Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Oleg Taraszow
Fachbereich Angewandte Informatik
Hochschule Fulda
E-Mail: oleg.taraszow@informatik.hs-fulda.de
Superturniere und Darstellungen azyklischer Netze
Zusammenfassung: In der Arbeit ist ein Algorithmus zur Bestimmung der Anzahl (G) aller
unterschiedlichen kreisfreien Superturniere (topologischen Sortierungen) eines endlichen
markierten kreisfreien Digraphen angegeben. Zur Bestimmung der Anzahl (G) ist eine
rekursive Methode des Entfernes von Zyklen vorgeschlagen, die das Problem der
Bestimmung der Anzahl (G) auf den Fall von gerichteten Bäumen (Dibäumen) zurückführt.
Für Dibäume wird die Anzahl in analytischer Form berechnet.
Außerdem sind zwei Familien oberer Schranken für die Anzahl (G) angeboten. Die erste
Familie ergibt sich aus der Menge der aufspannenden Dibäume von G, während sich die
zweite aus der Menge der minimalen Dilworth-Zerlegungen von G ableitet. Im Fall, dass G
ein Dibaum ist, stimmen die oberen Schranken der ersten Familie mit der Anzahl (G)
überein.
Für das betrachtete Problem ist eine Reihe aus der Literatur bekannter äquivalenter Probleme
angegeben.
Weiterhin ist in der Arbeit das Problem der Bestimmung der Anzahl h(G) unterschiedlicher
Quasiordnungen (Hamilton´schen Superturniere) eines kreisfreien Digraphen untersucht. Es
ist eine Methode angegeben, die das genannte Problem der Bestimmung von h(G) auf die
Bestimmung von (G) zurückführt. Für die Anzahl h(G) ist die Lösung in einer analytischen
Form angeboten und sind einige untere und obere Schranken gewonnen.
Es ist gezeigt, dass sich ein kreisfreier transitiver Digraph als Durschnitt seiner kreisfreien
Superturniere darstellen lässt. Auf der Menge der orientierten Digraphen ist eine binäre
Operation „alternierende Summe“ von Digraphen eingeführt und deren Eigenschaften
untersucht. Speziell ist gezeigt, dass die alternierende Summe eine Abel`sche Gruppe bildet.
Es ist bewiesen, dass ein kreisfreier Digraph sich als alternierende Summe von Hamilton´schen
Bahnen aller seinen kreisfreien Superturnieren darstellen lässt.
Inhalt:
1. Einführung.
2. Problemstellung.
3. Anzahl kreisfreier Superturniere eines kreisfreien Digraphen.
4. Zwei Familien oberer Schranken.
5. Äquivalente Problemstellungen.
6. Anzahl der Quasiordnungen eines kreisfreien Digraphen.
7. Darstellung kreisfreier Digraphen.

1. Einführung
Betrachten wir ein azyklisches Netz, das durch einen kreisfreien Digraphen G beschrieben
wird. Die Knoten des Digraphen G repräsentieren z.B. Operationen, Jobs etc. und die Bögen
geben die Restriktionen über die Reihenfolge der Bearbeitung von Knoten des Digraphen G
wieder. Eine Reihenfolge aller Knoten des Digraphen G ist eine zulässige Bearbeitungsreihenfolge
(eine zulässige schedule, eine topologische Sortierung etc.) von Knoten des
Digraphen G, wenn diese Bearbeitungsreihenfolge keiner durch Bögen vorgegebenen
Restriktionen wiederspricht.
Es wird die Anzahl (G) aller unterschiedlichen zulässigen Bearbeitungsreihenfolgen
(zulässigen schedules, topologischen Sortierungen) eines kreisfreien Digraphen G gesucht.
Superturnier eines gerichteten Graphen (Digraphen) G heißt ein Turnier, für das G
aufspannender Digraph ist. In der Arbeit wird das Problem der Bestimmung der Anzahl (G)
aller kreisfreien Superturniere eines markierten kreisfreien Digraph G untersucht. Es wird
gezeigt, dass dieses Problem dem Problem der Bestimmung der Anzahl zulässiger
Bearbeitungsreihenfolgen (zulässiger schedules, topologischer Sortierungen) eines markierten
kreisfreien Digraphen G äquivalent ist.
Andere äquivalente Problemstellungen wurden in den Arbeiten [5,9,10,11] behandelt. In den
Arbeiten [10,11] wurde das Ausgangsproblem auf den Fall schwach zusammenhängender
Digraphen zurückgeführt und eine obere Schranke für (G) in analytischer Form angegeben.
In [5] wurde eine Idee für einen Algorithmus zur Bestimmung der Anzahl (G) angegeben,
die auf rekursiver Entfernung der Anfangs- oder Endknoten von G basiert. Außerdem wurden
einige Eigenschaften des Spektrums von (G)/n! für bestimmte Halbordnungen berechnet. In
[9] wurde der Begriff des Unvergleichbarkeitsgraphen G(R) einer Halbordnung R eingeführt.
Darüber hinaus wurde eine Funktion auf der Menge aller Graphen definiert, für die
(G (R)) = (G(R)) gilt, wobei G (R) den Digraphen der Halbordnung R bezeichnet. Einige
Eigenschaften dieser Funktion wurden bestimmt.
In der vorliegenden Arbeit wird eine rekursive Methode der Entfernung der Zyklen eines
Digraphen vorgeschlagen, die das Ausgangsproblem auf den Fall gerichtete Bäume
zurückführt. Auf der Grundlage dieser rekursiven Methode wird ein Algorithmus I zur
Bestimmung der Anzahl (G) für einen beliebigen markierten kreisfreien Digraphen G
k
abgeleitet. Der Algorithmus hat die Raumkomplexität von O(( | V ( G)
| | E(
G)
| ) c ( G))
und die Zeitkomplexität von ˆ k
O(( | V ( G)
| | E(
G)
| ) c ( G))
. Dabei sind |V(G)| die Anzahl der
Knoten und |E(G)| die Anzahl der Bögen von G. Ĝ bezeichnet den Basisgraphen des
Digraphen G; k und c(G) sind folgendermaßen definiert:
k : | E(
Gˆ ) | | V ( Gˆ ) | 1
, c(
G)
: max | E(
L)
| ,
L
( G)
wobei (G) die Fundamentalmenge der Zyklen des Digraphen G bezeichnet.
Für Dibäume wird die Lösung in analytischer Form angegeben.
Wie in dieser Arbeit gezeigt wird, besteht ein Zusammenhang zwischen der vorliegenden
Problemstellung und dem Problem der Bestimmung der Menge der aufspannenden Dibäume
eines Digraphen sowie dem Problem der Bestimmung der Menge der minimalen Dilworth-
Zerlegungen (D-Zerlegungen) eines Digraphen.
Mit Hilfe der Menge (G) aufspannender Dibäume eines Digraphen G erhält man eine
Familie {(G, D[G]) | D[G] (G)} von oberen, in analytischer Form gegebener Schranken
für (G). Wenn der Basisgraph jeder schwach zusammenhängenden Komponente von G ein
Dibaum ist, stimmen die oberen Schranken mit (G) überein.
2

Zur Bestimmung einer oberen Schranke (G, D[G]) wird ein Algorithmus II angegeben.
Dieser Algorithmus II hat die Raumkomplexität von O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeit-
2
komplexität von O(
| V ( G)
| ) bzw. O( | E(
G)
| log log | V ( G)
| ) .
Weiter wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus der Familie
{(G, D[G]) | D[G] (G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus IV gegeben. Dieser Algorithmus IV hat die Raumkomplexität von
O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeitkomplexität von O ( exp | V ( G)
| ) .
Mit Hilfe der Menge D(G) minimaler Dilworth-Zerlegungen eines Digraphen G erhält man
eine Familie {(G, L) | L D(G)} von oberen, in analytischer Form gegebenen Schranken für
(G). Mittels des in der Arbeit angegebenen Algorithmus III wird eine minimale obere
Schranke (G) aus dieser Familie auf der Grundlage einer heuristischen Lösung bestimmt.
Die Raumkomplexität und die Zeitkomplexität sind gleich jeweils der des Algorithmus IV.
Der Algorithmus IV enthält den Algorithmus III und benötigt deshalb mehr Operationen.
Allerdings berücksichtigt der Algorithmus IV die Struktur des betrachteten Digraphen in
stärkerem Maße als Algorithmus III, wodurch in der Regel eine bessere obere Schranke
erhalten wird.
Weiterhin wird das Problem der Bestimmung der Anzahl h(G) der Quasiordnungen eines
endlichen markierten kreisfreien Digraphen untersucht. Es wird eine Methode angegeben, die
das genannte Problem auf das Problem der Bestimmung der Anzahl (G) der kreisfreien
Superturniere eines kreisfreien Digraphen zurückführt.
Für die gesuchte Anzahl h(G) wird eine Methode angegeben, nach der untere und obere
Schranken bestimmt werden können. In diese Schranken geht die Anzahl (G) der kreisfreien
Superturnieren eines kreisfreien Digraphen G ein. Auf dieser Basis wird eine Reihe von
unteren und oberen Schranken für h(G) gewonnen.
Weiterhin wird das Problem der Darstellungen kreisfreier Digraphen untersucht. In der Arbeit
[6] wurde bewiesen, dass sich ein beliebiger endlicher markierter kreisfreier Digraph als
Durchschnitt aller seiner Quasiordnungen darstellen lässt und in [2] wurde bewiesen, dass
sich eine beliebige strikte Halbordnung als Durchschnitt aller ihrer linearen Ordnungen
darstellen lässt.
Ausgehend aus der Menge der Quasiordnungen werden einige neue Darstellungen endlicher
kreisfreier Digraphen angeboten. Es wird z.B. gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher
markierter transitiver kreisfreier Digraph als Durchschnitt aller seiner kreisfreien Superturniere
darstellen lässt. Aus diesem Ergebnis folgt, dass die Dimension der Darstellung
strikter Halbordnung, die durch einen endlichen kreisfreien transitiven Digraphen G gegeben
ist, gleich der Anzahl h(G) seiner kreisfreien Superturniere ist.
In der Arbeit wird eine binäre Operation über eine Menge K(X) orientierter Digraphen auf
einer Knotenmenge X eingeführt, die alternierende Summe genannt wird. Es wird gezeigt,
dass die Menge K(X) orientierter Digraphen mit auf ihr gegebenen binären Operation eine
Abel´sche Gruppe ( K(X), ) bildet.
Mit Hilfe dieses Ergebnis wird es gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher markierter
kreisfreier Basisgraph als alternierende Summe der Hamilton´schen Bahnen seiner kreisfreien
Superturniere darstellen lässt.
3

2. Problemstellung
Ein gerichteter Graph (Digraph) G = (V, E) besteht aus einer Menge V von Knoten und einer
Menge E von Bögen, wobei gilt: E V V.
In der Arbeit werden kreisfreie Digraphen betrachtet, d.h. gerichtete Graphen (Digraphen)
ohne Schlingen und parallele Bögen, die keine Kreise (orientierte Zyklen) enthalten. Die
betrachteten Digraphen sind in der Regel markiert, d.h. sie haben eine markierte (z.B. durchnumerierte)
Knotenmenge. Zwei markierte Digraphen heißen isomorph, wenn eine
eineindeutige Abbildung zwischen ihren Knotenmengen existiert, bei der nicht nur die
Nachbarschaft der Knoten erhalten bleibt, sondern auch die Verteilung der Markierungen
(genaueres siehe z.B. [4]).
Unter einem Turnier wird in dieser Arbeit ein vollständiger orientierter Graph verstanden.
Wir erinnern daran, dass ein Digraph orientierter Graph heißt, wenn er keine entgegengesetzt
gerichteten Bögen enthält. Es ist offensichtlich, dass ein kreisfreier Digraph ein orientierter
Graph ist.
Superturnieir eines Digraphen G heißt ein Turnier, für das G aufspannender Digraph ist.
Obergraph eines Digraphen G heißt ein Digraph, für den G aufspannender Digraph ist.
P r o b l e m 1. Es ist die Anzahl (G) aller voneinander verschiedenen (nicht isomorpher)
kreisfreien Superturniere eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G zu bestimmen.
Beispiel 1. Für den markierten kreisfreien Digraphen Q 1 (Abb. 1) gibt es drei voneinander
verschiedene kreisfreie Superturniere 1
, i = 1, 2, 3 (Abb. 2), und folglich ist (Q 1 ) = 3.
1
2
3
4
Abb. 1. Digraph Q 1
1
1
2
1
2
2
1
3
2
3
4
3
4
3
4
Abb. 2. Kreisfreie Superturniere des Digraphen Q 1
4

