniveau.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Signifikanztest die Hypothese p0 anzunehmen, obwohl sie nicht wahr ist,
nennt man Fehler 2. Art oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art oder ✎-Fehler. Dieser Fehler kann nicht
ausgerechnet werden, da es unendlich viele Möglichkeiten für die Einzelwahrscheinlichkeit gibt.
Im Beispiel 2:
p = 0,5; w( α ) = w(0 ≤ x ≤ 2) + w(8 ≤ x ≤ 10) = F(2) + 1 − F(7) = 0,05469 + 1 − 0,94531 = 0,10938
Mit 10,9% wird H0 abgelehnt, obwohl H0 wahr ist.
Ist außer den Hypothesen auch die Irrtumswahrscheinlichkeit (i.a. 5%) vorgegeben, so lässt sich mit der Tabelle
eine entsprechende Entscheidungsregel bestimmen. Man wählt dabei die Grenze c so groß bzw. so klein wie
möglich.
8.2 Aufgaben:
Im folgenden werden nur Signifikanztests, ein- oder zweiseitig, untersucht.
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