Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Beweis. Die Formel (39) folgt aus den Formeln (21), (33), da unter den Bedingungen des
Theorems 20 auch die Bedingungen der Theoreme 11 und 15 erfüllt sind.
Bemerkung 1. Wir erinnern daran, dass eine binäre Relation R X X Quasiordnung heißt,
wenn ihre transitive Hülle R eine lineare Ordnung ist (siehe z. B. [6], §. 8.3). Da eine
eineindeutige Abbildung der Menge endlicher antireflexiver azyklischer binärer Relationen
auf die Menge endlicher kreisfreier Digraphen existiert (siehe auch § 5), so gelten alle im § 6
erhaltenen Resultate auch für Probleme zur Bestimmung der Anzahl nicht isomorpher
antireflexiver Quasiordnungen, die eine endliche markierte antireflexive azyklische Relation
enthalten, insbesondere eine endliche markierte strikte Halbordnung.
Bemerkung 2. Es ist offensichtlich, dass alle im § 5 erhaltenen Resultate auch für den Fall
endlicher markierter Digraphen mit einer Schlinge in jedem Knoten und ohne Kreise der
Länge 2 ihre Gültigkeit haben. Das entspricht dem Fall endlicher markierter reflexiver
azyklischer Relationen und insbesondere dem Fall endlicher markierter nicht strikter
Halbordnungen.
7. Darstellungen endlicher markierter kreisfreier Digraphen
Es werden einige Darstellungen endlicher markierter kreisfreier Digraphen betrachtet, die mit
der Problematik und den Ergebnissen der §§ 1 - 6 im Zusammenhang stehen.
In der Arbeit [6] wurde bewiesen, dass sich ein beliebiger endlicher markierter kreisfreier
Digraph als Durchschnitt aller seiner Quasiordnungen darstellen lässt und in [2] wurde
bewiesen, dass sich eine beliebige strikte Halbordnung als Durchschnitt aller ihrer linearen
Ordnungen darstellen lässt.
Ausgehend aus der Menge der Quasiordnungen werden einige neue Darstellungen endlicher
kreisfreier Digraphen angeboten. Es wird z.B. gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher
markierter transitiver kreisfreier Digraph als Durchschnitt aller seiner kreisfreien Superturniere
darstellen lässt. Aus diesem Ergebnis folgt, dass die Dimension der Darstellung
strikter Halbordnung, die durch einen endlichen kreisfreien transitiven Digraphen G gegeben
ist, gleich der Anzahl h(G) seiner kreisfreien Superturniere ist.
In der Arbeit wird eine binäre Operation über eine Menge K(X) orientierter Digraphen auf
einer Knotenmenge X eingeführt, die alternierende Summe genannt wird. Es wird gezeigt,
dass die Menge K(X) orientierter Digraphen mit auf ihr gegebenen binären Operation eine
Abel´sche Gruppe ( K(X), ) bildet.
Mit Hilfe dieses Ergebnisses wird gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher markierter
kreisfreier Basisgraph als alternierende Summe der Hamilton´schen Bahnen seiner kreisfreien
Superturniere darstellen lässt.
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