3. Anzahl kreisfreier Superturniere eines kreisfreien Digraphen.
In diesem Paragraph werden Lösungsmethoden und Ergebnisse zur Bestimmung der Anzahl
(G) aller nicht isomorphen kreisfreien Superturniere eines endlichen markierten kreisfreien
Digraphen G präsentiert. Diese Methoden und Ergebnisse, falls nicht anderes gesagt ist, sind
eine Zusammenfassung der vom Autor erzielten Ergebnisse aus der Arbeiten [12 – 16].
Details und Beweise kann der interessierte Leser aus diesen Arbeiten entnehmen.
Es werden nun einige Bezeichnungen und Begriffe eingeführt, die für das weitere Vorgehen
erforderlich sind.
Mit | X | bezeichnen wir die Anzahl der Elemente einer Menge X. Mit G ( V , E)
bezeichnen
wir einen Digraphen mit der Knotenmenge V und der Bogenmenge E. Die Mengen V bzw. E
des Digraphen G ( V , E)
werden wir auch mit V(G) bzw. E(G) bezeichnen. Wir merken an,
dass für die Digraphen G 1 und G 2 gilt:
und
G 1 G 2 : (V(G 1 ) V(G 2 )) (E(G 1 ) E(G 2 ))
G 1 G 2 : (V(G 1 ) V(G 2 )),(E(G 1 ) E(G 2 )) .
Einen beliebigen Digraphen G kann man auf genau eine Weise in der folgenden Form
darstellen:
m
G G
i1
i
,
(siehe z.B. [6], Theorem 2.2.1), wobei G i (i = 1, 2 , ... , m) die schwachen Zusammenhangskomponenten
des Digraphen G sind.
T h e o r e m 1. ( [11], Theorem 2.3 ) Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien
Digraphen G mit
m
G G gilt:
i1
i
m
m
( Gi
)
( G)
Gi
| V ( G)
|! . (1)
i1
i1
| V ( G ) |
F o l g e r u n g. Durch das Theorem 1 wird das Problem 1 der Bestimmung der Anzahl (G)
aller nicht isomorphen kreisfreien Superturniere eines endlichen markierten kreisfreien
Digraphen G auf den Fall endliche markierter kreisfreier zusammenhängender Digraphen
zurückgeführt.
Der Bogen r E(G) des Digraphen G, der den Knoten x V(G) mit dem Knoten y V(G)
verbindet, heißt Bogen der transitiven Hülle, wenn es im Digraphen G eine Bahn vom Knoten
x zum Knoten y gibt. Mit G bezeichnen wir die transitive Hülle des Digraphen G, d.h., G ist
derjenige Digraph, der aus G durch Einfügen aller Bögen der transitiven Hülle erhalten wird.
Die transitive Hülle G des endlichen Digraphen G ist eindeutig bestimmt (siehe z. B. [17],
S. 226, Folgerung 1). Es ist offensichtlich, dass mit G auch G ein kreisfreier Digraph ist.
L e m m a 1. ( [9], Satz 3 ) Für einen beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen G und
seine transitive Hülle G gilt:
( G ) = (G) .
5
i

L e m m a 2. Für beliebige endliche kreisfreie Digraphen G 1 und G 2 mit G1 G2
(G 1 ) = (G 2 ) .
gilt
Mit Ĝ bezeichnen wir den Basisdigraphen eines endlichen kreisfreien Digraphen G, d.h.
Gˆ
G und Ĝ hat die kleinste Anzahl von Bögen. Für einen endlichen kreisfreien Digraphen
G existiert genau ein Basisgraph (s. z. B. [6], Theoreme 9.1.1-9.1.3).
L e m m a 3. ([9], Satz 2) Für einen beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen G und
seinen Basisdigraphen G gilt:
(G) = ( Ĝ ) .
Für einen Bogen r E(G) des Digraphen G bezeichnen wir mit G r den Digraphen, der aus
G durch Weglassen des Bogens r entsteht, und mit G r den Digraphen, der aus G entsteht,
indem der Bogen r entgegengesetzt orientiert wird. Dann gilt offensichtlich:
L e m m a 4. Es sei G ein endlicher markierter kreisfreier Digraph. Dann gilt:
r E( G)
: ( G r)
( G)
( G r)
.
Für einen Knoten x V(G) eines Digraphen G bezeichnen wir mit id G (x) die Anzahl der in x
einlaufenden Bögen und mit od G (x) die Anzahl der aus x auslaufenden Bögen.
Mit L wird ein Zyklus des kreisfreien Digraphen G (L G) bezeichnet.
Einen Knoten a V(L) nennen wir Anfangsknoten des Zyklus L, wenn id L (a) = 0; analog
heißt e V(L) Endknoten des Zyklus L, wenn od L (e) = 0 (siehe Beispiel in Abb. 3)
a 2
b 2
3
4
-2
e 3
b 3
-3
2
L
-1
5
e 2
b 1
1
a1
e 1
Abb. 3. Beispiel eines Zyklus L.
Durch Umorientierung einer gewissen Untermenge von Bögen des Zyklus L kann L in einen
Kreis umgewandelt werden. Die Bögen dieser Untermenge nennen wir negativ orientierte
Bögen (oder Bögen mit negativer Orientierung) (z.B. die Bögen (b 1 , e 1 ), (b 2 , e 2 ), (b 3 , e 3 ) des
Zyklus L in Abb. 3); die restlichen Bögen des Zyklus nennen wir positiv orientierte Bögen
(oder Bögen mit positiver Orientierung). Mit m 1 (L) bzw. m 2 (L) bezeichnen wir die Anzahl der
negativ bzw. positiv orientierten Bögen des Zyklus L. Wir führen folgende Nummerierung der
Bögen des Zyklus L ein (s. Beispiel in Abb. 3). Beginnend bei irgendeinem Endknoten des
Zyklus L nummerieren wir die positiv orientierten Bögen (fortschreitend in der negativen
Orientierung) mit positiven Nummern 1, 2, ... , m 2 (L), die negativ orientierten Bögen
(fortschreitend in der positiven Orientierung) mit negativen Nummern -1,-2, ... , - m 1 (L).
6

Es werde mit Li
derjenige Zyklus bezeichnet, der aus dem Zyklus L durch Umorientierung
von | i | Bögen mit den Nummern 1, 2, ... , i, falls i > 0, oder -1, -2, ... , i, falls i < 0 entsteht.
Mit L i bezeichnen wir denjenigen Digraphen, der aus dem Zyklus L i
erhalten wird, wenn aus
Li
der Bogen mit der Nummer i entfernt wird. Weiter sei
Digraph, der aus G dadurch entsteht, dass der Zyklus L durch L i
G
Li
bzw. G
bzw.
L i
derjenige
Li
ersetzt wird.
T h e o r e m 2. (Methode des Entfernens eines Zyklus) Für einen beliebigen Zyklus L
eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G gilt:
m2
( L)
i1
( G)
(
1)
( G Li
) , (2)
i1
( G)
1
i1
( 1)
( G Li
) . (3)
im1
( L)
F o l g e r u n g. Aus den Formeln (2), (3) von Theorem 2 folgt:
1
m2
( L)
i1
( G)
( 1)
( G Li
) . (4)
2 im1
( L)
Das Vorzeichnen (-1) i +1 vor dem Glied G / L ) bezeichnen wir auch mit sign(G/L i ).
(
i
Mit [L] bezeichnen wir einen Zyklus, der aus einem Zyklus L des Digraphen G durch
Umorientierung gewisser Bögen hervorgeht.
L e m m a 5. Die Methode des Entfernens eines beliebigen Zyklus L aus einem endlichen
markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G führt das Problem, die Zahl (G) zu
bestimmen, auf den Fall endlicher markierter kreisfreier zusammenhängender Digraphen, die
keinen Zyklus [L] enthalten, zurück.
L e m m a 6. Die Methode des Entfernens eines beliebigen Zyklus L aus einem endlichen
markierten kreisfreien Digraphen G führt das Problem, die Zahl τ(G) zu bestimmen, zurück
auf den Fall von Digraphen mit einer kleineren Anzahl von Zyklen, als sie der gegebene
Digraph G besitzt.
L e m m a 7. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden
Digraphen G kann das Problem, die Anzahl τ(G) zu bestimmen, auf den Fall eines endlichen
markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen mit einem einzigen Anfangsknoten
zurückgeführt werden.
Einen Digraphen ohne Zyklen nennen wir einen gerichteten Wald; einen schwach zusammenhängenden
gerichteten Wald nennen wir einen gerichteten Baum (Dibaum), einen gerichteten
Baum mit einem einzigen Anfangsknoten nennen wir einen gerichteten Baum mit Wurzel
(Dibaum mit Wurzel).
T h e o r e m 3. Die Methode des Entfernens aller Zyklen eines beliebigen endlichen
markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit einem Anfangsknoten führt auf
das Problem, die Zahl τ(G) für den Fall endlicher markierter Dibäume mit Wurzel zu
bestimmen.
7

Die Menge aller Dibäume mit Wurzel, die nach der Anwendung der Methode des Entfernens
aller Zyklen des kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit einem Anfangsknoten
entstehen (s. Theorem 3), bezeichnen wir mit (G).
Bemerkung. Für einen beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen gilt wegen Lemma 3:
( G)
( Gˆ ) . Folglich kann das Theorem 3 wesentlich ökonomischer (bezüglich der Anzahl
der wegzulassenden Zyklen und Bögen) angewendet werden, wenn anstelle des Anfangsproblems,
die Anzahl τ(G) des Digraphen G zu bestimmen, das dazu äquivalente Problem der
Bestimmung der Anzahl τ(Ĝ ) des Basisdigraphen Ĝ betrachtet wird.
Beispiel 2. Das in Abb. 4 angegebene Beispiel zeigt, wie die Methode des Entfernens von
Zyklen im Fall eines endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen mit
nur einem Anfangsknoten angewendet wird.
1 2
1 2
1 2
1 2
τ(Q 2 ) = τ 3
4 = τ 3
4 τ 3
4 = τ
3
4
5
6
5
6
5
6
5
6
1 2
1 2
1 2
3
4
τ τ 3
4 τ
3
4
5
6
5
6
5
6
Abb. 4. Beispiel für die Benutzung der Methode des Entfernens von Zyklen.
T h e o r e m 4. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G kann
das Problem, die Anzahl τ (G) zu bestimmen, auf den Fall endlicher markierter Dibäume mit
Wurzel zurückgeführt werden.
Wir bezeichnen mit ( x,
y)
einer Bahn (einen gerichteten Weg) im kreisfreien Digraphen G
P G
vom Knoten x V(G) zum Knoten y V(G). Die Länge der Bahn ( x,
y)
, d.h. die Anzahl
der Bögen in P G
( x,
y)
, bezeichnen wir mit l P
( x,
y)
.
Es sei dG ( x,
y)
: min{ lP
( x,
y)}
,
P
d.h. ( x,
y)
bezeichnet die Länge der kürzesten Bahn im Digraphen G vom Knoten x V(G)
d G
zum Knoten y V(G).
P G
8

