2 Mechanische Schwingungen

2. Mechanische Schwingungen
2.1 Definitionen und Grundbegriffe
2.1.1 Harmonische Schwingung
Unter einer Schwingung versteht man einen periodisch ablaufenden Vorgang. Beispiele hierfür sind
Pendel, Schiffschaukel, Kolben im Verbrennungsmotor, Erddrehung
Führt ein Körper eine periodische Bewegung aus, so heißt diese Schwingung mechanisch. Ändert sich
dabei nur eine Koordinate mit der Zeit, so heißt die Schwingung linear.
Beispiel einer linearen Schwingung ist die Parallelprojektion der y-Koordinate einer gleichförmigen
Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω :
Radius A
Für den Ortsvektor r ( t)
des bei Radius A umlaufenden Körpers gilt:
⎛A
⋅ cosα(
t)
⎞ ⎛A
⋅ cosωt
⎞
r ( t)
= ⎜
⎟ = ⎜
⎟ , wobei
⎝ A ⋅ sin α(
t)
⎠ ⎝ A ⋅ sin ωt
⎟
⎠
⎟
⎛A
⎞
r ( 0)
= ⎜ ist.
⎝ 0 ⎠
Als Projektion erhält man daher die y-Koordinate als lineare Schwingung mit y( t)
= A ⋅ sin ωt
(mit
y ( 0)
= 0 ).
Definition: Ist y : t ! y(
t)
eine Sinusfunktion, so heißt die zugehörige lineare Schwingung harmonisch.
Im allgemeinen gilt dann y( t)
= A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
; falls y ( 0)
= 0 : y( t)
= A ⋅ sin ωt
Die folgenden Größen beschreiben eine Schwingung und beruhen auf entsprechenden Größen der
Kreisbewegung:
Bezeichnung Schwingung Kreisbewegung
y(t) Momentanauslenkung (Elongation) y-Koordinate
A Maximalauslenkung (Amplitude) Bahnradius
ω Kreisfrequenz Winkelgeschwindigkeit
α Schwingungsphase Umlaufwinkel
ϕ Anfangsphase Anfangswinkel
T Schwingungsdauer Umlaufdauer
f Frequenz Frequenz (Drehzahl)
y
r(t)
α(t)
- 5 -
x
Umkehrpunkt
y(t)
Nulllage
Umkehrpunkt

Zur Erinnerung:
0
ω =
2π
2 π ⋅ f = ⇔ f =
T
1
T
Experiment: Messung von T für Faden- und Federpendel (mind. 10 Vollschwingungen)
2.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung
Aus der Ortskoordinate y( t)
= A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
ergibt sich die Momentangeschwindigkeit v als Ableitung:
∆y
v(
t)
= lim = y"
( t)
= ( A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
) " ⇒ v(
t)
= A ⋅ ω⋅
cos( ωt
+ ϕ)
∆t→0
∆t
Für die Momentanbeschleunigung a folgt:
∆v
2
2
a(
t)
= lim = v"
( t)
= ( A ⋅ ω ⋅ cos( ωt
+ ϕ)
" ) ⇒ a(
t)
= −A
⋅ ω ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
⇒ a(
t)
= −ω
⋅ y(
t)
∆t→0
∆t
Die Beschleunigung ist also stets zur Auslenkung y entgegengesetzt gerichtet; sie zeigt somit immer zur
Nulllage hin. Die verursachende Kraft F( t)
= m ⋅ a(
t)
heißt daher rücktreibende Kraft.
2 2
Es gilt F(
t)
= −m
⋅ ω ⋅ y(
t)
. Da k : = m ⋅ ω konstant ist, gilt zu jedem Zeitpunkt t F ( t)
~ y(
t)
.
Umgekehrt: Ist bei einer Schwingung die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung y, so ist die
Schwingung harmonisch.
Begründung: Die Differenzialgleichung m ⋅ a(
t)
= −k
⋅ y(
t)
⇔ m ⋅ " y"
( t)
= −k
⋅ y(
t)
mit k > 0 besitzt als
Lösungen nur Sinusfunktionen (vgl. 2.2).
2.1.3 Aufgaben
y(t)
T
S.114/1 (Hammer); TR auf RAD!
10s
Geg.: m = 50g;
T = = 1,
25s;
A = 9,
0cm
(! )
8
a)
2π
2π
y ( t)
= A ⋅ sin ωt
⇒ y(
t)
= 9,
0cm
⋅ sin( ⋅ t)
⇒ y(
8s)
= 9,
0cm
⋅ sin( ⋅8s)
= 5,
3cm
1,
25s
1,
25s
Zusatz: Zu welchen Zeitpunkten befindet sich der Körper 4,0cm unterhalb der Nulllage?
y
y = A ⋅ sin ωt
⇔ sin ωt
=
A
y
⇔ ωt
= arcsin
A
1 y T y
⇔ t = ⋅ arcsin ⇔ t = ⋅ arcsin
ω A 2π
A
1,
25s
−4
t = ⋅ arcsin = −0,
092s
(Hilfswert)
2π
9
Aus Graphen der Sinusfunktion:
- 6 -
t

