Mehrdimensionale Integration

Inhaltsverzeichnis
Mehrdimensionale Integration
1 Integration 1
1.1 Definition des Integrals im IR 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Berechnung des Integrals und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Der Transformationssatz für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Erweiterung des Integralbegriffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Flächen und Flächenintegral 13
2.1 Darstellungen von Flächen im IR 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Flächenelement und Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Flächenintegrale erster und zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Der Gaußsche Integralsatz 21
3.1 Einfach und mehrfach zusammenhängende Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Der Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Der Gaußsche Integralsatz für räumliche Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Folgerungen aus dem Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Weitere Integralsätze vom Gauß – Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Der Integralsatz von Stokes 29
4.1 Der Rotationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Das vektorielle Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Weitere Integralsätze vom Stokes – Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Stammfunktionen und Wegunabhängigkeit von Kurven– und Flächenintegralen
34
5.1 Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Stammfunktionen für die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

1 Integration
1.1 Definition des Integrals im IR 2
z
y
F
f(x,y)
1. Schritt: Definition für rechteckiges F
d
Q i
c
a b
Dann heißen
x
Sei F ⊆ IR 2 eine beschränkte Menge und f :
F → IR eine beschränkte Funktion. Für positives
f bedeutet �
F f(x, y) dF anschaulich das Volumen
des Körpers unterhalb des Graphen von f . Das
Riemann–Integral wird ähnlich wie in einer Raumdimension
eingeführt; wirkliche Unterschiede ergeben
sich nur bei krummmlinig berandeten Flächen
F . Das Integral wird in mehreren Schritten definiert.
Sei F = [a, b] × [c, d] ein Rechteck. F wird in
abgeschlossene Rechtecke Z = (Q1, . . . , Qm) mit
◦
Qi ∩ ◦
Qj= ∅ für i �= j und F = ∪Qi unterteilt. Sei
µ(Qi) der Flächeninhalt von Qi . Setze
mi = inf f(x) , Mi = sup f(x) .
x∈Qi
x∈Qi
m�
sf (Z) = miµ(Qi) ,
m�
Sf (Z) = Miµ(Qi)
i=1
i=1
die Riemann–Unter– und Obersummen. Weiter definieren wir das Unter– und Oberintegral
durch
If = sup sf (Z) , If = inf Sf (Z) .
Z
Z
Geometrisch bestimmen wir beim Unterintegral das größte Volumen, das sich durch rechteckige
Säulen, die unterhalb des Graphen liegen, erzeugen läßt.
Def. 1.1 f : F → IR heißt auf F integrierbar, wenn I f = If . In diesem Fall heißt
das Integral von f .
Andere Schreibweisen:
�
f(x, y) dxdy ,
F
2. Schritt: Allgemeine Bereiche F
�
F
�
F
f(x, y) dF := I f = If
f(x) dx wenn x = (x1, x2) ,
1
�
F
f(x, y) d(x, y) .

Sei F ⊆ IR 2 beschränkt und Q das kleinste abgeschlossene Rechteck mit F ⊆ Q . Wir setzen
f auf Q fort durch
f ∗ �
f(x, y)
(x, y) =
0
für
für
(x, y) ∈ F
(x, y) ∈ Q/F .
Def. 1.2 f heißt über F integrierbar, wenn f ∗ über Q integrierbar ist. In diesem Fall setze
�
�
f(x, y) dF := f ∗ (x, y) dF .
F
Satz 1.3 Seien f, g über F ⊆ IR 2 integrierbar. Dann sind auch αf + βg, α, β ∈ IR , und |f|
integrierbar und es gilt:
�
�
�
(i) (αf(x, y) + βg(x, y)) dF = α f(x, y) dF + β g(x, y) dF (Linearität) ,
F
�
�
F
F
(ii) f ≤ g ⇒ f(x, y) dF ≤ g(x, y) dF ,
F
insbesondere auch
�
f ≤
F
�
|f| .
Beweis: (i) ist für Treppenfunktionen richtig und läßt sich durch Grenzübergang auf integrierbare
Funktionen übertragen. Für (ii) ist wegen der Linearität nur zu zeigen:
�
f ≥ 0 ⇒ f ≥ 0.
Das folgt direkt aus der Definition.
3. Schritt: Meßbare Mengen
Def. 1.4 Sei F ⊆ IR 2 beschränkt. F heißt meßbar, wenn
�
µ(F ) = 1 dF
existiert. µ(F ) heißt dann das Maß von F .
Der nächste Satz gibt ein einfaches Kriterium für die Integrierbarkeit von Funktionen.
Satz 1.5 Stetige Funktionen f auf meßbaren kompakten Mengen sind integrierbar.
Beweis: Sei Q wieder das kleinste kompakte Rechteck, das F umfaßt, und sei f ∗ die Fortsetzung
von f durch 0 wie im 2. Schritt. f nimmt das Maximum M und das Minimum m
auf F an. Weiter ist f auf der kompakten Menge F gleichmäßig stetig, d.h.: Zu jedem ε > 0
gibt es ein δ > 0 mit
(1.1)
|f(x) − f(y)| < ε ∀x, y ∈ F mit |x − y| < δ .
2
F
Q