Mit B bezeichnen wir einen gerichteten Baum mit Wurzel. Es sei a V(B) die Wurzel (der
Anfangsknoten) von B. Dann nennen wir den Knoten x V(G) Knoten der k-ten Stufe des
Dibaumes B, wenn gilt: ( x,
y)
k (k = 0, 1, 2, ... , n; n N: = |V(B)|).
d G
Für einen beliebigen Knoten x V(B) bezeichnen wir mit B x einen maximalen gerichteten
Unterbaum des Dibaumes B mit Wurzel x. Das bedeutet zum Beispiel, dass V(B x ) die Menge
aller Knoten des Dibaumes B ist, die von Knoten x aus erreichbar sind, d.h.:
V ( B ) { y V
( B)
| P
( x,
y)}
.
x
G
T h e o r e m 5. Für einen beliebigen endlichen markierten Dibaum B mit Wurzel gilt:
( B)
| V ( B)
|! / | V ( ) | . (5)
xV
( B)
B x
F o l g e r u n g 1. Wir nummerieren alle Knoten des Dibaumes B mit Wurzel auf
willkürliche Weise mit den Zahlen i = 1, 2, ..., Ν , wobei N = |V(B)|. Es sei N
i
: | V ( Bi
) |
(i = 1, 2, ..., Ν). Dann nehmen (4) folgende Gestalten an:
N
( B)
N ! / . (6)
i1
N i
Beispiel 3. Für den Digraphen Q 2 aus Beispiel 2 wurde gezeigt, dass gilt:
τ(Q 2 ) = τ(S 1 ) τ(S 2 ) τ(S 3 ) τ(S 4 ),
dabei sind S i (i = 1, 2, 3, 4) die in Abb. 4 dargestellten Dibäume. Wenden wir auf diese Dibäume
Formel (5) an, so erhalten wir:
6!
6!
6!
6!
τ(Q 2 ) =
5
6 1
4 1
2 1
6 1
4 3
2 1
6 1
5
2 2 1
6 5
4 3
2 1
Alle fünf kreisfreien Superturniere des Digraphen Q 2 aus Beispiel 2 sind in Abb. 5 dargestellt.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
Abb. 5. Kreisfreie Superturniere des Digraphen Q 2
F o l g e r u n g 2. Wir bezeichnen mit B m,k einen homogenen Dibaum mit Wurzel vom
Grade m und der Stufenanzahl k ; d. h., B m,k ist ein Dibaum mit Wurzel, dessen Stufenanzahl
gleich k ist und bei dem für einen beliebigen Knoten x der Stufe j ≤ k - 1 gilt: od ( x)
m
Dann gilt folgende Formel:
B m , k
.
9

k
m 1
m
k
k
m 1
i
m1
k i1
m
m, k
) ( m 1) m ! (
m 1)
m 1
i1
( B
. (7)
Mit D[G] bezeichnen wir einen aufspannenden Dibaum mit Wurzel des Digraphen G. Wir
erinnern daran, dass der Digraph G dann ein aufspannender Dibaum mit Wurzel genannt
wird, wenn gilt: D[G] ist Dibaum mit Wurzel, V(D[G]) = V(G) und D[G] G. Für einen
beliebigen Knoten x V(B) bezeichnen wir mit D x [G] einen maximalen Unterdibaum mit
Wurzel mit dem Anfangsknoten (der Wurzel) x vom aufspannenden Dibaum D[G] mit
Wurzel des Digraphen G.
T h e o r e m 6. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G, bei
dem jede Zusammenhangskomponente des Basisdigraphen Ĝ ein aufspannender Dibaum mit
Wurzel ist, d. h. wenn: G G
Gˆ
D[
i
G i
] , dann gilt:
m
i1
i
m
und für jedes i = 1,2,...,m ein D[G i ] derart existiert, dass
( G)
|
V ( G)
|! / | V ( D [ G ]) | . (8)
i1
xV
( Gi
)
x
i
Beispiel 4. Für den Digraphen Q 3 (Abb. 6) ist jede Zusammenhangskomponente des
Basisdigraphen Q 3 ein aufspannender Dibaum mit Wurzel (Abb. 7). Dann erhalten wir gemäß
Formel (6) von Theorem 6:
13!
( Q3 )
4.804.800 .
1
6 11
31
4 1
313
2 1
1 2 3
7
11
4 5 6
8 9 10
12 13
Abb. 6. Digraph Q 3
2
7
11
1 3
5
9
12
4 6
8 10 13
Abb. 7. Basisdigraph ˆQ
3
.
10

Wir erinnern daran, dass wir die Menge aller Dibäume T mit Wurzel, die nach der
Anwendung der Methode des Entfernens aller Zyklen des kreisfreien zusammenhängenden
Digraphen G mit einem Anfangsknoten entstehen (s. Theorem 3), mit (G) bezeichnen und
mit sign(T) bezeichnen wir das Vorzeichnen für das Glied τ(T) in den Formeln (2) – (4) der
Methode des Entfernes von Zyklen (s. Theorem 2).
Aus den in diesem Paragraph abgeleiteten Ergebnissen resultiert folgender Algorithmus I zur
Bestimmung der Anzahl τ(G) aller kreisfreien Superturniere eines endlichen markierten
kreisfreien Digraphen G.
Algorithmus I:
Schritt.1: Wenn G zusammenhängend: Schritt 3.
Schritt 2:
Zurückführung der Aufgabe auf den Fall der Menge der
Zusammenhangskomponenten { G i | i = 1, 2, ..., m } (s. Theorem 1).
Für jede Zusammenhangskomponente G i ( i = 1, 2, ..., m): Schritte 3 - 7.
Schritt 3: Wenn G i genau einen Anfangsknoten hat: Schritt 5.
Schritt 4:
Schritt 5:
Zurückführung der Aufgabe auf den Fall eines Digraphen mit genau einem
Anfangsknoten (s. Lemma 7).
Zurückführung der Aufgabe auf den Fall der Menge{ T | T (G)}der
Dibäume (s. Theorem 3).
Für jeden Dibaum T | T (G): Schritt 6.
Schritt 6: Berechnung (s. Theorem 5):
( T ) | V ( T)
|! / | V ( ) | .
xV
( T )
Schritt 7: Berechnung (s. Theoreme 2 - 4):
T
( G)
T x
1
( G)
sign(
T )
( T ) .
2
Schritt 8: Berechnung (s. Theorem 1):
Schritt 9:
m
m
( D[
Gi
])
( G)
Gi
| V ( G)
|!
i
1
| V ( G ) |! .
Ende.
i1
i
11

4. Zwei Familien oberer Schranken
Der soeben beschriebene Algorithmus I zur Bestimmung der Anzahl τ(G) aller kreisfreien
Superturniere eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G hat im Allgemeinen eine
Raumkomplexität von O(( |V(G)| + |E(G)| ) c k (G)) und die Zeitkomplexität von O(( |V(G)| +
|E( Ĝ )| ) c k (G)). Dabei sind k und c(G) folgendermaßen definiert:
k : = γ( Ĝ ) : = | E( Ĝ ) | | V( Ĝ ) | 1 ,
c G)
: max { max [ m ( L),
m ( L)]}
,
(
1 2
(
G)
( G)
L
( G)
wobei (G) ein Element der Menge (G) aller Fundamentalmengen der Zyklen des
Digraphen G und m1
( L) bzw. m 2 (L) die Anzahl der negativ bzw. positiv orientierten Bögen
des Zyklus L sind.
Deshalb entsteht das Problem, Methoden zur Abschätzung der Anzahl τ(G) mit geringerem
Aufwand abzuleiten. Im Weiteren werden zwei Familien oberer Schranken für die Anzahl
τ(G) hergeleitet.
Die erste Familie ergibt den Zusammenhang des betrachteten Problems zur Bestimmung der
Menge (G) der aufspannenden Dibäume des Digraphen G. Die Abschätzung dieser Familie
{(G, D(G) | D(G) (G)}stimmt mit der genauen Formel (8) für τ(G) in dem Fall überein,
dass der Digraph G den Bedingungen von Theorem 6 genügt.
Zur Bestimmung einer oberen Schranke (G,D[G]) wird ein Algorithmus II angegeben.
Dieser Algorithmus hat die Raumkomplexität von O(|V(G)| + |E(G)|) und die Zeitkomplexität
von O(|V(G)| 2 ) oder von O(|E(G)|loglog |V(G)|).
Weiterhin wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus der Familie
{(G, D[G]) | D[G] (G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus IV gegeben. Dieser Algorithmus IV hat die Raumkomplexität von
O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeitkomplexität von O ( exp | V ( G)
| ) .
Die zweite Familie {(G, L) | L D(G)} oberer Schranken ergibt den Zusammenhang des
betrachteten Problems zur Bestimmung der Menge D(G) der minimalen Dilworth-
Zerlegungen. Weiterhin wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus
der Familie {(G, L) | L D(G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus III gegeben. Der Speicherplatzbedarf und die Anzahl der Operationen sind in der
Größenordnung gleich denen des Algorithmus IV.
Ob die Anzahl der Operationen für beide Algorithmen auf ein polynominales Verhalten
reduziert werden kann, ist bislang ungeklärt.
Bemerkung. Algorithmus IV enthält den Algorithmus III. Deshalb benötigt er mehr
Operationen. Allerdings berücksichtigt Algorithmus IV die Struktur des betrachteten
Digraphen in stärkerem Maße als Algorithmus III, wodurch in der Regel eine bessere obere
Schranke erhalten wird.
Wir erinnern daran, dass ( x,
y)
eine Bahn im Digraphen G vom Knoten x V(G) zum
P G
Knoten y V(G) bezeichnet.
12

L e m m a 8. Für einen beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen G mit einem einzigen
Anfangsknoten a V(G) gilt:
x V(G) \ {a}: ( a,
x)
.
P G
L e m m a 9. Ein beliebiger endlicher kreisfreier zusammenhängender Digraph G mit einem
einzigen Anfangsknoten enthält mindestens einen aufspannenden Dibaum D[G] mit Wurzel.
Bemerkung. Es ist offensichtlich, dass ein endlicher kreisfreier zusammenhängender Digraph
mit mehreren Anfangsknoten keinen aufspannenden Dibaum mit Wurzel enthält.
Mit (G)
bezeichnen wir den zyklischen Rang des Digraphen G; d. h., nach Definition ist:
(G) : = | E(G) | | E(G) | 1 . (9)
L e m m a 1 0. Die Anzahl der Bögen, die aus einem endlichen kreisfreien zusammenhängenden
Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten entfernt werden müssen, um zu einem
aufspannenden Dibaum mit Wurzel zu kommen, ist gleich seinem zyklischen Rang (G).
F o 1 g e r u n g. Aus den Lemmata 9 - 10 folgt, dass die Anzahl k von Gliedern in der Folge
~ ~ ~
~
von Digraphen ( G G0 , G1,
... , Gk
) , die auf einen aufspannenden Dibaum G k
D[
G]
mit
Wurzel des Digraphen G führt (s. Lemma 9) , gleich dem zyklischen Rang des Digraphen G
ist. Es ist also
k ( G)
E(
G)
V ( G)
1.
L e m m a 11. Für beliebige endliche markierte kreisfreie Digraphen G * , G, G * mit
V(G * ) = V(G) = V(G * *
) und G G gilt:
*
G
τ(G * ) ≤ τ(G) ≤ τ(G * ) . (10)
Wir betrachten einen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G G , in dem jede
Zusammenhangskomponente G i (i = 1, 2, ... , m) genau einen Anfangsknoten besitzt. In
diesem Fall hat in Übereinstimmung mit Lemma 9 jede Komponente G i (i = 1, 2, ... , m)
mindestens einen aufspannenden Dibaum mit Wurzel. Für das Tupel (G i ) i = 1, 2, ... , m von
Zusammenhangskomponenten des Digraphen G betrachten wir einen Tupel (D[G i ]) i = 1, 2, ... , m
von entsprechenden aufspannenden Dibäumen mit Wurzeln und führen folgende
Bezeichnungen ein:
G , D[
G ]) : ( D[
G ]) , (11)
(
i i
i
m
( Gi
,( D[
Gi
])
i 1,2,...,
m
) : D[
Gi
]
(12)
i1
Das folgende Theorem 7 ergibt die Familie der oberen Schranken für die Anzahl τ(G).
m
i1
i
13