)
t 1
T
= + 0,
092s
= 0,
72s
(abwärts)
2
t 2 = T − 0,
092s
= 1,
16s
(aufwärts)
= T + t = 1,
97s
= T + t = 2,
41s
t3 1
- 7 -
t 4 2
Allgemein:
T
T
t 2k−
1 = ( 2k
−1)
⋅ − t
t 2 k = 2k
⋅ + t
2
2
2π
2π
cm m
v( 8s)
= 9cm
⋅ ⋅ cos( ⋅8s)
= −37
= −0,
37
1,
25s
1,
25s
s s
2
2π
2
4π
cm
−2
m
a(
8s)
= −(
) ⋅ y(
8s)
= − ⋅ 5,
3cm
= −1,
33 = −1,
3 ⋅10
2
2
2
1,
25s
( 1,
25s)
s
s
c)
m
v max = A ⋅ ω ⇒ vmax
= 0,
45 ;
s
a max
2
= A ⋅ ω
m
⇒ a max = 2,
3
2
s
d) v = vmax
, falls
T
cosωt
= 1 ⇔ t = k ⋅ ( mit k ∈N
0 ) (Durchgang durch Nulllage)
2
a = a max , falls
T
sin ωt
= 1 ⇔ t = ( 2k
+ 1)
⋅ ( mit k ∈N
0 ) (an den Umkehrpunkten)
4
e)
−2
FR
( 8s)
= m ⋅ a(
8s)
⇒ FR
= −6,
7 ⋅10
N
F ist maximal, wenn a maximal ist: N 11 , 0 F a m = ⋅ ⇒ =
f) R
2.2 Beispiele harmonischer Schwingungen
2.2.1 Federpendel
Fmax max max
An einer Hookschen Schraubenfeder der Federkonstanten D
hängt ein Körper der Masse m. Dessen Gewichtskraft
bestimmt zunächst die Nulllage.
Nach Auslenken von m nach unten führt der Körper eine
Schwingung durch mit der rücktreibenden Kraft = −D
⋅ y
(Hooksches Gesetz). Da D konstant ist, ist die Schwingung
wegen FR ~ y harmonisch. Es gilt also: m ⋅ a(
t)
= −D
⋅ y(
t)
.
Mit a ( t)
= " y"
( t)
ergibt sich die Differenzialgleichung
m ⋅ " y"
( t)
= −D
⋅ y(
t)
. Eine Lösung hiervon ist der Ansatz
y( t)
= A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
. Einsetzen in die Differenzial-
gleichung ergibt einen Zusammenhang zwischen m, D und ω :
y(
t)
⇒
F R
2
2
= A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
⇒ " y"
( t)
= −A
⋅ ω sin( ωt
+ ϕ)
⇒ m ⋅ ( −A
⋅ ω sin( ωt
+ ϕ))
= −D
⋅ A ⋅ sin( ωt
+ ϕ)
m 2
⋅ ω
= D ⇔
ω =
D
m
⇒ f =
1
2π
⋅
D
m
⇒ T = 2π
⋅
Insbesondere: Frequenz f und Schwingungsdauer T sind unabhängig von der Amplitude (Experiment!).
Anmerkungen:
1. Im folgenden wird s ( t)
: = y(
t)
gesetzt.
2. Obiges Ergebnis erhält man immer, wenn FR = −D
⋅ s ist. D heißt die Richtgröße des schwingenden
Systems. Es gilt damit: harmonische Schwingung ⇔ FR ~ −s
⇔ f unabhängig von Amplitude A.
3. Die Federmasse muss gegenüber m vernachlässigbar sein, da auch ein Teil der Federmasse
mitschwingt.
4. Ein schwingungsfähiges System heißt Oszillator.
m
D
0
y
Feder (D)
Masse m

Aufgaben:
S. 118/1
Blatt Nr. 5
Hausaufgabe Blatt Nr. 6.1
2.2.2 Fadenpendel
An einem Faden vernachlässigbarer Masse der Länge l hängt ein Körper der Masse m. Nach Auslenkung
führt er eine Schwingung auf einem Kreisbogenstück mit Radius l durch.
Rücktreibende Kraft FR ist die Gewichtskomponente in Richtung Ruhelage. Die
dazu senkrechte Komponente spannt den Faden.
x
Es gilt: FR = −FG
⋅ sin α = −mg
⋅ sin (Bogenmaß von α )!
l
Das heißt aber: keine harmonische Schwingung!
✍
x x
Für kleine Winkel α , d.h. x

