Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

1.3. GEOMETRISCHE BEGRIFFE 29
1.2.5 Diskrete Dynamik von Selbstabbildungen
Wir wollen hier die allgemeine Situation diskreter dynamischer Systeme
beschreiben. Das Wort diskret bezieht sich hier auf die Zeit, d.h. als Zeitmengen
kommen also nurÆoderin Frage. Der Zustandsraum X sei
jeweils eine metrischer Raum. Dazu sei f : X → X eine (stetige) Abbildung.
Dann betrachten wir für x ∈ X und n ∈Æ0
Φ(n, x) = f n (x).
Diese Abbildung hat offensichtlich die Eigenschaften eines Flusses. Deshalb
können wir folgende Definition vereinbaren.
Definition 1.2.5.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, f : X → X stetig, dann
nennen wir das Paar (X, f) ein diskretes dynamisches System mit Zeitmenge
Ì=Æ0. Ist f zusätzlich bijektiv, d.h. f −1 existiert, so ist die ZeitmengeÌ=.
1.3 Geometrische Begriffe
1.3.1 Spezielle Orbits und ihre Grenzmengen
Im folgenden sei (X, d) ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge, ϕ : X ×
Ì→X ein Fluss. Wir wollen nun einige Begriffe einführen, die uns in
die Lage versetzen über das Langzeitverhalten einzelner Trajektorien, wie
auch des gesamten Systems zu sprechen.
Definition 1.3.1.1 Es sei X ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge,
ϕ :Ì×X → X
ein Fluss. Ist x 0 ∈ X so nennen wir die Menge
{
O(x 0 ) = ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì}
den Orbit des Punktes x 0 . Entsprechend definieren wir auch die positiven und
negativen Semiorbits von x 0 durch
{
}
O + (x 0 ) = ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì, t ≥ 0
bzw.
O − (x 0 ) =
{
}
ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì, t ≤ 0 .