Sei ε > 0 vorgegeben; δ sei wie in (1.1). Sei Z = (Q1, . . . , Qm) eine Zerlegung mit Kantenlänge
der Qi kleiner als δ . Sei I ⊆ {1, . . . , m} die Indexmenge mit Qi ∩ ∂F = ∅ . Dann gilt (1.1)
innerhalb von Qi für diese i ∈ I . Also
m�
Sf (Z) − sf (Z) = (Mi − mi)µ(Qi) ≤
i=1
�
(Mi − mi)µ(Qi) +
i∈I
�
(|M| + |m|)µ(Qi)
Qi∩∂F �=∅
(1.1)
≤ ε �
µ(Qi) + (|M| + |m|) �
i∈I
Qi∩∂F �=∅
µ(Qi) .
Der erste Summand kann beliebig klein gewählt werden. Um auch den zweiten Summanden
klein zu bekommen, zeigen wir
(1.2)
Der Rand einer meßbaren, kompakten Menge ist meßbar und besitzt Maß 0 .
Für die Funktion g = 1 auf F , g = 0 sonst, gilt
Sg(Z) − sg(Z) = �
Qi∩∂F �=∅
µ(Qi).
Da 1 nach Voraussetzung über F integrierbar ist, geht die linke Seite für eine Zerlegungsfolge
mit Kantenlänge → 0 ebenfalls gegen Null, also auch die rechte Seite. Die rechte Seite ist
aber gerade die Obersumme von g = 1 auf ∂F . Also ist ∂F meßbar und µ(∂F ) = 0 .
Satz 1.6 (Mittelwertsatz) f sei integrierbar auf der meßbaren kompakten Menge F mit
Maß µ(F ) . Dann gilt
�
inf f(x)µ(F ) ≤
x∈F F
f(x) dF ≤ sup f(x)µ(F ) .
x∈F
Wenn f zusätzlich stetig ist und F zusätzlich zusammenhängend, so gibt es ein x0 ∈ F mit
�
f(x) dF = f(xo)µ(F ) .
F
Beweis: Die erste Behauptung ist anschaulich klar und folgt überdies aus der Beziehung
durch Integration, siehe Satz 1.3 (ii).
inf f ≤ f(x) ≤ sup f
Wenn f zusätzlich stetig ist, so wird das Minimum m in x und das Maximum M in y
angenommen. Sei w ein Polygonzug, der x und y verbindet, und w(t), t ∈ [a, b], sei eine
Parametrisierung von w . Die Funktion
f(w(t))µ(F )
ist stetig auf [a,b]. Wegen der ersten Behauptung gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein
t0 ∈ [a, b] mit
�
f(w(t0))µ(F ) = f(x) dF .
Damit ist w(t0) das gesuchte x0 .
3
F

1.2 Berechnung des Integrals und der Satz von Fubini
Satz 1.7 (Fubini) Sei F = [a, b] × [c, d] ein Rechteck und f : F → IR integrierbar. Weiter
seien f(·, y) : [a, b] → IR für alle y ∈ [c, d] und f(x, ·) : [c, d] → IR für alle x ∈ [a, b]
integrierbar. Dann gilt:
�
� �
d � �
b
� �
b � �
d
f(x, y) dF = f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx .
F
Bem.: Oft läßt man die Klammern weg!
a x0 b
c
x
a = x0 < x1 < . . . < xm = b, xi − xi−1 = ∆x .
Das Volumen unterhalb des Graphen (= �
F f(x, y) dF ) ist dann etwa
a
m−1 �
∆x F (xi) →
i=1
a
c
Beweisskizze: Mit F (x) = � d
c f(x, y) dy beträgt
das Volumen unterhalb des Graphen über dem
Streifen
{(x, y) ∈ F : x ∈ [x0, x0 + ∆x]}
ungefähr ∆xF (x) . Wir unterteilen [a, b] äquidistant:
� b
F (x) dx .
a
Die andere Möglichkeit – zuerst bezüglich y zu integrieren – verläuft analog.
Folgerungen: Bei allgemeinen Gebieten wird f durch 0 fortgesetzt, was zu folgenden Spezialfällen
führt:
(i)
y
ϕ 2(x)
ϕ 1(x)
a b
x
d
c
y
ψ 1(y) ψ 2(y)
� � b � ϕ2(x)
f dF = f(x, y) dy dx (ii)
� � d � ψ2(y)
f dF = f(x, y) dx dy
F
a ϕ1(x)
F
c ψ1(y)
Kompliziertere Gebiete wird man in diese Typen zerlegen !
4
x

Beispiele 1.8 (i) Volumen der Halbkugel
Über dem Einheitskreis läßt sich die obere Halbkugel durch die Funktion f(x, y) = � 1 − x2 − y2 darstellen. Wie in den Folgerungen (i) erhalten wir
�
F
�
f dF =
F
�
1 − x2 − y2 � 1 �
dF =
−1
√ 1−x2 − √ 1−x2 �
1 − x2 − y2 dy dx
Für die Integration der rechten Seite wird die Variable x zunächst als konstant angesehen.
Wir erhalten für die Stammfunktion
und mit a 2 = 1 − x 2
� 1 � √ 1−x2 −1
− √ 1−x 2
� �
a2 − y2 dy = 1
2 (y
�
a2 − y2 + a 2 arcsin y
a
�
1 − x 2 − y 2 dy dx
= 1
� �
1 �
y 1 − x
2 −1
2 − y2 + (1 − x 2 ) arcsin
y
�
1 − x 2
= 1
� 1
(0 + (1 − x
2 −1
2 )(arcsin 1 − arcsin (−1))) dx
= π
� 1
2 −1
(1 − x 2 ) dx = π 1
(x −
2
3 x2 �
�
) �
�
1
−1
= 2
π .
3
��√ ���� 1−x2 − √ 1−x 2
(ii) Zu F = {(x, y) T ∈ IR 2 : −1 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1} soll das Integral �
F (x4 y + 3) dF
bestimmt werden.
y
1
-1 1
=
� 1
{
−1
1
2 x4y 2 �
�1
+ 3y} �
�
x2 dx =
= { 1
10 x5 + 3x − 1
18 x9 − x 3 �
�
} �
�
1.3 Volumenintegrale
x
� 1
1
−1
−1
Die Integrationsgrenzen können aus der nebenstehenden
Skizze entnommen werden. Daher
�
(x 4 � 1 � 1
y + 3) dF = (x 4 y + 3) dy dx
F
{ 1
2 x4 + 3 − 1
2 x8 − 3x 2 } dx
−1
x 2
dx
= 2{ 1 1
9 − 5 4
+ 3 − − 1} = 4 + = 4
10 18 45 45 .
Das Integral im IR n ist völlig analog zum IR 2 definiert. Wir integrieren zuerst über einen
Quader Q und zerlegen Q in kleinere Quader Qi, deren Maß µ(Qi) das übliche Kantenprodukt
ist. Damit lassen sich Unter- und Oberintegrale und demnach das Riemann-Integral
5