3 kg
2
0,
5kg
⋅ m ⋅ s
Wasser: ρ = 1,
0 ⋅10
; Q = 1,
0cm
; M = 0,
5kg
⇒ T = 2π
⋅
= 3,
14s
3
3 −4
2
m
2 ⋅10
kg ⋅10
m ⋅ 9,
81m
Hausaufgabe: T für Quecksilber
Ergänzung: Ist l die Länge des U-Rohrs, so folgt M = ρ ⋅ Vges
= ρ ⋅ Q ⋅ l
ρ ⋅ Q ⋅ l l
⇒ T = 2π
⋅ = 2π
⋅ (vgl. mit Fadenpendel!)
2ρ
⋅ Q ⋅ g 2g
2.2.4 Kettenpendel
Rücktreibende Kraft ist die Gewichtskraft des überstehenden Kettenstücks:
FR=−m'⋅2y⋅ g
Wenn die Massenbelegung m’ konstant ist, so gilt
FR∼y⇒Schwingung ist harmonisch mit D: = 2m'⋅ g.
Die gesamte schwingende Masse beträgt M = m'⋅ l
D 2m'⋅g 2g
⇒ω= = =
M m'⋅l l
2
l 1,5m⋅s Hausaufgabe: Übungsblatt Nr. 1: T = 2π⋅ = 2π⋅ = 1,74s
2g 2 ⋅ 9,81m
2.2.5 Schwimmender Körper
Ein in Wasser der Dichte fl ρ stabil schwimmender Holzkörper (Grundfläche Q, Höhe h, Dichte ρ K ) führt
nach einmaligem senkrechten
Eintauchen eine Schwingung aus.
Auf den Körper wirken seine
Gewichtskraft F G
$$% und die (von der
Eintauchtiefe abhängige)
Auftriebskraft F A;0
$$$% y
.
In der Ruhelage erfährt der Körper keine Kraft. Es muss hier gelten: FG = FA;0
(*)
Wird nun der Körper um die Strecke y aus seiner Ruhelage ausgelenkt, so erfährt er eine um den Betrag
∆ FA
veränderte Auftriebskraft (beim Eintauchen vermehrt, beim Anheben vermindert):
∆ FA = ∆mfl ⋅ g =ρfl ⋅∆Vk ⋅ g =ρfl ⋅Q⋅ y ⋅ g
Mit Berücksichtigung von Vorzeichen:
Eintauchen:
(*)
F = F − F = F − (F +∆ F ) = F −F −∆ F =−∆F ⇒ F = −ρ⋅Q⋅g⋅ y (y > 0)
R G A G A;0 A G A;0 A A R fl
Abheben:
(*)
F = F − F = F −(F −∆ F ) = F − F +∆ F =∆F ⇒ F =ρ⋅Q⋅g ⋅( − y) (y < 0)
R G A G A;0 A G A;0 A A R fl
In beiden Fällen gilt also FR=−D⋅ y mit D = ρfl ⋅Q⋅ g.
Daher ist die Schwingung harmonisch, wenn
ρ fl , Q und g konstant sind.
Gesamte schwingende Masse: M = ρk ⋅ Vk =ρk ⋅Q⋅ h
ω=
D
=
M
ρfl ⋅Q⋅g =
ρ ⋅Q⋅h ρfl ⋅ g
⇒ T = 2π⋅
ρ ⋅ h
ρk ⋅ h
(Übungsblatt 10)
ρ ⋅ g
k k fl
- 9 -
h
3
2
0