T h e o r e m 7. Für einen beliegen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G G ,
bei dem jede Zusammenhangskomponente genau einen Anfangsknoten besitzt, und für ein
beliebiges Tupel (D[G i ]) i =1, 2, ..., m von aufspannenden Dibäumen mit Wurzeln gilt:
( G)
( G,(
G[
G ]) ) |
V ( G)
|! / | V ( D [ G ]) | . (13)
i
i 1,2,...,
m
x i
i1
xV
( Gi
)
Bemerkung 1. Es ist offensichtlich, dass in dem Fall, falls der betrachtete Digraph G den
Bedingungen des Theorems 6 genügt, die Ungleichung (13) in eine Gleichung übergeht und
mit der Formel (8) des Theorems 6 zusammenfällt.
Bemerkung 2. Theorem 7 ist anwendbar für einen beliebigen endlichen markierten
kreisfreien Digraphen G; denn wegen Lemma 7 kann jeder derartige Digraph G, für den τ(G)
berechnet werden soll, leicht in einen Digraphen überführt werden, der den Bedingungen des
Theorems 7 genügt.
Bemerkung 3. Aus Theorem 7 und der Bemerkung 2 zum Theorem 7 resultiert folgender
Algorithmus II zur Bestimmung einer oberen Schranke ( G,
D[
G])
für τ(G), wobei G einen
endlichen markierten kreisfreien Digraphen bezeichnet.
A 1 g o r i t h m u s II
m
m
i1
i
Schritt 1: Wenn zusammenhängend: Schritt 3.
Schritt 2: Für jede Zusammenhangskomponente G i (i = 1, 2, ... , m) von G:
Schritte 3 - 4.
Schritt 3: Auffindung eines aufspannenden Dibaumes D[G i ]
Schritt 4: Berechnung (s. Theorem 5):
( D[
G ]) | V ( D[
G ]) |! /
i
i
xV
( D[
G i ])
| V ( D
x
[ G ]) |
i
Schritt 6:
Berechnung (s. (11) - (12) und Theorem 7):
( G,(
D[
G ])
Ende.
i
i 1,
2,..., m
) | V ( G)
|!
m
i1
( D[
G ])
| V ( G ) |!
i
i
Für einen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G G
m
i1
i
bei dem jede Zusammenhangskomponente
G i (i = 1, 2, ... , m) genau einen Anfangsknoten besitzt, führen wir
folgende Bezeichnungen ein:
(G i ) sei die Menge aller aufspannender Dibäume mit Wurzel der Komponente G i .
(G)
sei die Menge aller Tupel (D[G i ]) i = 1, 2, ... , m von aufspannenden Dibäumen mit
Wurzel der Komponenten G i (i =1, 2, … , m) von G.
14

( G ) : min ( G , D[
G ]) . (14)
0 i
i
D[
G ] ( G )
i
i i
G)
: min ( G ,( D[
G ]) ) . (15)
0
(
i i i1,2,...,
m
( D[
Gi
]) i 1,
2,..., m
( G)
Wir merken an, dass wegen Beziehung (11) gilt:
( G ) min ( D[
G ]) . (16)
0 i
D[
G ] ( G )
i
i i
T h e o r e m 8. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen
bei dem jede Zusammenhangskomponente G i genau einen Anfangsknoten besitzt, gilt:
i1
m
G G ,
m
0
( D[
Gi
])
0
( G)
| V ( G)
|! . (17)
| V ( G ) |!
i
Mithin kann die Bestimmung der minimalen oberen Schranke 0
( G ) für die Anzahl τ(G) für
einen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G auf den Fall von endlichen markierten
kreisfreien zusammenhängenden Digraphen mit nur einem Anfangsknoten zurückgeführt
werden. Dann erhalten wir unter der Berücksichtigung der Beziehung (17) die Aufgabe 1.
i1
A u f g a b e 1. Für einen endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen
G mit nur einem Anfangsknoten ist ein aufspannender Dibaum D * mit Wurzel aufzusuchen,
so dass gilt:
( G)
( D ) : min ( ) .
D
0
D
( G)
Wir zeigen nun, wie die Anzahl | (G) | aller aufspannenden Dibäume mit Wurzel eines
endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten
berechnet werden kann.
Es sei V G)
{ x , x , ... , x } und n = |V(G)|. Mit A(G) bezeichnen wir die Adjazenzmatrix
(
1 2 n
des Digraphen G d. h., A(G) ist eine (n n) - Matrix || a ij || i = 1,2, ... , n mit a ij = 1, wenn
( xi , x
j
) E(
G)
und sonst a ij = 0. Da der Digraph G schlicht ist (ohne Schlingen), gilt a ii = 0.
Mit M id (G) bezeichnen wir die Matrix, die aus der Matrix A(G) entsteht, wenn das i-te
Element der Hauptdiagonale durch id G (x i ) ersetzt wird.
T h e o r e m 9. (s. z. B. [3], Theorem 16.9´) Für einen beliebigen endlichen markierten
kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten x1 V ( G)
( V G)
{ x , x , ... , x } und n = |V(G)|) ist das algebraische Komplement M id (G) eines
(
1 2 n
beliebigen Elementes der ersten Spalte gleich der Anzahl | (G) | aller aufspannender
Dibäume mit der Wurzel x 1 des Digraphen G.
Bemerkung. Theorem 9 ist ein Spezialfall des Matrizen-Theorems für aufspannende
Dibäume von Digraphen (s. z. B. [3], Theorem 16.9´).
Bemerkung. Aus Lemma 9 folgt: | (G) | 1.
i
15

Beispiel 5. Für den Digraphen Q 4 , der in Abb. 8 dargestellt ist, ist wegen Theorem 9
| (
Q
4
) | 6 . Da außerdem Q4 Q2
gilt, wobei Q 2 den Digraphen aus Beispiel 2 (Abb. 4)
bezeichnet, ist wegen Lemma 2 ( Q4 ) ( Q2
) = 5. In Abb. 9 sind alle Bäume D i mit Wurzel
(i = 1,2,...,6) des Digraphen Q 4 dargestellt.
1
2
3
4
5
6
Abb. 8. Digraph Q 4
1
D 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D 6
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
5
6
5
D 2
6
6
5
D 3
6
5
D 4
6
5
D 5
6
5
Unter Benutzung von (5) erhalten wir:
Abb. 9. Bäume mit Wurzel des Digraphen Q 4
τ(T 1 ) = 30, τ(T 2 ) = 20, τ(T 3 ) = 15, τ(T 4 ) = 15, τ(T 5 ) = 10, τ(T 6 ) = 10.
Folglich ist ( Q ) 4
10 .
0
Für die Aufgabe 1 wird nun eine heuristische Lösung angeben, die eng mit der minimalen
Dilworth-Zerlegung (D-Zerlegung) eines endlichen kreisfreien Digraphen zusammenhängt.
Wir erinnern daran, dass als D-Zerlegung eines endlichen kreisfreien Digraphen G eine
beliebige Zerlegung seiner Knotenmenge V(G) bezeichnet wird, für die gilt:
V ( G)
V ( ) und i j)
: V ( ) V
( ) , (18)
i1
i
(
i
j
wobei
G ( i = 1, 2, ... , ) elementare Bahnen des Digraphen G sind. Eine D-
i
Zerlegung (18) des Digraphen G, für die die Anzahl von Komponenten
minimal ist, heißt minimale D-Zerlegung des Digraphen G.
i
( i = 1, 2, ... , )
16

Wir erinnern daran, dass die Knotenmenge X V (G)
eine unabhängige Knotenmenge des
endlichen kreisfreien Digraphen G heißt, wenn X unabhängig in der transitiven Hülle G des
Digraphen G ist, d. h.: x, y X ( x y)
: ( x,
y)
(
G ) und ( y,
x)
(
G ) .
Mit (G) bezeichnen wir die Menge aller unabhängigen Knotenmengen des Digraphen G.
Die Zahl 0
( G ) mit ( G)
: max | |
X
0 X
( G)
heißt maximales Defizit des endlichen kreisfreien Digraphen G.
T h e o r e m 10. (s. z. B. [6], Theorem 10.2.1 – 3) Für einen beliebigen endlichen
kreisfreien Digraphen G existiert eine minimale D-Zerlegung; dabei ist die minimale Anzahl
von Komponenten in einer beliebigen derartigen Zerlegung gleich dem maximalen Defizit
( ) des Digraphen G.
0 G
Wegen der Gültigkeit von Theorem 10 hat also eine beliebige minimale D-Zerlegung eines
endlichen kreisfreien Digraphen G die folgende Form:
( G)
0
V ( G)
V ( ) und i j)
: V ( ) V
( ) . (19)
i1
i
(
i
j
Eine heuristische Lösung der Aufgabe 1 kann durch Bestimmung einer minimalen
D-Zerlegung (19) erhalten werden.
Es sei daran erinnert, dass für Digraphen G, Q mit Q G durch G Q derjenige Digraph
bezeichnet wird, der aus G durch Entfernen aller Knotenpunkte des Digraphen Q und der mit
ihnen inzidenten Bögen erhalten wird.
L e m m a 12. (s. z. B. [11], S. 36) Für eine beliebige elementare Bahn des endlichen
kreisfreien Digraphen G , für die
G ) ( G)
1
(20)
0
(
0
gilt, gibt es eine minimale D-Zerlegung des Digraphen G, die die Bahn enthält.
Mit ( G,
0
) bezeichnen wir die Menge maximaler elementarer Bahnen des Digraphen G,
die der Bedingung (20) genügt. Wir merken an, dass wegen Theorem 10 und Lemma 12
G,
) für jeden beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen G gelten muss. Mit
(
0
( G,
)) werde die Anzahl von Knotenpunkten einer maximalen elementaren Bahn aus
(
0
der Menge G,
) bezeichnet.
(
0
Wir geben nun den Algorithmus III zur Konstruktion einer minimalen D -Zerlegung des
endlichen kreisfreien Digraphen an. Diese minimale D-Zerlegung bezeichnen wir mit
~
} .
{
i i1,2,...,
0 ( G)
17

A 1 g o r i t h m u s
III.
Schritt 1: i 0, Q G . Aufbau der Menge Q , ) .
Schritt 2: Q,
) :
wenn
(
0
(
0
Q , dann ( ( Q ,
0
)) 0 ,
sonst Aufbau der Menge Q ,
) .
(
0
Schritt 3: Auswahl eines beliebigen G,
) derart, dass
(
0
( ( Q
,
0
)) max (
( Q ,
0
))
( Q,
0 )
~
i i + 1; i
.
Schritt 4: Q Q
. Wenn Q : Schritt 2.
~
Schritt 5: Die minimale D-Zerlegung {
i}
i
,2,..., ( G)
Schritt 6: Ende.
1 0
ist konstruiert.
L e m m a 13. Der Algorithmus III zur Konstruktion einer minimalen D -Zerlegung eines
endlichen kreisfreien Digraphen ist korrekt.
Wir kommen nun zur heuristischen Lösung der Aufgabe 1.
Es sei daran erinnert, dass G Q für zwei beliebige Digraphen G und Q der Digraph mit
V ( G Q)
: V ( G)
V
( Q)
und E( G Q)
: E(
G)
E(
Q)
ist.
Für einen beliebigen Dibaum B bezeichnen wir mit P B (x,z) eine Bahn vom Knoten x V(G)
zum Knoten z V(G).
Mit L B (x) bezeichnen wir eine Bahn P B (x,z) derart, dass gilt:
| E(
P
B
( x,
z))
| :
max | E(
P ( x,
y))
| .
yV
( B)
Ferner sei S ( x,
y)
: P ( x,
y)
L ( y)
.
B
B
B
B
Wir betrachten einen endlichen kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem
Anfangsknoten a V(G).
~
Es sei {
i}
i1,2,...,
0 ( G)
die minimale D-Zerlegung des Digraphen G, die man mit Hilfe von
Algorithmus III erhält. Mit a i bezeichnen wir den Anfangsknoten der elementaren Kette
( i 1,2,...,
0
( G )) , und sei es z. B. a 1 = a.
i
Wir beschreiben nun den Algorithmus IV, mit dessen Hilfe aus der minimalen D-Zerlegung
~
} des Digraphen G der uns interessierende aufspannende Dibaum B ~ mit Wurzel
{
i i1,2,...,
0 ( G)
erhalten wird, der eine heuristische Lösung der Aufgabe 1 ist.
18