definieren. Die Sätze 1.3 - 1.6 bleiben sinngemäß richtig. Die Berechnung erfolgt wieder durch
mehrfache Integrale. Im IR 3 :
z
y
ϕ 2(x,y)
ϕ 1(x,y)
� �
f dV =
� ϕ2(x,y)
f(x, y, z) dz dF
V
F ϕ1(x,y)
x
z
�
y
V
F(c)
a c b
� b �
f dV =
a
F (x)
x
f(x, y, z) dF dx
Beispiel 1.9 Wir berechnen das Volumen des Schnittkörpers, der beim rechtwinkligen Schnitt
zweier koaxialer Kreiszylinder mit Radius R entsteht.
z
y
x
Der Körper wird durch vier Zylinderteile begrenzt. Daher genügt es, über den schraffierten
Bereich F zu integrieren.
� �
V = 4
F
√ R2−x2 − √ R2−x2 1 dz dF = 4
1.4 Anwendungen
Masse
� R � x
0
−x
� √ R 2 −x 2
− √ R 2 −x 2
� R � x
1 dz dy dx = 8
� R
= 16 x
0
�
R2 − x2 �
dx = 16 − 1
�
(R
3
2 − x 2 ) 3
�
�
2 �
�
Sei F eine materielle Scheibe des IR 2 mit Massendichte ϱ(x, y) .
�
M = ϱ(x, y) dF
F
6
R
0
0
−x
F
= 16
3 R3 .
x
�
R 2 − x 2 dy dx

ist dann die Masse von F .
Entsprechend erhalten wir für die Masse eines Körpers V ⊆ IR 3 mit Massendichte ϱ(x, y, z)
�
M = ϱ(x, y, z) dV .
V
Anschaulich ist ϱ(x)µ(Q) ungefähr die Masse eines kleinen Quaders Q mit x ∈ Q ⊆ IR n .
Schwerpunkt
η
y
ξ
S
Da für die y–Richtung das gleiche Argument gilt, ist
ξ = 1
�
M
xϱ(x, y) dF , η = 1
M
F
x
Sei S = (ξ, η) der Schwerpunkt einer Fläche F ⊆
IR 2 . ξ ist dadurch definiert, daß der Körper im
Gleichgewicht ist, wenn man △ an der Stelle ξ anlegt.
Dies ist gleichwertig mit
�
ϱ(x, y)(ξ − x) dF = 0 .
�
F
F
yϱ(x, y) dF .
Mit gleicher Überlegung erhalten wir für den Schwerpunkt S = (ξ1, ξ2, ξ3) eines Körpers
V ⊆ IR 3 mit Dichte ϱ(x1, x2, x3)
ξi = 1
�
xiϱ(x1, x2, x3) dV , i = 1, 2, 3 .
M V
Beispiele 1.10 (i) Schwerpunkt einer halbkreisförmigen Scheibe
y
R
x
Für die nebenstehende Scheibe gilt offenbar bei
Massendichte 1 M = 1 2 R2 π. Für den Flächenschwerpunkt
folgt daher
ξ = 2
R 2 � R �
π −R
√ R2−x2 x dy dx = 0 ,
0
η = 2
R 2 � R �
π −R
√ R2−x2 y dy dx =
0
1
R 2 � R
(R
π −R
2 − x 2 ) dx = 1
R 2 π (2R3 − 2
(ii) Schwerpunkt des Einheitsdreiecks
3 R3 ) = 4
3
Das Einheitsdreieck wird begrenzt durch die Geraden x = 0, y = 0 und x + y = 1 . Mit
M = 1 2
erhalten wir
also
�
F
x dx =
� 1 � 1−y
0
0
x dx dy =
� 1
0
1
2 (1 − y)2 dy = { 1 1
−
2 2
(ξ, η) = ( 1 1
, ) .
3 3
7
1 1
+ } =
6 6 ,
R
π .

