Institut für Angewandte Mathematik Erlangen, den 26.4.2006 Prof ...

Institut für Angewandte Mathematik Erlangen, den 26.4.2006
Prof. Dr. Günther Grün
Partielle Differentialgleichungen
Übungsblatt 1
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie explizit die Lösung des Cauchy–Problems für die Advektionsgleichung
{
ut + au x = f in R × R + ,
u = g auf R × {t = 0},
wobei a ∈ R konstant sei. Hinweis: Betrachten Sie u längs charakteristischer
Kurven.
(4 Punkte)
Aufgabe 2: (Wellengleichung)
Lösen Sie das Cauchy–Problem für die Wellengleichung
{
utt − cu xx = 0 in R × R + ,
u = g, u t = h auf R × {t = 0}
unter Benutzung von Aufgabe 1 explizit.
(4 Punkte)
Aufgabe 3: (Wärmeleitungskern)
Seien x, y ∈ R n und t > 0. Wir definieren den Wärmeleitungskern
Zeigen Sie:
(i) Für alle y ∈ R n gilt
(ii) Für alle x ∈ R n und t > 0 gilt
∫
(iii) Für jedes δ > 0 gilt
K(x, y, t) := (4πt) −n/2 e −|x−y|2 /4t .
(∂ t − ∆ x )K(·, y, ·) = 0.
R n K(x, y, t)dy = 1.
lim K(x, y, t)dy = 0
tց0
∫|x−y|>δ
gleichmäßig für x ∈ R n .
(4 Punkte)

Aufgabe 4: (Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung)
Sei f ∈ C 0 (R n ; R) beschränkt. Mit dem Wärmeleitungskern K aus Aufgabe
3 sei
∫
u(x, t) := K(x, y, t)f(y)dy.
R n
Zeigen Sie, dass u ∈ C ∞ (R n × R + ; R) ist und der Wärmeleitungsgleichung
u t − ∆ x u = 0 in R n × R +
genügt. Zeigen Sie weiter, dass u ∈ C 0 (R n × R + 0 ; R) ist, falls u(x, 0) := f(x)
gesetzt wird.
(4 Punkte)