A l g o r i t h m u s
IV.
~
Schritt 1: B
1
. K { 2,3,..., ( G)}
.
Schritt 2: K K1 K
2
, K1
K
2
, wobei i K :
i K : i K
2
: j K \{i}derart, dass ( a
j
, ai
) E(
G ) ;
anderenfalls ist i K1.
~
Schritt 3: i K 1
: Bildung ( i)
: { z V
( B)
| ( z,
ai ) E(
G)}
(wegen Lemma 8 gilt: (i)
)
Schritt 4: i K1
: Auffindung ( i)
(
i)
derart, dass
z ( i)
: |
E(
L ~ ( z))
min | E(
L ~ ( y))
| .
B
y
( i)
Schritt 5: i K1
: Auswahl eines beliebigen z i
(i)
Schritt 6:
| E(
S ~ ( a,
z )) | max | E(
S ~ ( a,
z))
| .
B
i
z
( i)
~ ~
B B
i
( zi
, ai
) .
iK1
iK1
Schritt 7: K K 2. Wenn K : Schritt 2.
B
B
derart, dass
Schritt 8:
Schritt 9:
Der aufspannende Dibaum B ~ mit Wurzel ist konstruiert.
Ende.
L e m m a 14. Der Algorithmus IV zur Konstruktion eines aufspannenden Dibaums B ~ mit
Wurzel für den endlichen kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G ~ mit nur einem
Anfangsknoten ist korrekt.
T h e o r e m 11. Für eine beliebige minimale D-Zerlegung { Ci}
i1,2,...,
0 ( G)
des endlichen
markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten
a V (G) und a V
C ) gilt (s. auch Abb. 10):
(
p
(| ( ) | 1) !
0 ( G)
V G
( G)
(
G,{
Ci}
i1,2,...,
( )
)
| ( ) | !
0 G
V Ci
. (21)
(| V ( C ) | 1)
! i1
~
~
Die Zahl ( G,{
i}
i1,2,...,
( )
)
0 G
wobei {
i}
i1,2,...,
0 ( G)
die minimale D-Zerlegung des Digraphen
G ist, die mit Hilfe des Algorithmus III erhalten wurde, bezeichnen wir mit (G)
, also
~
G)
: (
G,{
} ) .
(
i i1,2,...,
0 ( G)
p
i
p
Es ist offensichtlich, dass die folgenden Restriktionen
( G)
0
( G)
(
G)
erfüllt sind, und wir gehen davon aus, dass auch die V e r m u t u n g :
gilt.
( G)
(
G)
19

a
a 1
a2....
..... ( )
ai
0 G
C 1
C 2
C p
C i
a
)
C 0(
G
Abb. 10. Dibaum B *
Bemerkung. Für die Anzahl (G) ist eine obere Schranke bekannt ([10], s. auch [11]), die im
Fall eines endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem
Anfangsknoten die folgende Form hat:
wobei
( G)
(
G)
: A
(22)
A q p
s
l(
s)
N sL(
s)
: p!
( p q)!
; N = |V(G)| ;
x V
( G)
: s : | { y V
( G)
| P
( y,
x)}|
; : { | x V
( G)}
;
x
l( s)
: | { x V ( G)
| s s} | ; L(
s)
: | { x V
( G)
| s s}
| .
x
G
s x
x
Beispiel 6. Für den Digraphen Q 5 , der in Abb. 11 a) dargestellt ist, kann man unter
Benutzung der Ergebnisse dieser Arbeit (Theoreme 3, 5) zeigen, dass τ(Q 5 ) = 68. Der
Digraph Q 5 hat wegen Theorem | (Q 5 ) | = 8 aufspannende Dibäume mit Wurzel, ihre
Untersuchung ergibt ( ) 0
Q5 210 .
~ ~ ~
Der Algorithmus III führt zum Beispiel zur minimalen D-Zerlegung { C
1,
C2
, C3}
(Abb. 11b),
~
der Algorithmus IV liefert den aufspannenden Dibaum B 5
mit Wurzel (Abb. 11c).
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
1
4 5 6
~
C
~
C
3
~
C
7 2 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
~
Abb. 11. a) Digraph Q 5 ; b) Minimale D-Zerlegung; c) Dibaum B 5
Für den Digraphen Q 5 erhalten wir: ( Q5 ) 210 und ( Q5 ) 280 . Die Abschätzung (22)
aus [10] ergibt: ( Q5 ) 648 . Es gilt also für den Digraphen aus Abb. 11 a):
( Q5 0 5
5
5
Q5
) ( Q ) (
Q ) (
Q ) (
) .
Das folgende Beispiel 7 zeigt, dass die Abschätzung (22) viel zu grob sein kann.
20

Beispiel 7.
Wir betrachten den Dibaum B(n,m) der in Abb. 12 dargestellt ist.
0
1 2 ….. i …. n
.. .. ..
a 11 a 12 a 1m a i1 a i2 a im a n1 a n2 a nm
Abb. 12. Der Dibaum B(n,m) .
Für den Dibaum B(n,m) erhalten wir nach der genauen Formel (5):
[ n ( m 1)]!
( B(
n,
m))
n
( m 1)
Die Abschätzung (22) liefert:
(( B(
n,
m))
n[
n(
m 1)
1]!
Folglich ist
( B(
n,
m))
1
(
B(
n,
m))
( m 1)
n1 1 .
Für große n, m erhält man
( B(
n,
m))
1.
(
B(
n,
m))
Es gilt sogar:
( B(
n,
m))
( B(
n,
m))
lim lim
n
(
B(
n,
m))
m
(
B(
n,
m))
lim
n,
m
( B(
n,
m))
(
B(
n,
m))
0 .
5. Äquivalente Problemstellungen.
Für das in der vorliegenden Arbeit betrachtete Problem 1 gibt es eine Reihe äquivalenter
Formulierungen, die weiter unten angegeben werden (Probleme 2 - 6). Der Beweis für die
Äquivalenz der Probleme 1 - 6 ist hinreichend offensichtlich.
Wir erinnern daran, dass ein Digraph G transitiv heißt, wenn G G gilt. Ein Digraph Q heißt
Supergraph des Digraphen G, wenn G Q und V ( G)
V ( Q)
. Ein kreisfreier Digraph G
heißt Hamilton´sch, wenn er eine Hamilton´sche Bahn enthält.
P r o b 1 e m 2. Für einen gegebenen endlichen markierten kreisfreien Digraphen ist die
Anzahl seiner voneinander verschiedenen transitiven kreisfreien Hamilton´schen Supergraphen
zu bestimmen.
21

Bemerkung. Aus der Äquivalenz der Probleme 1 und 2 folgt, dass für einen beliebigen
endlichen markierten kreisfreien Digraphen die Menge seiner kreisfreien Superturniere
äquivalent ist mit der Menge seiner transitiven kreisfreien Hamilton´schen Supergraphen. Es
ist hinreichend offensichtlich, dass die behauptete Äquivalenz auch im Fall endlicher
nichtmarkierter kreisfreier Digraphen gilt.
Als topologische Sortierung (s. z. B. [8]) oder zulässige Nummerierung (s. z. B. [1]) der
Knoten der Menge V(G) eines Digraphen G mit |V(G)| = n bezeichnet man eine beliebige
eineindeutige Abbildung : {1,2, ... , n} V(G) derart, dass
( ( i),
(
j))
E(
G))
i j .
P r o b 1 e m 3. Zu bestimmen ist die Anzahl voneinander verschiedener topologischer
Sortierungen (zulässiger Nummerierungen) der Knotenpunkte eines gegebenen endlichen
kreisfreien Digraphen.
Mit R X X bezeichnen wir eine binäre Relation auf der Menge X. Die Relation
R X X nennen wir endliche markierte Relation, wenn X eine endliche markierte Menge
ist. Man sagt, dass die Relation R1 X X die Relation R2 X X enthält, wenn
R2 R 1
. Für R1, R2
X X wird eine binäre Relation R1 R2
X X folgendermaßen
definiert
x R R ) y : ( z
X | xR z zR ) .
(
1 2
1 2
y
1
Wenn R X X , ist nach Definition die inverse Relation R X X
1
derart, dass xR y yRx .
eine binäre Relation
Als Diagonale E der Menge X X wird E : {( x,
x)
| x X}
bezeichnet.
Eine binäre Relation
R
X X heißt:
- azyklische Relation, wenn R k E , k = 1, 2, ... ;
2
- strikte Halbordnung, wenn R E , R R
1 ,
R R ;
2
- strikte lineare Ordnung, wenn R E , R R
1 ,
R R ,
R R
1 X X \ R .
Wird in den Definitionen für die strikte Halbordnung (strikte lineare Ordnung) die Bedingung
der Antireflexivität R E ersetzt durch die Bedingung der Reflexivität R E E , so
erhalten wir eine Definition für die nicht strikte Halbordnung (nicht strikte lineare Ordnung).
P r o b 1 e m 4. Es ist die Anzahl voneinander verschiedener strikter linearer Ordnungen zu
bestimmen, die eine gegebene endliche markierte azyklische Relation enthalten.
Die Anzahl voneinander verschiedener linearer Ordnungen, die eine gegebene endliche
markierte Halbordnung enthalten, heißt die Darstellungsdimension dieser Halbordnung (s.
z.B. [2] und [6]).
22

P r o b 1 e m 5. Es ist die Darstellungsdimension einer gegebenen Halbordnung zu
bestimmen.
Es sei X = I n mit I n : = {1, 2, ... , n} und R I n
I
n
eine strikte Halbordnung. Eine
Permutation : I
n
I
n
der Elemente der Menge I n heißt zulässig bezüglich der Relation R,
wenn gilt ( i)
R
( j)
i j .
P r o b 1 e m 6. Es ist die Anzahl voneinander verschiedener zulässiger Permutationen der
Elemente einer endlichen markierten Menge bezüglich einer auf ihr vorgegebenen strikten
Halbordnung zu bestimmen.
Bemerkung 1. Die Formel (1) und die Abschätzung (22) wurden für die Probleme 3, 6 in den
Arbeiten [10] und [11] angegeben. Die Lemmata 1 und 3 wurden für das Problem 6 in [9]
bewiesen.
Bemerkung 2. Mit (G) bezeichnen wir die Menge der Anfangsknoten und mit (G) die
Menge der Endknoten eines Digraphen G. In [9] wird ein Algorithmus zur Lösung des
Problems 6 konstruiert, der sich auf die Benutzung der Formel (1) und der folgenden
Beziehung (23) für das Entfernen aller Anfangs- oder aller Endknoten des Digraphen stützt.
( G)
( G x)
( G x)
. (23)
x
( G)
x
( G)
Ebenda wird gezeigt, dass die Maximalwerte von ( G)
n!
die Werte 1, 1/2, 1/3, 1/4, 5/24,
...sind, und für n 10 wird die Grenze des kontinuierlichen Teils [1, k n ] des Wertspektrums
( G)
n!
für verschiedene Halbordnungen R gegeben.
Bemerkung 3. In der Arbeit [9] wird ebenfalls das Problem 6 behandelt. Hierfür wurde in
[9] der Begriff des Unvergleichbarkeitsgraphen G(R) der Halbordnung R wie folgt
eingeführt:
V ( G(
R))
: I ; E(
G(
R))
: {( i,
j)
| ( i,
j I ) ((
iRj)
( jRi))}
.
n
Eine Funktion wurde auf der Menge aller Graphen folgendermaßen definiert: ( ) 1,
wobei O den leeren Graphen mit n Knoten bezeichnet und ( G ) : max (
G a)
, wobei
n
K alle Cliquen von G durchläuft.
*
Unter diesen Voraussetzungen wurde gezeigt, dass ( G ( R))
(
G(
R))
ist, wobei G * (R) den
Digraphen der Halbordnung R bezeichnet. Es wurden einige Eigenschaften der Funktion
bewiesen.
Bemerkung 4. Es ist offensichtlich, dass alle in den §§ 3 - 4 erhaltenen Resultate auch für
den Fall endlicher markierter Digraphen mit Schlingen und ohne Kreise der Länge 2 gelten
und entsprechend auch für den Fall endlicher markierter reflexiver azyklischer Relationen.
Insbesondere gelten sie auch für endliche markierte nicht strikte Halbordnungen.
n
K
aK
O n
23