1.5 Volumenänderung
In diesem Abschnitt untersuchen wir, wie sich das Volumen µ(V ∗ ) einer Fläche oder eines
Körpers V ∗ verändert, wenn V ∗ durch eine Abbildung g : V ∗ → IR n , n = 2 bzw. 3, auf ein
Volumen V = g(V ∗ ) abgebildet wird.
v 2
v 1
Zunächst betrachten wir einen Spat des IR n , der durch
die Vektoren v1, . . . , vn aufgespannt wird, also die Menge
S = {x ∈ IR n : x =
Nach einem früheren Satz gilt für das Volumen des Spates
(1.3)
µ(S) = |det(v1| . . . |vn)| ,
also die Determinante der Matrix, die die vi als Spaltenvektoren besitzt.
n�
αivi mit 0 ≤ αi ≤ 1} .
Nun betrachten wir das Bild des Würfels Qε mit Kantenlänge ε unter einer linearen
Abbildung, die in Form einer Matrix T = (v1| . . . |vn) gegeben ist. Schreiben wir Qε =
(εe1| . . . |εen), ei = i−ter Einheitsvektor des IR n , so wird Qε auf den Spat abgebildet, der
durch die Vektoren εv1, . . . , εvn aufgespannt wird. Nach (1.3) gilt:
(1.4)
i=1
µ(T Qε) = |det(v1| . . . |vn)| µ(Qε) = ε n |det(v1| . . . |vn)| .
Anschaulich gibt der Ausdruck | det(v1| . . . |vn)| die Volumenänderung an, der Qε unter der
Abbildung T ausgesetzt ist. Der nächste Satz ist daher keine Überraschung:
Satz 1.11 Sei V ∗ ⊆ IR n meßbar und g : V ∗ → V ⊆ IR n eine bijektive, stetig differenzierbare
Transformation mit Funktionalmatrix Jg(u) �= 0, u ∈ V . Dann gilt:
(1.5)
�
µ(V ) =
V ∗
| det Jg(u)| dV .
Bem.: Wie in der Literatur üblich, wird der Urbildraum mit u-Koordinaten bezeichnet,
u = (u1, . . . , un) T oder (u, v) T ∈ IR 2 , der Bildraum mit x-Koordinaten, xi = gi(u) . Für Jg(u)
ist die Bezeichnung ∂(x1, . . . , xn)
∂(u1, . . . , un) in Gebrauch und für det Jg(u) schreibt man auch ∆ .
Beweisskizze: Dieser Beweis ist sehr aufwendig, die Formel (1.5) läßt sich aber leicht veranschaulichen.
Wir setzen g ∈ C 2 (V ∗ ), V ∗ ⊆ IR 2 , voraus und schöpfen V ∗ bis auf einen
”kleinen” Rest durch Würfel Qi mit Kantenlänge ε aus.
V*
g
8
V

Ein Qi besitze die Eckpunkte u0, u0 + εe1, u0 + εe2, u0 + εe1 + εe2 . Nach dem Satz von Taylor
gilt für u0 + v ∈ Qi
g(u0 + v) = g(u0) + Jg(u0)v + O(ε 2 (1.6)
) .
Damit bildet g – bis auf einen Fehler der Größe ε 2 – das Qi ab auf einen Spat mit den Eckpunkten
g(u0), g(u0) + Jg(u0)(εe1), g(u0) + Jg(u0)(εe2), g(u0)Jg(u0)(εe1) + Jg(u0)(εe2) . Das Volumen
dieses Spats stimmt mit dem Spat überein, der von den Vektoren εJg(u0)e1, εJg(u0)e2
erzeugt wird. Nach (1.4) gilt
µ(g(Qi)) = |det Jg(u0)| µ(Qi) + O(ε n+1 ) .
Nun dominiert µ(Qi) = ε n über ε n+1 , sodaß wir nach Summation über i für ε → 0 gerade
die Formel (1.5) bekommen.
Für die Rechentechnik ist dieser Satz deshalb bedeutsam, weil die Volumenberechnung eines
krummlinigen Körpers auf ein Integral über einen einfachen Körper zurückgeführt werden
kann.
Beispiel 1.12 Wir betrachten die Deformation eines Dreiecks D∗ , die gegeben ist durch
v
y
1
1
2
1
2
3
1
�
x
y
u
�
= g
Die Ränder von D ∗ werden dabei so abgebildet:
1. u = v → x = 0
⎛
2. v = 1 √ 2 →
3. u = 1 →
⎝ u2 − 1 2
√ 2 u
�
1 − v 2
2v
⎞
�
u
v
�
1
=
2
1
�
2
u 2 − v 2
2uv
⎠ ⇒ y 2 = 2u 2 = 2(x + 1 2 )
�
⇒ y 2 = 4v 2 = 4(1 − x)
3
�
y 2=2(x+ 1 2 )
y 2=4(1-x)
Diese Deformation überführt Kreise u2 + v2 = const wieder in Kreise x2 + y2 = (u2 + v2 ) 2 =
const . Wir untersuchen die Flächenänderung:
�
�
2u −2v
det Jg(u, v) = det
= 4(u
2v 2u
2 + v 2 ) .
9

Da in D∗ gilt 4(u2 + v2 �� �2 � � �
2
) ≥ 4 1√ + √1 = 4 , haben wir bei dieser Deformation
2 2
in jedem Punkt eine Flächenvergrößerung. Nach Satz 1.11 gilt
�
D
�
1 dF = 4
D∗ (u 2 + v 2 � 1 � u
) dF = 4 √ √ (u
2/2 2/2
2 + v 2 ) dv du
= 4
= 4
� 1
√ 2/2
(u 2 v + 1
3 v3 �
�
�
) �
�
u
√ 2/2
�
1
3 −
√
2
6 −
√ �
2 1 1 1
− + +
12 12 12 12
1.6 Der Transformationssatz für Integrale
� �
1 4
du = 4 √
2/2 3 u3 √
2
−
2 u2 −
= 5 − 3√ 2
3
.
√ �
2
du
12
Satz 1.13 Seien die Gebiete V, V ∗ ⊆ IR n und die Transformation g : V ∗ → V so wie in Satz
1.11. Für stetiges f : V → IR gilt dann:
�
V
�
f(x) dV =
V ∗
f(g(u)) | det Jg(u)| dV ∗ .
Die Begründung für die Gültigkeit dieses Satzes ist genau die gleiche wie bei Satz 1.11. Für
n = 1 erhalten wir im wesentlichen die Substitutionsregel für Integrale:
� x(b)
� b
f(x) dx = f(x(u))x
x(a)
a
′ (u) du .
Hier steht auf der rechten Seite x ′ (u) ohne Betragsstriche, weil in einer Raumdimension der
Wert des Integrals von der Orientierung der Integrationsvariablen abhängt, nämlich � b
a =
− � a
b . Eine solche Orientierung, obwohl man sie durchaus einführen könnte, fehlt in der
mehrdimensionalen Integration.
Ein wichtiges und einfaches Beispiel für eine Transformation ist die affin lineare Transformation
g(u) = T u + b
mit einer (n × n)–Matrix T und einem Vektor b ∈ IR n . Da T und b nicht von u abhängen,
erhalten wir Jg(u) = T und daher det Jg(u) = det T . Der Term, der die Volumenänderung
angibt, läßt sich hier vor das Integral ziehen.
Für Polarkoordinaten (n = 2) erhalten wir aus x = r cos ϕ , y = r sin ϕ für die Funktionalmatrix
�
cos ϕ
J (x,y)(r, ϕ) =
sin ϕ
�
−r sin ϕ
r cos ϕ
und daher
det J (x,y)(r, ϕ) = r .
10

