Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

( G ) : min ( G , D[
G ]) . (14)
0 i
i
D[
G ] ( G )
i
i i
G)
: min ( G ,( D[
G ]) ) . (15)
0
(
i i i1,2,...,
m
( D[
Gi
]) i 1,
2,..., m
( G)
Wir merken an, dass wegen Beziehung (11) gilt:
( G ) min ( D[
G ]) . (16)
0 i
D[
G ] ( G )
i
i i
T h e o r e m 8. Für einen beliebigen endlichen markierten kreisfreien Digraphen
bei dem jede Zusammenhangskomponente G i genau einen Anfangsknoten besitzt, gilt:
i1
m
G G ,
m
0
( D[
Gi
])
0
( G)
| V ( G)
|! . (17)
| V ( G ) |!
i
Mithin kann die Bestimmung der minimalen oberen Schranke 0
( G ) für die Anzahl τ(G) für
einen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G auf den Fall von endlichen markierten
kreisfreien zusammenhängenden Digraphen mit nur einem Anfangsknoten zurückgeführt
werden. Dann erhalten wir unter der Berücksichtigung der Beziehung (17) die Aufgabe 1.
i1
A u f g a b e 1. Für einen endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen
G mit nur einem Anfangsknoten ist ein aufspannender Dibaum D * mit Wurzel aufzusuchen,
so dass gilt:
( G)
( D ) : min ( ) .
D
0
D
( G)
Wir zeigen nun, wie die Anzahl | (G) | aller aufspannenden Dibäume mit Wurzel eines
endlichen markierten kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten
berechnet werden kann.
Es sei V G)
{ x , x , ... , x } und n = |V(G)|. Mit A(G) bezeichnen wir die Adjazenzmatrix
(
1 2 n
des Digraphen G d. h., A(G) ist eine (n n) - Matrix || a ij || i = 1,2, ... , n mit a ij = 1, wenn
( xi , x
j
) E(
G)
und sonst a ij = 0. Da der Digraph G schlicht ist (ohne Schlingen), gilt a ii = 0.
Mit M id (G) bezeichnen wir die Matrix, die aus der Matrix A(G) entsteht, wenn das i-te
Element der Hauptdiagonale durch id G (x i ) ersetzt wird.
T h e o r e m 9. (s. z. B. [3], Theorem 16.9´) Für einen beliebigen endlichen markierten
kreisfreien zusammenhängenden Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten x1 V ( G)
( V G)
{ x , x , ... , x } und n = |V(G)|) ist das algebraische Komplement M id (G) eines
(
1 2 n
beliebigen Elementes der ersten Spalte gleich der Anzahl | (G) | aller aufspannender
Dibäume mit der Wurzel x 1 des Digraphen G.
Bemerkung. Theorem 9 ist ein Spezialfall des Matrizen-Theorems für aufspannende
Dibäume von Digraphen (s. z. B. [3], Theorem 16.9´).
Bemerkung. Aus Lemma 9 folgt: | (G) | 1.
i
15