Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

T h e o r e m 26. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen Ĝ
und der Menge (Gˆ
) seiner kreisfreien Superturniere gilt:
Gˆ
Tˆ
. (48)
T(
Gˆ
)
Beweis. Offensichtlich ist V ( Gˆ ) V ( Tˆ
) . Wir zeigen, dass E(
Gˆ ) E(
Tˆ
) erfüllt ist.
T(
Gˆ
)
1) Wir beweisen, dass x,
y X : ( x,
y)
E(
Gˆ ) ( x,
y)
E(
Tˆ
)
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
Da a) Ĝ ein Basisdigraph ist, b) ( x,
y)
E(
Gˆ
) , c) T
( Gˆ ) : Gˆ
T Tˆ
und d) (Gˆ
) die
Menge aller kreisfreien Superturniere des Digraphen Ĝ ist, so existiert ein solches T ˆ
(G)
dass ( x , y)
E(
Tˆ
)
, und es existiert kein derartiges T* (
G ˆ ) , dass ( y,
x)
E(
Tˆ
*)
(andernfalls: Gˆ
T * und T* (
G ˆ )) . Somit erhalten wir ( x,
y)
E(
Tˆ
) und
( x,
y)
E(
Tˆ)
.
T(
Gˆ
)
Folglich gilt (siehe Lemma 31): ( x,
y)
E(
Tˆ
) .
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
2) Wir beweisen, dass x,
y X : ( x,
y)
E(
Tˆ)
( x,
y)
E(
Gˆ
).
T(
Gˆ
)
Wir nehmen den entgegengesetzten Fall an, d.h. ( x,
y)
E(
Gˆ
) . Dann sind zwei Fälle
möglich.
2a) ( y,
x)
E(
Gˆ
) . In diesem Fall gilt gemäß Pkt. 1) des Beweises des Theorems:
( y,
x)
E(
Tˆ)
was der Voraussetzung ( x,
y)
E(
Tˆ
) widerspricht, da Tˆ
T(
Gˆ
)
orientierter Digraph (siehe Lemma 24) ist.
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
ein
2b) ( y,
x)
E(
Gˆ
) , d. h. die Knoten x, y V
( G ˆ ) sind nicht miteinander verbunden. In diesem
Falle besteht die Menge (Gˆ
) aus zwei gleichmächtigen disjunkten Untermengen
Gˆ ) ( Gˆ ) ( ˆ ) und G ˆ ) ( ˆ ) , wobei T
( Gˆ ) : ( x,
y)
E(
)
(
1 2
G
und T ( Gˆ ) : ( y,
x)
E(
) .
2
T
1( 2
G
1
T
Das letztere bedeutet, dass ( x,
y)
E(
Tˆ
) , und folglich (siehe Lemma 31)
( x,
y)
E(
Tˆ)
.
T(
Gˆ
)
T(
Gˆ
)
Somit ist die Behauptung des Pkt. 2) richtig und damit das Theorem 26 bewiesen.
Definition 3. Die Darstellung eines endlichen markierten kreisfreien Basisdigraphen in der
Gestalt einer alternierenden Summe Hamilton´scher Bahnen seiner kreisfreien Superturniere
nennen wir alternierende Darstellung.
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