Die Zylinderkoordinaten (n = 3) unterscheiden sich in ihrer Struktur nicht von den Polarkoordinaten,
weil die z–Richtung nicht transformiert wird,
also
und
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z ,
J (x,y,z)(r, ϕ, z) =
⎛
⎜
⎝
cos ϕ −r sin ϕ 0
sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
det J (x,y,z)(r, ϕ, z) = r .
Die Kugelkoordinaten (n = 3) sind folgendermaßen definiert: Es werden die (x, y)-Ebene
und die positive x-Achse ausgezeichnet. Zu einem (x, y, z) ∈ IR 3 gibt r ≥ 0 den Abstand zum
Nullpunkt an, ϕ ∈ [0, 2π) bezeichnet den Winkel, den die Projektion (x, y) T ∈ IR 2 mit der
positiven x−Achse einschließt, und θ ∈ [−π 2 , π 2
] gibt den Winkel zwischen dem Ortsvektor
und der (x, y)-Ebene an. Analytisch bedeutet dies
x = r cos ϕ cos θ
y = r sin ϕ cos θ
z = r sin θ
Für die Funktionalmatrix erhalten wir
⎛
cos ϕ cos θ
⎜
J (x,y,z)(r, ϕ, θ) = ⎝ sin ϕ cos θ
−r sin ϕ cos θ
r cos ϕ cos θ
−r cos ϕ sin θ
r sin ϕ sin θ
⎞
⎟
⎠
sin θ 0 r cos θ
und
det J (x,y,z) = r 2 cos θ .
Beispiele 1.14 (i) Aus einer Kugel mit Radius R wird ein Zylinder der Höhe H herausgenommen.
Es soll das Volumen V des Restkörpers berechnet werden.
z
y
H
R 1
R
x
Wie in den Zeichnungen angegeben, können wir die Volumenberechnung auf eine Integration
über den Ringbereich D zurückführen,
� �
V = 2 R2 − x2 − y2 dV .
D
11
D
⎞
⎟
⎠
R 1
R
x

Wir verwenden Polarkoordinaten und erhalten wegen det J (x,y)(r, ϕ) = r
� R
V = 2
R1
= − 4π
3
� 2π
Das Volumen hängt nicht von R ab !
(ii) Wir berechnen I = �
V
y
V
ϕ=
1
4-r2 0
�
R2 − r2 � R
r dϕ dr = 4π r
R1
�
R2 − r2 dr
��
R2 − r2 � �
3��� R
�
6 + � x 2 + y 2
Wir führen wieder Polarkoordinaten ein:
x
R1
�
dV .
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , 6 +
0
= 4π
�
R
3
2 − R2 3
1
= π
6 H3 .
V liegt im 1. Quadranten und ist begrenzt durch
arctan y
x =
�
x 2 + y 2 = 6 + r ,
x = 0 ,
x 2 + y 2 = 1 ,
1
4 − x 2 2 .
− y
∂(x, y)
= r .
∂(r, ϕ)
Aus der Zeichnung ergibt sich
I =
� 1 � π/2
0 1/(4−r2 � 1 �
π 1
(6 + r)r dϕ dr = −
)
0 2 4 − r 2
�
(6r + r 2 ) dr
=
� 1 �
π
2 (6r + r2 ) + 1 + 2
�
4
+ dr = 1 +
r + 2 r − 2
5π 9
+ ln
3 64 .
(iii) Volumen eines Rotationskörpers
z
y
f(x)
a b
�
V
� b
1 dV =
a
x
� 2π � f(x)
Das Volumen des Rotationskörpers ist also
0
0
Ein Körper V rotiere um die x-Achse und werde
durch eine Funktion f(x) erzeugt. Um das Volumen
von V zu bestimmen, führen wir in der (x, y)-
Ebene Polarkoordinaten ein (=Zylinderkoordinaten
des IR 3 ).
Damit gilt
� b � 2π 1
r dr dϕ dx =
2 f 2 (x) dϕ dx
� b
V = π f
a
2 (x) dx .
12
a
0

