Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Zur Bestimmung einer oberen Schranke (G, D[G]) wird ein Algorithmus II angegeben.
Dieser Algorithmus II hat die Raumkomplexität von O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeit-
2
komplexität von O(
| V ( G)
| ) bzw. O( | E(
G)
| log log | V ( G)
| ) .
Weiter wird die Aufgabe der Bestimmung der minimalen Schranke (G) aus der Familie
{(G, D[G]) | D[G] (G)} behandelt. Eine heuristische Lösung wird durch den
Algorithmus IV gegeben. Dieser Algorithmus IV hat die Raumkomplexität von
O( | V ( G)
| | E(
G)
| ) und Zeitkomplexität von O ( exp | V ( G)
| ) .
Mit Hilfe der Menge D(G) minimaler Dilworth-Zerlegungen eines Digraphen G erhält man
eine Familie {(G, L) | L D(G)} von oberen, in analytischer Form gegebenen Schranken für
(G). Mittels des in der Arbeit angegebenen Algorithmus III wird eine minimale obere
Schranke (G) aus dieser Familie auf der Grundlage einer heuristischen Lösung bestimmt.
Die Raumkomplexität und die Zeitkomplexität sind gleich jeweils der des Algorithmus IV.
Der Algorithmus IV enthält den Algorithmus III und benötigt deshalb mehr Operationen.
Allerdings berücksichtigt der Algorithmus IV die Struktur des betrachteten Digraphen in
stärkerem Maße als Algorithmus III, wodurch in der Regel eine bessere obere Schranke
erhalten wird.
Weiterhin wird das Problem der Bestimmung der Anzahl h(G) der Quasiordnungen eines
endlichen markierten kreisfreien Digraphen untersucht. Es wird eine Methode angegeben, die
das genannte Problem auf das Problem der Bestimmung der Anzahl (G) der kreisfreien
Superturniere eines kreisfreien Digraphen zurückführt.
Für die gesuchte Anzahl h(G) wird eine Methode angegeben, nach der untere und obere
Schranken bestimmt werden können. In diese Schranken geht die Anzahl (G) der kreisfreien
Superturnieren eines kreisfreien Digraphen G ein. Auf dieser Basis wird eine Reihe von
unteren und oberen Schranken für h(G) gewonnen.
Weiterhin wird das Problem der Darstellungen kreisfreier Digraphen untersucht. In der Arbeit
[6] wurde bewiesen, dass sich ein beliebiger endlicher markierter kreisfreier Digraph als
Durchschnitt aller seiner Quasiordnungen darstellen lässt und in [2] wurde bewiesen, dass
sich eine beliebige strikte Halbordnung als Durchschnitt aller ihrer linearen Ordnungen
darstellen lässt.
Ausgehend aus der Menge der Quasiordnungen werden einige neue Darstellungen endlicher
kreisfreier Digraphen angeboten. Es wird z.B. gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher
markierter transitiver kreisfreier Digraph als Durchschnitt aller seiner kreisfreien Superturniere
darstellen lässt. Aus diesem Ergebnis folgt, dass die Dimension der Darstellung
strikter Halbordnung, die durch einen endlichen kreisfreien transitiven Digraphen G gegeben
ist, gleich der Anzahl h(G) seiner kreisfreien Superturniere ist.
In der Arbeit wird eine binäre Operation über eine Menge K(X) orientierter Digraphen auf
einer Knotenmenge X eingeführt, die alternierende Summe genannt wird. Es wird gezeigt,
dass die Menge K(X) orientierter Digraphen mit auf ihr gegebenen binären Operation eine
Abel´sche Gruppe ( K(X), ) bildet.
Mit Hilfe dieses Ergebnis wird es gezeigt, dass sich ein beliebiger endlicher markierter
kreisfreier Basisgraph als alternierende Summe der Hamilton´schen Bahnen seiner kreisfreien
Superturniere darstellen lässt.
3