Superturniere und Darstellungen azyklischer ... - Hochschule Fulda

Beispiel 7.
Wir betrachten den Dibaum B(n,m) der in Abb. 12 dargestellt ist.
0
1 2 ….. i …. n
.. .. ..
a 11 a 12 a 1m a i1 a i2 a im a n1 a n2 a nm
Abb. 12. Der Dibaum B(n,m) .
Für den Dibaum B(n,m) erhalten wir nach der genauen Formel (5):
[ n ( m 1)]!
( B(
n,
m))
n
( m 1)
Die Abschätzung (22) liefert:
(( B(
n,
m))
n[
n(
m 1)
1]!
Folglich ist
( B(
n,
m))
1
(
B(
n,
m))
( m 1)
n1 1 .
Für große n, m erhält man
( B(
n,
m))
1.
(
B(
n,
m))
Es gilt sogar:
( B(
n,
m))
( B(
n,
m))
lim lim
n
(
B(
n,
m))
m
(
B(
n,
m))
lim
n,
m
( B(
n,
m))
(
B(
n,
m))
0 .
5. Äquivalente Problemstellungen.
Für das in der vorliegenden Arbeit betrachtete Problem 1 gibt es eine Reihe äquivalenter
Formulierungen, die weiter unten angegeben werden (Probleme 2 - 6). Der Beweis für die
Äquivalenz der Probleme 1 - 6 ist hinreichend offensichtlich.
Wir erinnern daran, dass ein Digraph G transitiv heißt, wenn G G gilt. Ein Digraph Q heißt
Supergraph des Digraphen G, wenn G Q und V ( G)
V ( Q)
. Ein kreisfreier Digraph G
heißt Hamilton´sch, wenn er eine Hamilton´sche Bahn enthält.
P r o b 1 e m 2. Für einen gegebenen endlichen markierten kreisfreien Digraphen ist die
Anzahl seiner voneinander verschiedenen transitiven kreisfreien Hamilton´schen Supergraphen
zu bestimmen.
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