Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

L e m m a 8. Für einen beliebigen endlichen kreisfreien Digraphen G mit einem einzigen
Anfangsknoten a V(G) gilt:
x V(G) \ {a}: ( a,
x)
.
P G
L e m m a 9. Ein beliebiger endlicher kreisfreier zusammenhängender Digraph G mit einem
einzigen Anfangsknoten enthält mindestens einen aufspannenden Dibaum D[G] mit Wurzel.
Bemerkung. Es ist offensichtlich, dass ein endlicher kreisfreier zusammenhängender Digraph
mit mehreren Anfangsknoten keinen aufspannenden Dibaum mit Wurzel enthält.
Mit (G)
bezeichnen wir den zyklischen Rang des Digraphen G; d. h., nach Definition ist:
(G) : = | E(G) | | E(G) | 1 . (9)
L e m m a 1 0. Die Anzahl der Bögen, die aus einem endlichen kreisfreien zusammenhängenden
Digraphen G mit nur einem Anfangsknoten entfernt werden müssen, um zu einem
aufspannenden Dibaum mit Wurzel zu kommen, ist gleich seinem zyklischen Rang (G).
F o 1 g e r u n g. Aus den Lemmata 9 - 10 folgt, dass die Anzahl k von Gliedern in der Folge
~ ~ ~
~
von Digraphen ( G G0 , G1,
... , Gk
) , die auf einen aufspannenden Dibaum G k
D[
G]
mit
Wurzel des Digraphen G führt (s. Lemma 9) , gleich dem zyklischen Rang des Digraphen G
ist. Es ist also
k ( G)
E(
G)
V ( G)
1.
L e m m a 11. Für beliebige endliche markierte kreisfreie Digraphen G * , G, G * mit
V(G * ) = V(G) = V(G * *
) und G G gilt:
*
G
τ(G * ) ≤ τ(G) ≤ τ(G * ) . (10)
Wir betrachten einen endlichen markierten kreisfreien Digraphen G G , in dem jede
Zusammenhangskomponente G i (i = 1, 2, ... , m) genau einen Anfangsknoten besitzt. In
diesem Fall hat in Übereinstimmung mit Lemma 9 jede Komponente G i (i = 1, 2, ... , m)
mindestens einen aufspannenden Dibaum mit Wurzel. Für das Tupel (G i ) i = 1, 2, ... , m von
Zusammenhangskomponenten des Digraphen G betrachten wir einen Tupel (D[G i ]) i = 1, 2, ... , m
von entsprechenden aufspannenden Dibäumen mit Wurzeln und führen folgende
Bezeichnungen ein:
G , D[
G ]) : ( D[
G ]) , (11)
(
i i
i
m
( Gi
,( D[
Gi
])
i 1,2,...,
m
) : D[
Gi
]
(12)
i1
Das folgende Theorem 7 ergibt die Familie der oberen Schranken für die Anzahl τ(G).
m
i1
i
13