Mathematik für Ingenieure I C 1. Aufgabenblatt Prof. Dr. W. Borchers ...

Mathematik für Ingenieure I C 1. Aufgabenblatt
Prof. Dr. W. Borchers / PD Dr. S. Kräutle WS 2008/09
Ausgegeben am: 17.10.08
Abgabe der A-Aufgaben: Mittwoch, 29.10.08, in der Vorlesung.
Abgabe in 2er-Gruppen. Nummer der Übungsgruppe bitte mit draufschreiben!
A1) Überprüfe mit Hilfe einer Wahrheitstabelle die de Morgan’schen Formeln:
a) ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
b) ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
c) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
d) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(8 Punkte)
A2) Bilde die Vereinigung M ∪ N und die Differenz M \N der folgenden Mengen:
A3)
a) M = {0, 1, 2, 3}, N = {2, 4, 6}
b) M = {x∈IR | 0 ≤ x ≤ 1}, N = {y ∈IR | 1 ≤ y < 2}
c) M = {x∈IR | x 2 ≤ 2}, N = {x∈IR | x < √ 2}
a) Bilde die Potenzmenge P (M) von
(i) M = {a, b, c}
(ii) M = ∅
(iii) M = {∅, {∅}}
b) Bilde die Differenz M \N von
M = {1, 2, 3} × {1, 2}, N = {2, 3, 4} × {2, 3, 4}
(6 Punkte)
(6+2 Punkte)
A4) Seien A, B, C, D beliebige Mengen. Ist die folgende Aussage (immer) wahr?
(A×B) \ (C ×D) = (A\C) × (B\D)
Finde entweder ein Gegenbeispiel oder beweise, dass die Aussage wahr ist.
(3 Punkte)

A5) Zeige die Gleichheit der folgenden Mengen:
a) A ∪ B = B ∪ A (Kommutativgesetz)
b) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (Distributivgesetz)
Hinweis: Es ist zu zeigen, daß jedes Element der einen Seite ein Element der anderen
Seite ist und umgekehrt. Die Regeln der Aussagenlogik können als bekannt vorausgesetzt
werden.
Bemerkung: Ganz analog kann man auch zeigen, dass das Kommutativgesetz A ∩ B =
B ∩ A und das Distributivgesetz (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) gelten.
(2+3 Punkte)
Präsenzaufgaben:
P1) Bestimme M ∪ N, M ∩ N, M \ N, N \ M, N \ L, L \ N für
M = {x ∈ R| x < 5}, N = {x ∈ R| x ≥ 0}, L = {0}.
P2) Gilt A× B = B×A für beliebige Mengen A, B? Begründung!
P3) Bestimme P (M) für M = {1, 2}, M = {0}, M = {1, {2, 3}}.
P4) Zeige die Gleichheit der folgenden Mengen (Assoziativgesetz):
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
P5) Die Aussageformen ”A ⇒ B” und “A ⇔ B” sind definiert als
(A ⇒ B) := ¬A ∨ B
(A ⇔ B) := (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
Stelle eine Wahrheitstafel a) für A ⇒ B und b) für A ⇔ B auf.
P6) Negiere die folgenden Aussagen:
a) Alle Auto sind rot.
b) Es gibt rote Autos.
Abstrahiere nun. Sei A(n) eine Aussage für alle n ∈ N. Negiere:
a) ∀n∈N : A(n)
b) ∃n∈N : A(n)
c) ∃c∈R ∀n∈N : f(x) < c