Basiswissen Mathematik 7. Klasse – 1. Terme und Umformen von ...

Basiswissen Mathematik 7. Klasse – 2. Gleichungen
Grundbegriffe
Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine
Gleichung. Die Zahlen der Grundmenge G, die beim Einsetzen in die Gleichung
eine wahre Aussage liefern, heißen Lösungen dieser Gleichung. Die Lösungen
einer Gleichung fasst man zur Lösungsmenge L dieser Gleichung zusammen.
Wenn kein Element der Grundmenge G beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre
Aussage ergibt, dann ist die Lösungsmenge die leere Menge { }.
Lösen einer
Gleichung mit
Hilfe von
Äquivalenzumformungen
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung bei der sich die
Lösungsmenge nicht ändert.
Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man
- von beiden Seiten dieser Gleichung dieselbe Zahl bzw. den selben Term addiert
(subtrahiert).
- jede der beiden Seiten der Gleichung mit derselben (durch dieselbe) von Null
verschiedene Zahl multipliziert (dividiert).
Prüfe am Ende immer, ob die Lösung in der Grundmenge enthalten ist.
Beispiele
x – 5 = 2 , G = Z
x + 5 = 2, G = N
x 1 = , G = Q
3 2
x – 5 = 2 ⏐+5 x +5 = 2 ⏐–5
x = 2
1 ⏐⋅ 3
x – 5 +5 = 2 +5 x +5 – 5 = 2 – 5 ( 3
x ) ⋅ 3 = 2
1 ⋅ 3
x = 7 ∈ G x = –3∉G x = 1,5 ∈ G
L = {7} L = { } L = { 1,5 }
3
Besonderheiten
bei der
Lösungsmenge
x – 3 = – 3 + x, G = Q
2(x + 4) = 2x – 3, G = Z
x – 3 = – 3 + x⏐–x + 3 2x + 8 = 2x – 3 ⏐–2x
x – 3 – x + 3 = – 3 + x – x + 3 2x + 8 – 2x = 2x – 3 – 2x
0 = 0 (wahr) 8 = –3 (falsch)
L = G = Q L = { }
Basiswissen Mathematik 7. Klasse – 3. Stastistik
Arithmetisches
Mittel Arithmetisches Mittel =
Beispiel:
Einzelwerte 4,5m; 4,1m; 3,8m
Arithmetisches Mittel (Mittelwert):
Summe aller Einzelwerte
Anzahl aller Einzelwerte
4,5m
+ 4,1m
+ 3,8m
12,4m
= ≈ 4,1m
3
3