Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

54 KAPITEL 2. STABILITÄT
Lemma 2.4.2.13 (Formel der Variation der Konstanten) Sei A ∈ L(Ên ,Ên ),
f :Ê→Ên stetig. Sei u 0 ∈Ên . Dann ist eine spezielle Lösung der Gleichung
˙u = Au + f(t) gegeben durch
u 0 (t) = e At u 0 +
Beweis. Differenzieren ergibt
also
∫ t
0
e A(t−s) f(s)ds. (2.10)
∫
d
t
dt u0 (t) = Ae At u 0 + [e A(t−s) d
f(s)] |s=t +
0 dt eA(t−s) f(s)ds,
d
dt u0 (t) = Ae At u 0 + f(t) + A
∫ t
0
e A(t−s) f(s)ds = Au + f(t).
2.4.3 Ebene lineare Systeme
In diesem Abschnitt wollen wir ebene, lineare und autonome Systeme charakterisieren.
Wir betrachten also eine Gleichung der Form
˙u = Au, (2.11)
wobei A ∈ L(Ê2 ,Ê2 ) eine lineare Abbildung ist. Seien λ 1 , λ 2 die Eigenwerte
von A. Wir unterscheiden:
1. λ 1 > λ 2 > 0;
2. λ 1 = λ 2 > 0;
3. λ 1 = λ 2 , Reλ 1 > 0;
4. λ 1 > λ 2 = 0;
5. λ 1 = λ 2 = 0;
6. Reλ 1 = Reλ 2 = 0, λ i ≠ 0;
7. λ 1 > 0 > λ 2 ;