6. Die Anzahl der Quasiordnungen eines kreisfreien Digraphen
In diesem Paragraphen wird es das Problem der Bestimmung der Anzahl h(G) der Quasiordnungen
eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G untersucht (s. auch [15] -
[16]). Es wird eine Methode eingegeben, die das genannte Problem auf das Problem der
Bestimmung der Anzahl (G) der kreisfreien Superturniere eines kreisfreien Digraphen
zurückführt.
Für die gesuchte Anzahl h(G) wird eine Methode angegeben, mit derer Hilfe einige unteren
und oberen Schranken bestimmt werden können. In diese Schranken geht die Anzahl (G) der
kreisfreien Superturnierendes Digraphen G ein. Auf dieser Basis wird eine Reihe von unteren
und oberen Schranken für h(G) gewonnen.
Wir erinnern daran (s. z. B. [6], § 8.3), dass man als Quasiordnung eines endlichen kreisfreien
Digraphen ihren kreisfreien Obergraphen, der eine Hamilton´sche Bahn enthält, bezeichnet.
P r o b 1 e m. Es ist die Anzahl h(G) der nichtisomorphen Quasiordnungen eines endlichen
markierten kreisfreien Digraphen G zu bestimmen.
Beispiel 8. Für den Digraphen Q 1 der Abb. 1 gilt h ( Q 1
) 10 . Alle Quasiordnungen des
Digraphen Q 1 sind in der Abb. 13 dargestellt.
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
3
4
3
4
Abb. 13. Quasiordnungen des Digraphen Q 1 (Abb. 1)
L e m m a 15. ([7]) Ein beliebiges Turnier enthält eine Hamilton´sche Bahn.
L e m m a 16. Ein beliebiges endliches kreisfreies Turnier enthält genau eine
Hamilton´sche Bahn.
Beweis. Der Beweis folgt aus dem Lemma 15 und der Einzigkeit des Basisdigraphen eines
beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen (siehe z.B. [6], Theoreme 9.1.1. – 9.1.3.).
24

Wir bezeichnen mit (G) die Menge der nichtisomorphen kreisfreien Superturniere eines
endlichen markierten kreisfreien Digraphen G und mit (G) die Menge seiner
Quasiordnungen. Offensichtlich ist (G) (G).
F o l g e r u n g. T (G)
: Tˆ ist eine Hamilton´sche Bahn.
Auf der Menge (G) der Quasiordnungen eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen
G definieren wir die binären Relationen R 1 und R 2 wie folgt:
Q1 , Q2
H ( G)
:
Somit gilt offensichtlich:
1) Q1R1Q
2
Q1
Q2
2) Q1R1Q
ˆ ˆ
2
Q1
Q2
.
L e m m a 17. Die binären Relationen R 1 und R 2 sind Äquivalenzrelationen.
L e m m a 18. R 1 = R 2 .
Beweis. Der Beweis folgt aus den Lemmata 16 – 17.
Wegen Lemma 18 bezeichnen wir die Äquivalenzrelationen R 1 , R 2 mit R.
Wir erinnern daran, dass ein Digraph G transitiv heißt, wenn
G G
ist. Demzufolge gilt das
L e m m a 19. Ein beliebiges endliches kreisfreies Turnier ist ein transitiver Digraph.
T h e o r e m 12. Die Anzahl h(G) der nichtisomorphen kreisfreien Quasiordnungen eines
endlichen markierten kreisfreien Digraphen G lässt sich nach der Formel
T(
G)
1
( n1)(
n2)
m r ( G,
T )
2
h ( G)
2
(24)
berechnen, wobei n : | V ( G)
| , m : |
E(
G)
| und r( G,
T ) : | E(
G)
E(
Tˆ)
|
sind.
Beweis. Aus den Lemmata 17 und 19 folgt, dass man die Elemente der Menge (G) als
Vertretersysteme der Äquivalenzklassen der Faktormenge (G) /R nehmen kann. Somit gilt
wobei
ist.
( G)
Z(
G,
T )
(25)
T(
G)
Z( G,
T ) : { Q (
G)
| Q T}
(26)
Unter Berücksichtigung der Lemmata 17 und 18 und der Folgerung nach der Lemma 16 kann
man die Menge Z(G,T) auch auf folgende äquivalente Weise bestimmen:
Z( G,
T ) { Q (
G)
| Q ( G Tˆ)}
(27)
25

Aus den Beziehungen (26) – (27) folgt
Z( G,
T ) {( G Tˆ)
S | S ( E(
T ) \ E( G Tˆ ))}
(28)
Dann erhalten wir aus (28)
|
s(
G,
T )
Z(
G,
T ) | 2
(29)
wobei s( G,
T ) : | E(
T ) \ E( G Tˆ)
| ist. Da T ein kreisfreies Turnier und Tˆ eine
Hamilton´sche Bahn ist, gelten:
| E(
T ) | n(
n 1)
2 und | E ( Tˆ)
| n 1.
Unter Berücksichtigung der Beziehung s( G,
T ) | E(
T ) | | E(
Tˆ)
| | E(
G)
E(
Tˆ)
| erhalten
wir
1
s( G,
T ) ( n 1)(
n 2) m r(
G,
T ) , (30)
2
wobei r( G,
T ) : | E(
G)
E(
Tˆ)
| bezeichnet.
Aus den Beziehungen (25), (29) und (30) folgt die Aussage des Theorems 12.
Beispiel 9. Für den Digraphen Q 1 der Abb. 1 und seiner kreisfreien Superturniere T 1, T 2, T 3
(Abb.2) gelten:
r Q , T ) 1, r Q , T ) 2 , r Q , T ) 2 ,
(
1 1
(
1 2
(
1 3
In Übereinstimmung mit der Formel (24) des Theorems 12 erhalten wir:
1 2 2
h ( Q ) 2 2 2 10 .
1
Alle 10 Quasiordnungen des Digraphen Q 1 sind in der Abb. 13 dargestellt.
T h e o r e m 13. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G gilt:
2
1
( n1)(
n2)
m
2
h(
G)
2
( G)
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
(31)
wobei n : | V ( G)
| , m : |
E(
G)
| und ( G)
| (
G)
|
des Digraphen G bezeichnet (siehe §§ 1-3).
die Anzahl der kreisfreien Superturniere
Beweis. Die Formel (31) folgt aus der Formel (24), wenn man die unter den Bedingungen des
Theorems offensichtlichen Tatsachen berücksichtigt, dass
T
( G)
: 0 r(
G,
T ) min{ m,
n 1}
.
Wir erinnern daran, dass ein Digraph G nichttrivial heißt, wenn
E(G)
ist.
T h e o r e m 14. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen kreisfreien
Digraphen G gilt:
26

2
1
( n1)(
n2)
m1
2
h(
G)
2
( G)
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
. (32)
Beweis. Die Formel (32) folgt aus der Formel (31) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
unter den Bedingungen des Theorems 14 T (G)
die Ungleichung r( G,
T ) 1 erfüllt ist.
T h e o r e m 1 5. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen zusammenhängenden
kreisfreien Digraphen G gilt:
2
1
n(
n1)
mn2
2
h(
G)
2
( G)
1
n(
n1)
m
2
. (33)
Beweis. Die Formel (33) folgt aus der Formel (32), da unter den Bedingungen des Theorems
15 die Bedingungen des Theorems 14 und min{m, n 1}= n 1 erfüllt sind.
Beispiel 10. Für den Digraphen Q 1 der Abb. 1 sind die Bedingungen des Theorems 15
erfüllt. Da n | V ( Q1 ) | 4; m |
(
Q1
) | 3 und ( Q 1
) 3 sind, erhalten wir dann gemäß
der Formel (33)
1 h(
Q1
) 3
2 2 6 h(
Q1
) 24 .
3
Wir erinnern daran, dass h( Q 1
) 10 ist.
Wir nummerieren auf willkürliche Weise die Knoten des Digraphen G ( | V ( G)
| n)
mit den
Zahlen 1, 2, ... , n (genauer, wir nehmen an, dass V ( G)
I
n
ist). Für beliebige i I
n
sei
p( i)
: 1
| { j I | P ( i,
j)}|
.
n
G
T h e o r e m 16. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen kreisfreien
Digraphen G, dessen Basisdigraph für eine beliebige zusammenhängende Komponente ein
aufgespannter Dibaum mit Wurzel ist, gilt
2
1
( n1)(
n2)
m1
2
h(
G)
2
n
n!/
p(
i)
i1
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
. (34)
Beweis. Die Formel (34) folgt aus den Formeln (6), (32) und den Theoremen 6 und 14.
T h e o r e m 17. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen Wald B
( | V ( B)
| n)
, der aus k Dibäumen mit Wurzeln besteht, gilt:
2
1
( n1)(
n4)
k
2
h(
B)
2
n
n!/
p(
i)
i1
1
( n1)(
n2)
k
1
2
. (35)
27

Beweis. Der Beweis folgt aus der Formel (34) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
unter den Bedingungen des Theorems 17 die Bedingungen des Theorems 16 und m n k
erfüllt sind.
F o l g e r u n g. Für einen beliebigen endlichen markierten Dibaum D ( | V ( D)
| n)
gilt:
2
1
( n1)(
n4)
1
2
h(
D)
2
n
n!/
p(
i)
i1
1
( n1)(
n2)
2
. (36)
Beweis. Die Formel (36) folgt aus der Formel (35) für k 1.
Wir erinnern daran, dass für die Digraphen G 1 und G 2 der Digraph G1 G2
bestimmen lässt:
G G ( V ( G ) V
( G ), (
G ) (
)) .
1 2
:
1
2 1
G2
sich wie folgt
T h e o r e m 18. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen kreisfreien
Digraphen
k
G G ( i
j : G i
G )
, für den jede zusammenhängende Komponente
i1
i
G i genau einen Anfangsknoten enthält, und für ein beliebiges Tupel
aufspannender Dibäume mit Wurzeln gilt:
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
j
k
i1 xV
( Gi
)
( D[
h( G)
2
n!
| V ( D [ G ]) | . (37)
Beweis. Die Formel (37) folgt aus den Formeln (13) und (32), da unter den Bedingungen des
Theorems 18 die Bedingungen des Lemmas 9 und der Theoreme 7 und 14 erfüllt sind.
x
i
G i
])
iI
k
T h e o r e m 19. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen zusammenhängenden
Digraphen G ( n : | V ( G)
| , m : | E(
G)
| ) mit genau einem Anfangsknoten und für
einen beliebigen seiner aufspannenden Dibäume D[G] mit Wurzeln gilt:
1
n(
n1)
m
2
h ( G)
2 n ! | V ( D [ G])
| . (38)
xV
/ G)
Beweis. Die Formel (38) folgt aus den Formeln (13) und (33), unter Berücksichtigung der
Tatsache, dass unter den Bedingungen des Theorems 19 die Bedingungen des Lemmas 9 und
der Theoreme 7 und 15 erfüllt sind.
T h e o r e m 20. Für eine beliebige minimale D–Zerlegung { Ci}
i1,2,...,
0 ( G)
eines endlichen
markierten nichttrivialen zusammenhängenden Digraphen G ( n : | V ( G)
| , m : | E(
G)
| ) mit
einem Anfangsknoten a V (G)
dergestalt, dass für ein gewisses p { 1, 2,..., 0
( G )}
a V
( C
p
) ist, gilt:
1
x
n(
n1)
m
( 1) !
0 ( G)
n
2
h(
G)
2
| V ( Ci
) | ! . (39)
(| V ( C ) | 1)
! i1
p
i
p
28