2.3 Energie bei Schwingungsvorgängen
Während einer mechanischen Schwingung ändern sich ständig kinetische und potentielle Energie des
schwingenden Körpers. Im folgenden sollen kinetische Energie k E (t) und potentielle Energie E(t) p bei
einer harmonischen Schwingung berechnet werden:
m 2 m 2 2 2
Kinetische Energie: E(t) k = ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos( ω t +ϕ )
2 2
D 2 D
2
Potentielle Energie: E(t) p = ⋅ (s(t)) = ⋅Asin( ⋅ ω t +ϕ )
2 2
Gesamte Schwingungsenergie:
m 2 m 2 2 2 D
2
E(t) = E k(t) + E p(t)
= ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos ( ω t +ϕ ) + ⋅A⋅sin ( ω t +ϕ )
2 2 2
2
mit D =ω ⋅ m ergibt sich:
m 2 m 2 2 2 m 2 2
E(t) = ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos ( ω t +ϕ ) + ⋅ω ⋅A⋅sin ( ω t +ϕ ) =
2 2 2
m 2 2 2 2 m 2 2 2 2
= ⋅A ⋅ω ⋅(cos ( ω t +ϕ ) + sin ( ω t +ϕ )) = ⋅A ⋅ω , denn cos ( ω t +ϕ ) + sin ( ω t +ϕ ) = 1
2 2
Damit ist E zeitlich konstant, wenn A konstant bleibt (keine Dämpfung)
Graphische Darstellung:
Ek(t), Ep(t), E(t)
Aufgabe: S. 119/1
Hausaufgaben: S.119/2d,e
Übungsblatt 6,9
2.4 Gedämpfte Schwingungen
Aufgrund unvermeidlicher Reibung nimmt die Energie einer harmonischen Schwingung allmählich ab.
Man unterscheidet zweierlei Arten von Dämpfung:
Einfluß konstanter Reibungskraft
(z.B. waagrechte Schwingung eines Holzblocks auf rauher Oberfläche)
Die Amplituden der Schwingung nehmen um jeweils festen Betrag ab (abnehmende arithmetische Folge).
Schließlich ist in der Nähe der Nullage die rücktreibende Kraft nicht mehr größer als die Reibungskraft.
Der Stillstand erfolgt daher (i.a.) außerhalb der Nullage.
Einfluß geschwindigkeitsabhängiger Reibungskraft
(z.B. Luftreibung, innere Reibung, Wirbelstromdämpfung)
T
- 10 -
t

Die Amplituden bilden eine fallende geometrische Folge. Gilt für die Reibungskraft FReib =−k⋅ v mit
k
konstantem k (d.h. geschwindigkeitsproportional), so heißt δ= : (m Masse) Abklingkonstante. In
2m
Abhängigkeit von δ ergeben sich folgende Fälle:
0
Auslenkung y(t)
Zeit t
0
Auslenkung y(t)
- 11 -
Zeit t
0
Auslenkung y(t)
periodisch Aperiodischer Grenzfall Kriechfall (aperiodisch)
2.5 Erzwungene Schwingungen
Ein Federpendel ist über einen Exzenter mit einem Elektromotor, der4 sich mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit dreht, verbunden. Er bewegt die Feder mit der Erregerfrequenz f periodisch auf
und ab. Dadurch wird das Federpendel zu einer harmonischen Schwingung mit dieser Frequenz f
gezwungen. Über den Abstand zu 2 Magneten, zwischen denen sich der Pendelkörper bewegt, kann die
Dämpfung, ausgedrückt durch δ (vgl. 2.4) variiert werden.
Beobachtung: Die Amplitude A der erzwungenen Schwingung hängt stark ab von der Erregerfrequenz f.
I) geringe Dämpfung
f in Hz
A in mm
II) starke Dämpfung
f in Hz
A in mm
Grafische Darstellung:
Amplitude A der erzwungenen Schwingung
Die Erregerfrequenz, bei der das Maximum
kleine Dämpfung
der Amplitude liegt, heißt Resonanzfrequenz
fR. fR und die erzwungene Amplitude A(fR)
hängen ab von der Dämpfung, gegeben durch
große Dämpfung
die Abklingkonstante δ ( ~ v , vgl. 2.4). Ohne
Aerr
Erregerfrequenz Dämpfung, d.h. δ= 0 , wird A(fR) unendlich
0
Resonanzfrequenz
groß („Resonanzkatastrophe“). fR stimmt dann
überein mit der Eigenfrequenz f0, mit der das
Pendel frei schwingt. All dies ergibt sich auch
aus der mathematischen Behandlung ( ω= 2πf; ω R = 2πf R; ω 0 = 2π f0
):
Zeit t

A( ω ) =
Man erkennt:
1. fR < f0
2. limA(f ) = 0
f →∞
3. lim A(f ) = Aerr
f→0 2
Aerr
⋅ω0
2 2 2 2 2
0
( ω −ω ) + 4⋅δ
⋅ω
mit relativem Maximum
- 12 -
2 2
ω R = ω0 −2δ .
Der Betrag der Phasendifferenz zwischen Erregerschwingung und erzwungener Schwingung:
2 ⋅ω⋅δ
Mathematisch: tan ∆ϕ = 2 2
ω −ω
0
Grafisch (negative Phasendifferenz, da Nachhinken)
Man erkennt:
1. Für kleine Erregerfrequenzen f verlaufen Erregerschwingung und erzwungene Schwingung
lim ∆ϕ = 0
gleichphasig:
f→0 2. Für große Erregerfrequenzen f verlaufen Erregerschwingung und erzwungene Schwingung
gegenphasig: lim ∆ϕ =−π
f →∞
π
3. Für die Eigenfrequenz f0 gilt unabhängig von der Dämpfung: ∆ϕ =− .
2
Resonanzversuche
Aufgaben:
S.124/1 oben
S. 124/1 unten