1.7 Erweiterung des Integralbegriffes
Dieser Abschnitt läßt sich in einem Satz zusammenfassen: Das Integral über eine vektor–
oder komplexwertige Funktion ist komponentenweise zu verstehen.
Für eine vektorwertige Funktion f = (f1, f2, . . . , fm): V → IR m bedeutet dies
�
V
��
f(x) dV =
Dies führt manchmal zu eleganten Darstellungen:
V
�
fi(x) dV .
i=1,2,...,m
Beispiel 1.15 Für einen Körper V ⊆ IR n mit Massendichte ϱ(x) gilt für die Masse M
�
M =
und der Schwerpunkt S errechnet sich zu
V
ϱ(x) dV (skalarwertig)
S = 1
�
xϱ(x) dV (vektorwertig) .
M V
Für eine komplexwertige Funktion f : IR n → C schreiben wir f(x) = u(x) + iv(x) und
setzen �
�
�
f(x) dV = u(x) dV + i v(x) dV ∈ C .
V
V
V
2 Flächen und Flächenintegral
2.1 Darstellungen von Flächen im IR 3
Anschaulich ist eine Fläche des IR 3 eine lokal zweidimensionale Menge. Analog zur Darstellung
von Kurven kennt man drei Arten, eine Fläche darzustellen. Auch hier wollen wir streng
unterscheiden zwischen der Fläche, die ein geometrisches Objekt bestehend aus Punkten im
IR 3 ist, und der Flächendarstellung, die meist eine Abbildung ist. Zu einer Fläche lassen sich
beliebig viele Darstellungen finden, die das gleiche geometrische Objekt beschreiben.
Zu einer glatten Fläche gibt es in jedem Punkt x ∈ F einen Normaleneinheitsvektor
n = n(x) , |n| = 1 , der als +n oder −n gewählt werden kann. Auch wieder in Analogie zur
Kurve haben wir dadurch die Möglichkeit, die Fläche zu orientieren.
Implizite Darstellung: Das Nullstellengebilde einer Funktion f : IR 3 → IR wird i.a. eine
Fläche sein,
F = {x ∈ IR 3 : f(x) = 0}
Diese Darstellung hat den Nachteil, daß es manchmal schwer ist, überhaupt Punkte auf der
Fläche anzugeben. Da der Gradient von f
∇f = (∂1f, ∂2f, ∂3f) T
13

in Richtung des stärksten Anstiegs von f zeigt, erhalten wir eine Normale durch
n(x) = ∇f(x)
|∇f(x)| .
An f stellen wir daher die Forderung f ∈ C 1 mit ∇f �= 0 auf F .
Explizite Darstellung: Einem Bereich B ⊆ IR 2 und einer Funktion f : B → IR läßt sich
der Graph von f zuordnen,
�
F = (x, y, z) T ∈ IR 3 : z = f(x, y) , (x, y) T �
∈ B
Hier lassen sich die Flächenpunkte sofort angeben, allerdings können wir – außer durch Hilfskonstruktionen
– keine Flächen darstellen, bei denen zu einem (x, y) mehrere Punkte auf der
Fläche (x, y, z) gehören. Nach Ingenieurmathematik III ist eine Normale gegeben durch
⎛ ⎞
n = (1 + |fx| 2 + |fy| 2 1
−
) 2
Parameterdarstellung: Zu einer vektorwertigen Funktion x : B → IR 3 , B ⊆ IR 2 , gibt es
eine Fläche
F = {x(u, v): (u, v) ∈ B} ,
die von x parametrisiert wird. Wir können x als Schar von Kurven des IR 3 auffassen. Je
nachdem, ob wir v oder u festhalten und nur die Abhängigkeit in der anderen Variablen
betrachten, erhalten wir die u– und v–Linien der Fläche.
x 3
x 2
x v
⎜
⎝
x u
−fx
−fy
1
x 1
⎟
⎠ .
u-Linien (v=konst)
v-Linien (u=konst)
Die zugehörigen Tangentenvektoren sind dann xu und xv, der Normalenvektor also
(2.1)
n = xu × xv
|xu × xv| .
Bei einer Fläche in Parameterform fordern wir daher x(u, v) ∈ C 1 (B) 3 und xu × xv �= 0 in
B .
Beispiele 2.1 (i) Die Kugeloberfläche des IR 3 mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R
ist implizit gegeben durch
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = R 2
14

mit der Normalen
⎛
n = 1 ⎜
⎝
2R
2x1
2x2
2x3
⎞
⎟
⎠ = x
R .
Für die explizite Darstellung lösen wir die implizite nach z = x3 auf und erhalten für die
obere Halbkugel
�
z = R2 − x2 − y2 .
Für die Normale gilt dann
n =
⎛
⎜
⎝
x(R2 − x2 − y2 ) −1/2
y(R2 − x2 − y2 ) −1/2
1
⎞
�
⎟ 2 2 2
⎟
R − x − y
⎠
R 2
�1/2 natürlich das gleiche wie oben.
⎛
= 1 ⎜
R ⎝
x
y
(R 2 − x 2 − y 2 ) 1/2
Für die Parametrisierung der Kugeloberfläche verwendet man am besten Kugelkoordinaten
mit r = R, also
x = R cos ϕ cos θ
y = R sin ϕ cos θ
z = R sin θ
�
wobei B = (ϕ, θ) ∈ [0, 2π) × [−π 2 , π 2 ]
�
.
Die ϕ–Linien sind nun die Breitenkreise und die θ–Linien die Höhenkreise. Für die Tangentenvektoren
der ϕ– und θ–Linien erhalten wir (�x = (x, y, z))
⎛
⎞
⎛
⎞
− sin ϕ cos θ
− cos ϕ sin θ
⎜
⎟
⎜
⎟
�xϕ = R ⎝ cos ϕ cos θ ⎠ , �xθ = R ⎝ − sin ϕ sin θ ⎠
0
cos θ
und
(2.2)
⎛
�xϕ × �xθ = R 2 ⎜
det ⎝
Für die Normale folgt einfach
⎛
= R 2 ⎜
cos θ ⎝
− sin ϕ cos θ − cos ϕ sin θ e1
cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ e2
0 cos θ e3
cos ϕ cos θ
sin ϕ cos θ
sin θ
n = �x
R .
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = R cos θ ⎝
(ii) In parametrischer Form ist die Sattelfläche gegeben durch B = Einheitskreis um 0,
⎛
⎜
x(u, v) = ⎝
u
v
uv
⎞
⎟
⎠
15
x
y
z
⎞
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ .
⎞
⎟
⎠ ,