Beweis. Die Formel (39) folgt aus den Formeln (21), (33), da unter den Bedingungen des
Theorems 20 auch die Bedingungen der Theoreme 11 und 15 erfüllt sind.
Bemerkung 1. Wir erinnern daran, dass eine binäre Relation R X X Quasiordnung heißt,
wenn ihre transitive Hülle R eine lineare Ordnung ist (siehe z. B. [6], §. 8.3). Da eine
eineindeutige Abbildung der Menge endlicher antireflexiver azyklischer binärer Relationen
auf die Menge endlicher kreisfreier Digraphen existiert (siehe auch § 5), so gelten alle im § 6
erhaltenen Resultate auch für Probleme zur Bestimmung der Anzahl nicht isomorpher
antireflexiver Quasiordnungen, die eine endliche markierte antireflexive azyklische Relation
enthalten, insbesondere eine endliche markierte strikte Halbordnung.
Bemerkung 2. Es ist offensichtlich, dass alle im § 5 erhaltenen Resultate auch für den Fall
endlicher markierter Digraphen mit einer Schlinge in jedem Knoten und ohne Kreise der
Länge 2 ihre Gültigkeit haben. Das entspricht dem Fall endlicher markierter reflexiver
azyklischer Relationen und insbesondere dem Fall endlicher markierter nicht strikter
Halbordnungen.
7. Darstellungen endlicher markierter kreisfreier Digraphen
Es werden einige Darstellungen endlicher markierter kreisfreier Digraphen betrachtet, die mit
der Problematik und den Ergebnissen der §§ 1 - 6 im Zusammenhang stehen.
In der Arbeit [6] wurde bewiesen, dass sich ein beliebiger endlicher markierter kreisfreier
Digraph als Durchschnitt aller seiner Quasiordnungen darstellen lässt und in [2] wurde
bewiesen, dass sich eine beliebige strikte Halbordnung als Durchschnitt aller ihrer linearen
Ordnungen darstellen lässt.
Ausgehend aus der Menge der Quasiordnungen werden einige neue Darstellungen endlicher
kreisfreier Digraphen angeboten. Es wird z.B. gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher
markierter transitiver kreisfreier Digraph als Durchschnitt aller seiner kreisfreien Superturniere
darstellen lässt. Aus diesem Ergebnis folgt, dass die Dimension der Darstellung
strikter Halbordnung, die durch einen endlichen kreisfreien transitiven Digraphen G gegeben
ist, gleich der Anzahl h(G) seiner kreisfreien Superturniere ist.
In der Arbeit wird eine binäre Operation über eine Menge K(X) orientierter Digraphen auf
einer Knotenmenge X eingeführt, die alternierende Summe genannt wird. Es wird gezeigt,
dass die Menge K(X) orientierter Digraphen mit auf ihr gegebenen binären Operation eine
Abel´sche Gruppe ( K(X), ) bildet.
Mit Hilfe dieses Ergebnisses wird gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher markierter
kreisfreier Basisgraph als alternierende Summe der Hamilton´schen Bahnen seiner kreisfreien
Superturniere darstellen lässt.
29

T h e o r e m 21. (s. z. B. [6], Theorem 8.3.5) Für einen beliebigen endlichen kreisfreien
Digraphen G und die Menge (G) seiner Quasiordnung gilt:
G Q . (40)
Q
(G)
Bemerkung. Wir merken an, dass man die Dimension | (
G)
| der im Theorem 21
angegebenen Darstellung (40) im Falle eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G
nach den Ergebnissen des § 6 berechen kann, da in diesem Falle | (
G)
| h(
G)
ist. Wir
schlagen nun eine neue kompaktere (im Sinne der Anzahl der Elemente einer Darstellung)
Darstellung I endlicher markierter kreisfreier Digraphen vor.
T h e o r e m 22. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G und
der Menge seiner kreisfreien Superturniere (G) gilt (Darstellung I):
G ( G Tˆ)
(41)
T(
G)
Beweis. Die Formel (40) des Theorems 21 kann man unter Berücksichtigung der Formeln
(25) – (26) in folgender Gestalt darstellen:
G S
(42)
T( G)
SZ
( G,
T )
Aus der Formel (27) oder (28) folgt, dass
S G Tˆ
(43)
SZ
( G,
T )
ist. Setzen wir die Beziehung (43) in die Formel (42) ein, erhalten wir die Formel (41) des
Theorems 22.
F o l g e r u n g. Die Dimension der Darstellung I (Formel (41) des Theorems 22) eines
endlichen markierten kreisfreien Digraphen G ist gleich der Anzahl (G) seiner kreisfreien
Superturniere und lässt sich nach den Ergebnissen der §§ 3 - 4 berechnen.
Beispiel 11. Für den Digraphen Q 1 der Abb. 1 ist (Q 1 ) = 3; alle kreisfreien Superturniere
T 1 ,T 2 ,T 3 des Digraphen Q 1 sind in der Abb. 2 dargestellt; in Übereinstimmung damit haben
Hamilton´sche Bahnen T
ˆ1
,
ˆ2
, T ˆ die Form, wie auf der Abb. 14 dargestellt.
T
3
1
Tˆ
1
2
2
1
ˆT Tˆ
3
2 1
2
3
4
3
4
3
4
Abb. 14. Hamilton´sche Bahnen der Superturniere des Digraphen Q 1 (Abb. 1)
30

Wegen Theorem 22 hat der Digraph Q 1 die in der Abb. 15 angegebene Darstellung I.
1
2
1
2
1
2
1
2
=
3
4
3
4
3
4
3
4
Abb. 15. Darstellung I des Digraphen Q 1 (Abb. 1)
T h e o r e m 23. ([2]) Eine beliebige strikte Halbordnung ist der Durchschnitt aller linearen
Ordnungen, die diese strikte Halbordnung enthalten.
Wir werden nun die Darstellung II endlicher markierter transitiver kreisfreier Digraphen
angeben.
T h e o r e m 24. Für einen beliebigen endlichen markierten transitiven kreisfreien
Digraphen G und der Menge (G
) seiner kreisfreien Superturniere gilt (Darstellung II):
G T
(44)
T(G )
Beweis. Das Theorem 24 stellt eine Umformulierung des Theorems 23 in die Sprache der
Graphentheorie dar für den Fall markierter strikter Halbordnungen unter Berücksichtigung
der Isomorphie zwischen der Menge der strikten Halbordnungen und der Menge der
transitiven kreisfreien Digraphen.
Bemerkung. Die Dimension der Darstellung II eines endlichen markierten transitiven
Digraphen G ist gleich der Anzahl h(G
) seiner kreisfreien Superturniere und lässt sich nach
den Ergebnissen der §§ 3 - 4 berechnen.
Beispiel 12. Die transitive Hülle Q1
des Digraphen Q 1 (Abb.1) ist in der Abb. 16 dargestellt.
1
2
3
4
Abb. 16. Diagraph Q1
Die kreisfreien Superturniere des Digraphen Q1
sind in der Abb. 2 dargestellt. In Übereinstimmung
mit dem Theorem 24 hat dann der Digraph Q1
folgende in der Abb. 17
angegebene Darstellung II:
1
2
1
2
1
2
1
2
=
3
4
3
4
3
4
3
4
Abb. 17. Darstellung II des Digraphen Q
1
(Abb. 16)
31

Wir werden jetzt eine neue „alternierende“ Darstellung endlicher markierter kreisfreier Basisdigraphen
vorschlagen (siehe auch [15] – [16]). Präziser gesagt, wir zeigen, dass man einen
beliebigen endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen in der Gestalt einer alternierenden
Summe von Hamilton´schen Bahnen seiner kreisfreien Superturniere darstellen kann.
Es sei X eine gewisse endliche markierte Menge und es sei
E X X .
Definition 1. E X X : E
: {( x,
y)
E | ( y,
x)
E}
.
Aus der Definition 1 folgt unmittelbar das
L e m m a 20.
E X X : (
E)
E
.
L e m m a 21. E1 , E2
X X : (
E1
\ E2 ) E1
\ E 2
) .
Beweis. ( x,
y)
E1\ E2
gilt:
( x,
y)
(
E1
\ E 2
) ( x,
y)
E1\ E2
( y,
x)
E1\ E2
[(( x,
y)
E1)
(( x,
y)
E2
)] [(( y,
x)
E1)
(( y,
x)
E2
)]
[(( x,
y)
E1)
(( y,
x)
E1
)] [(( x,
y)
E2
) (( y,
x)
E2
)]
[( x,
y)
E1]
[( x,
y)
E2
)] ( x,
y)
E1
\ E2
.
Das Lemma 21 ist bewiesen.
Mit K(X) bezeichnen wir eine Menge endlicher markierter orientierter Digraphen, deren
Knotenmenge für jeden von ihnen gleich X ist. Wir erinnern daran, dass der Digraph G
orientiert heißt, wenn er gleichzeitig keine Bögen entgegengesetzter Orientierung enthält,
d. h. Bögen der Gestalt (x,y) und (y,x), wobei x, y V
( G).
Es ist offensichtlich, dass der
kreisfreie Digraph ein orientierter Digraph ist.
L e m m a 22. G K(G): E(G) = .
Beweis. Der Beweis folgt aus der Definition 1 und der Definition für die Menge K(X).
Bemerkung. Die Bedingung E(G) = kann als Definition des orientierten Digraphen G
angesehen werden.
Definition 2. Die binäre Operation alternierende Summe : K(X) K(X) K(X) ist
definiert durch:
G 1 , G 2 K(X) : G 1 G 2 : = ( X, E(G 1 G 2 ) \ E(G 1 G 2 ) .
L e m m a 23. G 1 , G 2 K(X) : G 1 G 2 = .
Beweis. E G G ) [
E(
G ) \ E G 1
G )] =
(
1 2
1
G2
(
2
= (siehe Lemma 21) = E G 1
G ) \ E(
G 1
G )) =
(
2
(
2
= (siehe Lemma 20) = E G 1
G ) \ E G 1
G ) = .
(
2
(
2
32

L e m m a 24. Die Definition 2 der alternierenden Summe ist korrekt.
Beweis. Der Beweis folgt aus Lemma 23, dessen Behauptung aussagt, dass G 1 , G 2 K(X)
G1 G 2
ein orientierter Digraph ist, und folglich G1 G2
K(X) .
Aus der Definition 2 ergeben sich unmittelbar folgende Lemmata 25 – 26.
L e m m a 25. Die binäre Operation alternierende Summe ist reflexiv, d.h.
G K(X) :
G G = G.
L e m m a 26. Die binäre Operation alternierende Summe ist kommutativ, d.h.
G 1 , G 2 K(X) :
G 1 G 2 = G 2 G 1 .
L e m m a 27. Die binäre Operation alternierende Summe
33
ist assoziativ, d.h.
G 1 , G 2 , G 3 K(X) : G 1 (G 2 G 2 ) = (G 2 G 1 ) G 3 .
Beweis. Für den Beweis des Lemmas 27 genügt es zu zeigen, dass
E( G1 ( G2
G3))
E((
G1
G2
) G3
)
1) E G ( G G )) E(
G ( G )) \ E G ( G )) =
(
1 2 3
1 2
G3
= E(
G ) E(
G )]\ E(
G ) E(
G )] =
[
1 2
G3
[
1 2
G3
ist.
(
1 2
G3
= E(
G ) [ E(
G ) \ E G 2
G )]}\ E(
G ) [
E(
G ) \ E G 2
G )]} =
{
1 2
G3
(
3
{
1 2
G3
(
3
= {[ E(
G1 ) E(
G2
G3
)] \ E( G 2
G3)}
\ {[ E(
G1 ) E(
G2
G3
)] \ E( G 2
G3)}
=
= E G G ) \ E(
G G ) [
E(
G G ) \ E G 2
G )]} =
(
1 2
G3
= (wegen der Lemmata 20 – 21) =
{
2 3
1 2
G3
(
3
= E G G ) \ E(
G G ) [
E(
G G ) \ E G 2
G )]} =
(
1 2
G3
{
2 3
1 2
G3
= E G G ) \ E G G ) .
(
1 2
G3
2) Analog kann man zeigen, dass
(
1 2
G3
E(( G1 G2
) G3)
= E( G1 G2
G3
) \ E( G1 G2
G3
) .
(
3
Somit gilt E G ( G G )) E((
G G ) ) , und das Lemma 27 ist somit bewiesen.
(
1 2 3
1 2
G3
Den trivialen Digraphen auf der Knotenmenge X definieren wir, wie folgt:
: = (X, ) K(X) .
L e m m a 28. G K(X) : G = G = G .
Beweis. Wegen der Kommutativität der Operation (siehe Lemma 26) beweisen wir nur
die Relation G = G.
E(G ) = E(G ) \ E(G ) = E(G) \ E(G) = E(G),
da E(G) = ist (s. Lemma 22).

