Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Wegen Theorem 22 hat der Digraph Q 1 die in der Abb. 15 angegebene Darstellung I.
1
2
1
2
1
2
1
2
=
3
4
3
4
3
4
3
4
Abb. 15. Darstellung I des Digraphen Q 1 (Abb. 1)
T h e o r e m 23. ([2]) Eine beliebige strikte Halbordnung ist der Durchschnitt aller linearen
Ordnungen, die diese strikte Halbordnung enthalten.
Wir werden nun die Darstellung II endlicher markierter transitiver kreisfreier Digraphen
angeben.
T h e o r e m 24. Für einen beliebigen endlichen markierten transitiven kreisfreien
Digraphen G und der Menge (G
) seiner kreisfreien Superturniere gilt (Darstellung II):
G T
(44)
T(G )
Beweis. Das Theorem 24 stellt eine Umformulierung des Theorems 23 in die Sprache der
Graphentheorie dar für den Fall markierter strikter Halbordnungen unter Berücksichtigung
der Isomorphie zwischen der Menge der strikten Halbordnungen und der Menge der
transitiven kreisfreien Digraphen.
Bemerkung. Die Dimension der Darstellung II eines endlichen markierten transitiven
Digraphen G ist gleich der Anzahl h(G
) seiner kreisfreien Superturniere und lässt sich nach
den Ergebnissen der §§ 3 - 4 berechnen.
Beispiel 12. Die transitive Hülle Q1
des Digraphen Q 1 (Abb.1) ist in der Abb. 16 dargestellt.
1
2
3
4
Abb. 16. Diagraph Q1
Die kreisfreien Superturniere des Digraphen Q1
sind in der Abb. 2 dargestellt. In Übereinstimmung
mit dem Theorem 24 hat dann der Digraph Q1
folgende in der Abb. 17
angegebene Darstellung II:
1
2
1
2
1
2
1
2
=
3
4
3
4
3
4
3
4
Abb. 17. Darstellung II des Digraphen Q
1
(Abb. 16)
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