und nach z = x3 aufgelöst erhalten wir in expliziter Form z = xy . Der Normalenvektor ist
gegeben durch
⎛ ⎞
−y
⎜ ⎟
n = ⎝ −x ⎠ (1 + x
1
2 + y 2 ) −1/2 .
Tangentialflächengleichung: Hat man die Normale n im Punkt x ∈ F bestimmt, so erhält
man daraus wie üblich mit der Hesseschen Normalenform die Gleichung der Tangentialebene
der Fläche im Punkt x durch
(y − x) · n = 0 .
Ist die Fläche in Parameterform gegeben, so sind die Vektoren xu, xv linear unabhängig wegen
xu × xv �= 0 und wir können die Tangentialebene sofort in Parameterform angeben durch
y = x + λxu + µxv, λ, µ ∈ IR .
Aus der Herleitung und der geometrischen Anschauung ergibt sich sofort, daß die Normale
und die Tangentialebene geometrische Objekte sind, die der Fläche eigen und somit
unabhängig von der gewählten Flächendarstellung sind. Nur die Darstellung dieser Objekte
hängt von der Flächendarstellung ab.
z
y
Ziel
n
x
Start
2.2 Flächenelement und Flächeninhalt
Wir hatten oben erwähnt, daß es im allgemeinen zwei
Möglichkeiten gibt, eine Normale zu definieren, wobei
in den obigen Darstellungen eine davon willkürlich ausgewählt
wurde. Im folgenden betrachten wir — ohne
darüber ein Wort zu verlieren — nur orientierbare
Flächen; das sind solche, für die eine stetige Normalenfunktion
n : F → IR 3 überhaupt definiert werden kann.
Wenn z. B. F einen Körper berandet, so ist diese Fläche
automatisch orientierbar, weil man etwa die äußere Normale
auszeichnen kann.
Das Möbiusband in der Abbildung links (also ein
Streifen, der nach einer halben Drehung wieder zusammengeklebt
wird) ist das einfachste Beispiel für
eine nichtorientierbare Fläche. Wie man sich leicht
überzeugen kann, besteht das Möbiusband aus nur
einer Kante und einer Seite. Wenn man in einem
Punkt eine Normalenrichtung festlegt und mit dieser
das Band einmal umrundet, so zeigt die Normale
dann in die entgegengesetzte Richtung. Eine
stetige Normalenfunktion gibt es daher nicht.
Wir wollen den Flächeninhalt einer in Parameterform dargestellten Fläche F bestimmen und
gehen dazu genauso vor wie bei der Herleitung der Transformationsregel für Volumenintegrale
16

in Abschnitt 1.5. B sei zunächst das Einheitsquadrat des IR 2 und x : B → IR 3 parametrisiere
die Fläche.
v
u
x
x 3
x 2
Wir überziehen B mit einem orthogonalen, äquidistanten Netz der Maschenweite ε . Ein
Teilquadrat Q des Netzes mit Eckpunkten (u0, v0), (u0 + ε, v0), (u0 + ε, v0 + ε), (u0, v0 + ε)
wird für x ∈ C 2 (B) 3 — bis auf einen Fehler O(ε 2 ) — abgebildet auf das Parallelogramm des
IR 3 mit Eckpunkten (x0 = x(u0, v0))
x0 , x0 + εxu(u0, v0) , x0 + εxu(u0, v0) + εxv(u0, v0) , x0 + εxv(u0, v0) .
Dies verifiziert man genauso wie in (1.6) mit Hilfe der Taylorentwicklung. Der Flächeninhalt
dieses Parallelogramms stimmt mit demjenigen überein, das von den Vektoren ε xu(u0, v0) ,
εxv(u0, v0) erzeugt wird. Also
µ(x(Q)) = ε 2 |xu(u0, v0) × xv(u0, v0)| + O(ε 3 )
= |xu(u0, v0) × xv(u0, v0)| µ(Q) + O(ε 3 ) .
In Analogie zur Transformationsformel für Volumenintegrale ist die lokale Flächenverzerrung
der Abbildung x gegeben durch |xu × xv| (an Stelle von | det Jf |). Damit haben wir plausibel
gemacht:
Def. 2.2 Als Flächeninhalt eines durch die stetig differenzierbare Parametrisierung x : B →
IR 3 gegebenen Flächenstückes F definieren wir
� �
µ(F ) = dσ := |xu(u, v) × xv(u, v)| d(u, v).
Der symbolische Ausdruck
heißt Flächenelement.
F
B
dσ = |xu(u, v) × xv(u, v)| d(u, v)
So ganz symbolisch ist das Flächenelement natürlich nicht gemeint. Aus der obigen Herleitung
ist ja klar, daß das Bild eines kleinen Quadrats Q mit (u, v) ∈ Q ungefähr den Flächeninhalt
dσµ(Q) besitzt.
Mit
|xu × xv| =
�
|xu| 2 |xv| 2 − (xu · xv) 2
können wir die Definition der Gaußschen Fundamentalgrößen motivieren:
Es gilt dann
E = |xu| 2 , F = xu · xv, G = |xv| 2 .
dσ = �
EG − F 2 d(u, v) .
17
x 1

