Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

2
1
( n1)(
n2)
m1
2
h(
G)
2
( G)
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
. (32)
Beweis. Die Formel (32) folgt aus der Formel (31) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
unter den Bedingungen des Theorems 14 T (G)
die Ungleichung r( G,
T ) 1 erfüllt ist.
T h e o r e m 1 5. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen zusammenhängenden
kreisfreien Digraphen G gilt:
2
1
n(
n1)
mn2
2
h(
G)
2
( G)
1
n(
n1)
m
2
. (33)
Beweis. Die Formel (33) folgt aus der Formel (32), da unter den Bedingungen des Theorems
15 die Bedingungen des Theorems 14 und min{m, n 1}= n 1 erfüllt sind.
Beispiel 10. Für den Digraphen Q 1 der Abb. 1 sind die Bedingungen des Theorems 15
erfüllt. Da n | V ( Q1 ) | 4; m |
(
Q1
) | 3 und ( Q 1
) 3 sind, erhalten wir dann gemäß
der Formel (33)
1 h(
Q1
) 3
2 2 6 h(
Q1
) 24 .
3
Wir erinnern daran, dass h( Q 1
) 10 ist.
Wir nummerieren auf willkürliche Weise die Knoten des Digraphen G ( | V ( G)
| n)
mit den
Zahlen 1, 2, ... , n (genauer, wir nehmen an, dass V ( G)
I
n
ist). Für beliebige i I
n
sei
p( i)
: 1
| { j I | P ( i,
j)}|
.
n
G
T h e o r e m 16. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen kreisfreien
Digraphen G, dessen Basisdigraph für eine beliebige zusammenhängende Komponente ein
aufgespannter Dibaum mit Wurzel ist, gilt
2
1
( n1)(
n2)
m1
2
h(
G)
2
n
n!/
p(
i)
i1
1
( n1)(
n2)
mmin{
m,
n1}
2
. (34)
Beweis. Die Formel (34) folgt aus den Formeln (6), (32) und den Theoremen 6 und 14.
T h e o r e m 17. Für einen beliebigen endlichen markierten nichttrivialen Wald B
( | V ( B)
| n)
, der aus k Dibäumen mit Wurzeln besteht, gilt:
2
1
( n1)(
n4)
k
2
h(
B)
2
n
n!/
p(
i)
i1
1
( n1)(
n2)
k
1
2
. (35)
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