Für einen Digraphen G K(X) bezeichnen wir mit G den Digraphen, den wir aus dem
Digraphen G durch Änderung der Orientierung aller Bögen E(G) erhalten, d. h.
x, y X : ( x,
y)
E(
G)
( y,
x)
E(
G)
.
L e m m a 29. G K(X) : G K(X) .
Beweis. Der Beweis ergibt sich aus den Definitionen für K(X) und G .
L e m m a 30. G K(X) :
G G G G .
Beweis. Wegen der Kommutativität der Operation beweisen wir nur die Gleichung
G G .
1) Es wird nun gezeigt, dass unter den Bedingungen des Lemmas 30 die Gleichung
E( G G)
E(
G G)
(45)
erfüllt ist.
Betrachten wir einen beliebigen Bogen ( x,
y)
E(
G G)
:
( x,
y)
E(
G G)
(siehe Def. 1) [( x,
y)
E(
G G)]
[( y,
x)
E(
G G)]
[(( x,
y)
E(
G))
(( x,
y)
E(
G))]
[(( y,
x)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
[(( x,
y)
E(
G))
(( y,
x)
E(
G))]
(s. Definitionen für K(X) und G )
[( x,
y)
E(
G)]
[( x,
y)
E(
G)]
( x,
y)
E(
G G)
.
Wir haben somit gezeigt, dass
( x,
y)
E(
G G)
( x,
y)
E(
G G)
, d.h. E( G G)
E(
G G)
.
2) E( G G)
E(
G G)
\ E( G G)
= wegen der Beziehung (45).
Es ist also G G , und das Lemma 30 ist bewiesen.
T h e o r e m 25. Die Menge K(X) orientierter Digraphen auf der Menge X mit der auf ihr
angegebenen binären Operation der alternierenden Summe bildet eine Abel´sche Gruppe
( K(X), ).
Beweis. Der Beweis folgt aus der Definition der Abel´schen Gruppe und den Lemmata 26, 27,
28, 30.
34

Bemerkung. Der triviale Digraph ist ein neutrales Element der Abel´schen Gruppe
(K(X), ) und G K(X) ist G das inverse Element des Elementes G.
Die Operation der alternierenden Summe mehrerer Summanden lässt sich durch Induktion
wie folgt bestimmen:
{G i K(X) | i I k } :
G :
G
i Gk
. (46)
i
iI
k
iI
k 1
Wir merken an, dass wegen der Tatsache, dass ( K(X), ) eine Abel´sche Gruppe ist, die
Reihenfolge der Summanden und die Klammersetzung in den Ausdrücken der Gestalt (46)
beliebig sein können (die Klammern werden einfach fortlassen).
L e m m a 31. Für jede Familie {G i K(X) | i I k } gilt:
E
G
iI
k
Beweis. Durch Induktion nach k :
E
Gi
\ E
Gi
. (47)
iI
k iI
k
i
1) Für k = 2, 3 ist die Formel (47) erfüllt (siehe Def. 2 und Beweis des Lemmas 27).
2) Unter der Voraussetzung, dass die Formel (45) für s = k 1 erfüllt ist, beweisen wir ihre
Gültigkeit für s = k.
E(
G ) E((
iI
k
i
G ) G
iI
k 1
i
k
) [ E(
G ) ( G
iI
k 1
= (unter der Voraussetzung der Induktion) =
i
k
)] \ [
E(
G ) ( G )] =
iI
k 1
= {[ E(
G ) \ E(
G )] E(
G )}\ {[ E(
G ) \ E(
G )] E(
G )} =
iI
k 1
i
iI
k 1
i
k
iI
k 1
= E(
G ) \ E(
G )]\ E(
G ) \ E(
G )] =
[
k
iI
k
iI
k 1
= (s. Lemmata 20 – 21) =
i
[
i
iI
k
iI
k 1
= E(
G ) \ E(
G )]\ E(
G ) \ E(
G )] =
[
k
iI
k
iI
k 1
= E G ) \ { E(
G )
(
k
iI
k
iI
k 1
= E G ) \ E G ) .
(
k
iI
k
(
k
iI
k
i
i
[
i
iI
k
Das Lemma 31 ist damit bewiesen.
[
i
iI
k
iI
k 1
E(
G ) \ E(
G )]} =
iI
k 1
i
i
i
i
iI
k 1
i
i
k
k
Eines der einfachsten Elemente der Abel´schen Gruppe ( K(X), ) sind die Hamilton´schen
Bahnen, die durch Knoten der Menge X verlaufen. Deshalb ist es natürlich zu versuchen, die
anderen Elemente aus K(X), durch Hamilton´sche Bahnen darzustellen.
Wir werden nun die „alternierende Darstellung“ endlicher markierter transitiver kreisfreier
Basisdigraphen angeben.
35

T h e o r e m 26. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen Ĝ
und der Menge (Gˆ
) seiner kreisfreien Superturniere gilt:
Gˆ
Tˆ
. (48)
T(
Gˆ
)
Beweis. Offensichtlich ist V ( Gˆ ) V ( Tˆ
) . Wir zeigen, dass E(
Gˆ ) E(
Tˆ
) erfüllt ist.
T(
Gˆ
)
1) Wir beweisen, dass x,
y X : ( x,
y)
E(
Gˆ ) ( x,
y)
E(
Tˆ
)
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
Da a) Ĝ ein Basisdigraph ist, b) ( x,
y)
E(
Gˆ
) , c) T
( Gˆ ) : Gˆ
T Tˆ
und d) (Gˆ
) die
Menge aller kreisfreien Superturniere des Digraphen Ĝ ist, so existiert ein solches T ˆ
(G)
dass ( x , y)
E(
Tˆ
)
, und es existiert kein derartiges T* (
G ˆ ) , dass ( y,
x)
E(
Tˆ
*)
(andernfalls: Gˆ
T * und T* (
G ˆ )) . Somit erhalten wir ( x,
y)
E(
Tˆ
) und
( x,
y)
E(
Tˆ)
.
T(
Gˆ
)
Folglich gilt (siehe Lemma 31): ( x,
y)
E(
Tˆ
) .
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
2) Wir beweisen, dass x,
y X : ( x,
y)
E(
Tˆ)
( x,
y)
E(
Gˆ
).
T(
Gˆ
)
Wir nehmen den entgegengesetzten Fall an, d.h. ( x,
y)
E(
Gˆ
) . Dann sind zwei Fälle
möglich.
2a) ( y,
x)
E(
Gˆ
) . In diesem Fall gilt gemäß Pkt. 1) des Beweises des Theorems:
( y,
x)
E(
Tˆ)
was der Voraussetzung ( x,
y)
E(
Tˆ
) widerspricht, da Tˆ
T(
Gˆ
)
orientierter Digraph (siehe Lemma 24) ist.
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
ein
2b) ( y,
x)
E(
Gˆ
) , d. h. die Knoten x, y V
( G ˆ ) sind nicht miteinander verbunden. In diesem
Falle besteht die Menge (Gˆ
) aus zwei gleichmächtigen disjunkten Untermengen
Gˆ ) ( Gˆ ) ( ˆ ) und G ˆ ) ( ˆ ) , wobei T
( Gˆ ) : ( x,
y)
E(
)
(
1 2
G
und T ( Gˆ ) : ( y,
x)
E(
) .
2
T
1( 2
G
1
T
Das letztere bedeutet, dass ( x,
y)
E(
Tˆ
) , und folglich (siehe Lemma 31)
( x,
y)
E(
Tˆ)
.
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
Somit ist die Behauptung des Pkt. 2) richtig und damit das Theorem 26 bewiesen.
Definition 3. Die Darstellung eines endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen in der
Gestalt einer alternierenden Summe Hamilton´scher Bahnen seiner kreisfreien Superturniere
nennen wir alternierende Darstellung.
36

Bemerkung. Auf Grund der Formel (48) des Theorems 26 ist die Dimension der
alternierenden Darstellung eines endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen Ĝ gleich
der Anzahl (Gˆ
) seiner kreisfreien Superturniere und kann mittels der Ergebnisse der §§ 3 - 4
bestimmt werden.
Beispiel 13. Der Digraph Q 1 (Abb. 1) genügt den Bedingungen des Theorems 26. Die Menge
seiner kreisfreien Superturniere ist in der Abb. 2 dargestellt, und ihre Hamilton´schen Bahnen
in der Abb. 14. In Übereinstimmung mit dem Theorem 26 hat die alternierende Darstellung
des Digraphen Q 1 die Form, wie sie in der Abb. 18 dargestellt ist.
1
2
1
2
1
2
1
2
=
3
4
3
4
3
4
3
4
Abb. 18 Alternierende Darstellung des Digraphen Q 1 (Abb.1)
Beispiel 14. Der Digraph Q 2 (Abb. 4) genügt ebenfalls den Bedingungen des Theorems 26.
Die Menge der kreisfreien Superturniere des Digraphen Q 2 ist in der Abb. 5 dargestellt. Die
alternierende Darstellung des Digraphen Q 2 ist in der Abb. 19 angegeben.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3
4
=
3
4
4
4
3
3
4
3
3
4
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
Abb. 19. Alternierende Darstellung des Digraphen Q 2 (Abb. 4)
37

Literatur
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9. Sidorenko A.F.: Anzahl zulässiger linearer Ordnungen einer Halbordnung als eine
Funktion ihrer Unvergleichbarkeitsgraphen (Russisch). Mat. Zametki, 29 (1981), 1, 75-82.
10. Tanaev V.S.: Zur Anzahl der Permutationen von n halbgeordneter Elemente (Russisch).
DAN BSSR 11 (1967) 3, 208.
11. Tanaev V.S., V.V. Skurba: Einführung in die Scheduling Theorie (Russisch). Nauka,
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digraph. Short Comm. of Int. Congress of Math., ICM-82, 16 - 24 August. Warsaw,
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13. Taraszow O.G.: Enumeration of acyclic supertournaments of a finite, labeled, acyclic
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Czechoslovak Symp. of Graph Theory, Prague, 1982. (TEUBNER-TEXTE zur
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Doktorarbeit (Dr. rer. nat.). Zentralinstitut für Kybernetik und Informationsprozesse,
Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1983.
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Systemstrukturen. Doktorarbeit (Dr. habil.). K.-Weierstraß-Institut für Mathematik,
Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1985.
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38