Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

1.3. GEOMETRISCHE BEGRIFFE 33
3. IstÌeine Gruppe, so kann das eben verwendete Argument ebenso
für negative Zeiten angewendet werden.
Beispiel 1.3.1.10 1. Wir betrachten das dynamische System f : S 1 →Ë1 :
φ ↦→ φ + β. Ist β ∈ πÉ, so ist, wie wir wissen jeder Orbit periodisch
und die Grenzmenge sind für den Anfangswert φ 0 mit periodischen Orbit
O = {φ 0 , φ 1 , . . .,φ k }
α(φ 0 ) = ω(φ 0 ) = O.
Ist β ∈ (Ê\É)π, so ist jeder Orbit O(φ 0 ) dicht und es gilt
α(φ 0 ) = ω(φ 0 ) = S 1 .
2. Ein etwas allgemeineres Verhalten zeigt die folgende Abbildung 1.2. f bildet
jeweils die roten Punkte auf den nächsten im mathematisch positiven Sinne
ab, entsprechend die blauen Punkte. Dazwischen werden die Segmente
S 1 → S 2 → S 3 → S 1 abgebildet. Die nicht bezeichneten Segemente werden
genauso behandelt. Gleichzeitig soll f die Punkte die Punkte in Richtung
der roten Punte verschieben. Dann gilt für jeden roten Punkt x r,i
ω(x r,i ) = α(x r,i ) = O(x r,i )
und entsprechend für jeden blauen Punkt
Für jeden anderen Punkt x ist
ω(x b,i ) = α(x b,i ) = O(x b,i ).
ω(x) = O(x r,i ) und α(x) = O(x b,i ).
Definition 1.3.1.11 Es sei (X, d) ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge und
ϕ :Ì×X → X ein Fluss. Ein Punkt x 0 ∈ X heißt nichtwandernd, wenn es
zu jeder Umgebung U ein 0 < t ∈Ìgibt mit
ϕ(t, U) ∩ U ≠ ∅.
Die Menge der nichtwandernden Punkte wird mit
{
}
Ω(ϕ) = x ∈ X ∣ x ist nichtwandernd
bezeichnet.