Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

P r o b 1 e m 5. Es ist die Darstellungsdimension einer gegebenen Halbordnung zu
bestimmen.
Es sei X = I n mit I n : = {1, 2, ... , n} und R I n
I
n
eine strikte Halbordnung. Eine
Permutation : I
n
I
n
der Elemente der Menge I n heißt zulässig bezüglich der Relation R,
wenn gilt ( i)
R
( j)
i j .
P r o b 1 e m 6. Es ist die Anzahl voneinander verschiedener zulässiger Permutationen der
Elemente einer endlichen markierten Menge bezüglich einer auf ihr vorgegebenen strikten
Halbordnung zu bestimmen.
Bemerkung 1. Die Formel (1) und die Abschätzung (22) wurden für die Probleme 3, 6 in den
Arbeiten [10] und [11] angegeben. Die Lemmata 1 und 3 wurden für das Problem 6 in [9]
bewiesen.
Bemerkung 2. Mit (G) bezeichnen wir die Menge der Anfangsknoten und mit (G) die
Menge der Endknoten eines Digraphen G. In [9] wird ein Algorithmus zur Lösung des
Problems 6 konstruiert, der sich auf die Benutzung der Formel (1) und der folgenden
Beziehung (23) für das Entfernen aller Anfangs- oder aller Endknoten des Digraphen stützt.
( G)
( G x)
( G x)
. (23)
x
( G)
x
( G)
Ebenda wird gezeigt, dass die Maximalwerte von ( G)
n!
die Werte 1, 1/2, 1/3, 1/4, 5/24,
...sind, und für n 10 wird die Grenze des kontinuierlichen Teils [1, k n ] des Wertspektrums
( G)
n!
für verschiedene Halbordnungen R gegeben.
Bemerkung 3. In der Arbeit [9] wird ebenfalls das Problem 6 behandelt. Hierfür wurde in
[9] der Begriff des Unvergleichbarkeitsgraphen G(R) der Halbordnung R wie folgt
eingeführt:
V ( G(
R))
: I ; E(
G(
R))
: {( i,
j)
| ( i,
j I ) ((
iRj)
( jRi))}
.
n
Eine Funktion wurde auf der Menge aller Graphen folgendermaßen definiert: ( ) 1,
wobei O den leeren Graphen mit n Knoten bezeichnet und ( G ) : max (
G a)
, wobei
n
K alle Cliquen von G durchläuft.
*
Unter diesen Voraussetzungen wurde gezeigt, dass ( G ( R))
(
G(
R))
ist, wobei G * (R) den
Digraphen der Halbordnung R bezeichnet. Es wurden einige Eigenschaften der Funktion
bewiesen.
Bemerkung 4. Es ist offensichtlich, dass alle in den §§ 3 - 4 erhaltenen Resultate auch für
den Fall endlicher markierter Digraphen mit Schlingen und ohne Kreise der Länge 2 gelten
und entsprechend auch für den Fall endlicher markierter reflexiver azyklischer Relationen.
Insbesondere gelten sie auch für endliche markierte nicht strikte Halbordnungen.
n
K
aK
O n
23