Mathematik für Ingenieure I C 1. Aufgabenblatt Prof. Dr. W. Borchers ...

A5) Zeige die Gleichheit der folgenden Mengen:
a) A ∪ B = B ∪ A (Kommutativgesetz)
b) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (Distributivgesetz)
Hinweis: Es ist zu zeigen, daß jedes Element der einen Seite ein Element der anderen
Seite ist und umgekehrt. Die Regeln der Aussagenlogik können als bekannt vorausgesetzt
werden.
Bemerkung: Ganz analog kann man auch zeigen, dass das Kommutativgesetz A ∩ B =
B ∩ A und das Distributivgesetz (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) gelten.
(2+3 Punkte)
Präsenzaufgaben:
P1) Bestimme M ∪ N, M ∩ N, M \ N, N \ M, N \ L, L \ N für
M = {x ∈ R| x < 5}, N = {x ∈ R| x ≥ 0}, L = {0}.
P2) Gilt A× B = B×A für beliebige Mengen A, B? Begründung!
P3) Bestimme P (M) für M = {1, 2}, M = {0}, M = {1, {2, 3}}.
P4) Zeige die Gleichheit der folgenden Mengen (Assoziativgesetz):
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
P5) Die Aussageformen ”A ⇒ B” und “A ⇔ B” sind definiert als
(A ⇒ B) := ¬A ∨ B
(A ⇔ B) := (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
Stelle eine Wahrheitstafel a) für A ⇒ B und b) für A ⇔ B auf.
P6) Negiere die folgenden Aussagen:
a) Alle Auto sind rot.
b) Es gibt rote Autos.
Abstrahiere nun. Sei A(n) eine Aussage für alle n ∈ N. Negiere:
a) ∀n∈N : A(n)
b) ∃n∈N : A(n)
c) ∃c∈R ∀n∈N : f(x) < c