Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

4. Zwei Familien oberer Schranken
Der soeben beschriebene Algorithmus I zur Bestimmung der Anzahl τ(G) aller kreisfreien
Superturniere eines endlichen markierten kreisfreien Digraphen G hat im Allgemeinen eine
Raumkomplexität von O(( |V(G)| + |E(G)| ) c k (G)) und die Zeitkomplexität von O(( |V(G)| +
|E( Ĝ )| ) c k (G)). Dabei sind k und c(G) folgendermaßen definiert:
k : = γ( Ĝ ) : = | E( Ĝ ) | | V( Ĝ ) | 1 ,
c G)
: max { max [ m ( L),
m ( L)]}
,
(
1 2
(
G)
( G)
L
( G)
wobei (G) ein Element der Menge (G) aller Fundamentalmengen der Zyklen des
Digraphen G und m1
( L) bzw. m 2 (L) die Anzahl der negativ bzw. positiv orientierten Bögen
des Zyklus L sind.
Deshalb entsteht das Problem, Methoden zur Abschätzung der Anzahl τ(G) mit geringerem
Aufwand abzuleiten. Im Weiteren werden zwei Familien oberer Schranken für die Anzahl
τ(G) hergeleitet.
Die erste Familie ergibt den Zusammenhang des betrachteten Problems zur Bestimmung der
Menge (G) der aufspannenden Dibäume des Digraphen G. Die Abschätzung dieser Familie
{(G, D(G) | D(G) (G)}stimmt mit der genauen Formel (8) für τ(G) in dem Fall überein,
dass der Digraph G den Bedingungen von Theorem 6 genügt.
Zur Bestimmung einer oberen Schranke (G,D[G]) wird ein Algorithmus II angegeben.
Dieser Algorithmus hat die Raumkomplexität von O(|V(G)| + |E(G)|) und die Zeitkomplexität
von O(|V(G)| 2 ) oder von O(|E(G)|loglog |V(G)|).
Weiterhin wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus der Familie
{(G, D[G]) | D[G] (G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus IV gegeben. Dieser Algorithmus IV hat die Raumkomplexität von
O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeitkomplexität von O ( exp | V ( G)
| ) .
Die zweite Familie {(G, L) | L D(G)} oberer Schranken ergibt den Zusammenhang des
betrachteten Problems zur Bestimmung der Menge D(G) der minimalen Dilworth-
Zerlegungen. Weiterhin wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus
der Familie {(G, L) | L D(G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus III gegeben. Der Speicherplatzbedarf und die Anzahl der Operationen sind in der
Größenordnung gleich denen des Algorithmus IV.
Ob die Anzahl der Operationen für beide Algorithmen auf ein polynominales Verhalten
reduziert werden kann, ist bislang ungeklärt.
Bemerkung. Algorithmus IV enthält den Algorithmus III. Deshalb benötigt er mehr
Operationen. Allerdings berücksichtigt Algorithmus IV die Struktur des betrachteten
Digraphen in stärkerem Maße als Algorithmus III, wodurch in der Regel eine bessere obere
Schranke erhalten wird.
Wir erinnern daran, dass ( x,
y)
eine Bahn im Digraphen G vom Knoten x V(G) zum
P G
Knoten y V(G) bezeichnet.
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