Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Mit B bezeichnen wir einen gerichteten Baum mit Wurzel. Es sei a V(B) die Wurzel (der
Anfangsknoten) von B. Dann nennen wir den Knoten x V(G) Knoten der k-ten Stufe des
Dibaumes B, wenn gilt: ( x,
y)
k (k = 0, 1, 2, ... , n; n N: = |V(B)|).
d G
Für einen beliebigen Knoten x V(B) bezeichnen wir mit B x einen maximalen gerichteten
Unterbaum des Dibaumes B mit Wurzel x. Das bedeutet zum Beispiel, dass V(B x ) die Menge
aller Knoten des Dibaumes B ist, die von Knoten x aus erreichbar sind, d.h.:
V ( B ) { y V
( B)
| P
( x,
y)}
.
x
G
T h e o r e m 5. Für einen beliebigen endlichen markierten Dibaum B mit Wurzel gilt:
( B)
| V ( B)
|! / | V ( ) | . (5)
xV
( B)
B x
F o l g e r u n g 1. Wir nummerieren alle Knoten des Dibaumes B mit Wurzel auf
willkürliche Weise mit den Zahlen i = 1, 2, ..., Ν , wobei N = |V(B)|. Es sei N
i
: | V ( Bi
) |
(i = 1, 2, ..., Ν). Dann nehmen (4) folgende Gestalten an:
N
( B)
N ! / . (6)
i1
N i
Beispiel 3. Für den Digraphen Q 2 aus Beispiel 2 wurde gezeigt, dass gilt:
τ(Q 2 ) = τ(S 1 ) τ(S 2 ) τ(S 3 ) τ(S 4 ),
dabei sind S i (i = 1, 2, 3, 4) die in Abb. 4 dargestellten Dibäume. Wenden wir auf diese Dibäume
Formel (5) an, so erhalten wir:
6!
6!
6!
6!
τ(Q 2 ) =
5
6 1
4 1
2 1
6 1
4 3
2 1
6 1
5
2 2 1
6 5
4 3
2 1
Alle fünf kreisfreien Superturniere des Digraphen Q 2 aus Beispiel 2 sind in Abb. 5 dargestellt.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
Abb. 5. Kreisfreie Superturniere des Digraphen Q 2
F o l g e r u n g 2. Wir bezeichnen mit B m,k einen homogenen Dibaum mit Wurzel vom
Grade m und der Stufenanzahl k ; d. h., B m,k ist ein Dibaum mit Wurzel, dessen Stufenanzahl
gleich k ist und bei dem für einen beliebigen Knoten x der Stufe j ≤ k - 1 gilt: od ( x)
m
Dann gilt folgende Formel:
B m , k
.
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