Def. 2.3 Wenn für eine Parametrisierung x einer Fläche F xu · xv = 0 gilt, so heißt die
Parametrisierung orthogonal.
Ein Beispiel für eine orthogonale Parametrisierung hatten wir bei der Darstellung der Kugeloberfläche
durch Kugelkoordinaten kennengelernt.
Nun bestimmen wir die Flächenelemente für die explizite Darstellung. Die durch f : B →
IR 3 gegebene Fläche läßt sich parametrisieren durch x = u, y = v, z = f(u, v), sodaß
und damit
(2.3)
E = 1 + f 2 u , F = fufv , G = 1 + f 2 v
dσ =
�
1 + f 2 u + f 2 v d(u, v) .
Der Flächeninhalt bestimmt sich durch
� �
µ(F ) = 1 + f 2 u(u, v) + f 2 v (u, v) d(u, v) .
Beispiele 2.4 (i) Auf D =
B
�
(ϕ, θ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , −π 2 ≤ θ ≤ π �
2
wird durch
x(ϕ, θ) =
⎛
⎜
⎝
R cos ϕ cos θ
R sin ϕ cos θ
R sin θ
wieder die Kugelfläche F definiert. Nach (2.2) gilt dann
�
EG − F 2 = R 2 cos θ
und für den Flächeninhalt
µ(F ) =
(ii) Für 0 ≤ ϕ ≤ θ, 0 ≤ R1 ≤ r ≤ R2 ergibt
eine Schraubenfläche S. Mit
⎞
⎟
⎠
� 2π � π/2
R
0 −π/2
2 cos θ dθ dϕ = 2πR 2 �
�
sin θ�
π/2
xr =
⎛
⎜
⎝
x = x(r, ϕ) =
cos ϕ
sin ϕ
0
⎞
⎛
⎜
⎝
⎟
⎠ , xϕ =
r cos ϕ
r sin ϕ
cϕ
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
−r sin ϕ
r cos ϕ
c
−π/2 = 4πR2 .
sind die Fundamentalgrößen E = 1, F = 0, G = r2 + c2 und der Flächeninhalt
� θ � R2 �
µ(S) = r
0 R1
2 + c2 dr dϕ = θ
⎧
⎨
2 ⎩ R2
�
R2 2 + c2 �
− R1 R2 1 + c2 + c 2 ln R2
�
+ R2 2
18
⎞
⎟
⎠
R1 +
+ c2
�
R2 ⎫
⎬
⎭
1 + c2
.

2.3 Flächenintegrale erster und zweiter Art
Def. 2.5 Es sei F eine Fläche, die durch x : B → IR 3 , B ⊆ IR 2 , parametrisiert ist. Weiter
sei f : F → IR eine stetige Funktion. Dann heißt
�
�
f(x) dσ = f(x(u, v)) |xu(u, v) × xv(u, v)| d(u, v)
F
das Flächenintegral erster Art von f über F .
B
Wir können das Flächenintegral erster Art interpretieren mit der Vorstellung einer massebehafteten
Fläche mit Massendichte f(x) > 0 ; �
F f(x) dσ gibt dann die Gesamtmasse der
Fläche an. Ähnlich wie bei der Herleitung des Flächeninhalts im letzten Abschnitt können
wir B in kleine Quadrate Q zerlegen. Die Masse von x(Q) ist dann ungefähr
f(x(u, v)) |xu(u, v) × xv(u, v)| µ(Q)
für ein (u, v) ∈ Q . Bilden wir entsprechende Riemannsche Summen, so konvergieren diese
gegen das Integral auf der rechten Seite von Def. 2.5. Aus dieser Veranschaulichung wird auch
klar, daß der Wert des Flächenintegrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung ist.
Wenn die Fläche explizit durch eine Funktion z(u, v) über den Bereich B ⊆ IR 2 gegeben
ist, so erhalten wir wie im letzten Abschnitt
�
�
�
f(x) dσ = f(u, v, z(u, v)) 1 + z2 u(u, v) + z2 v(u, v) d(u, v) .
F
B
Das Flächenintegral zweiter Art, das auch orientiertes Flächenintegral genannt wird, unterscheidet
sich vom Integral erster Art hauptsächlich dadurch, daß eine Normalenorientierung
festgelgt werden muß. Dies liegt an sich im Belieben des Anwenders dieses Integrals;
wenn die Fläche jedoch durch eine Parametrisierung x(u, v) gegeben ist, so legt man i. a. die
mathematisch positive Orientierung fest,
n = xu × xv
|xu × xv| .
Def. 2.6 Sei die Fläche F durch die Parametrisierung x : B → IR 2 gegeben und sei f : F →
IR 3 ein stetiges Vektorfeld auf F . Dann heißt
�
�
�
f(x) · dσ =
¯
f(x) · n dσ = f(x(u, v)) xu(u, v) × xv(u, v) d(u, v)
F
F
das Flächenintegral zweiter Art von f über F . Den Ausdruck
B
dσ ¯ = (xu(u, v) × xv(u, v)) d(u, v) = n dσ
bezeichnet man als vektorielles Flächenelement.
Wegen der Darstellung �
F f(x) · n dσ des Flächenintegrals zweiter Art ist klar, daß der Wert
des Integrals bei unterschiedlichen Parametrisierungen sich höchstens im Vorzeichen unterscheiden
kann.
19

Physikalisch läßt sich das Flächenintegral zweiter Art am besten an Hand einer Strömung
deuten. Sei u(x) ∈ IR 3 der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens, das sich gerade am Ort
x ∈ IR 3 befindet. Wir nehmen an, daß die Strömung stationär ist, der Geschwindigkeitsvektor
also nur vom Ort x, aber nicht von der Zeit t abhängt. Für eine Fläche F ist u · n der Anteil
der Strömung, der durch die Fläche hindurchfließt, daher ist �
F u · n dσ der Fluß durch die
Fläche in einer Zeiteinheit.
Beispiel 2.7 Wir betrachten die obere Halbkugel
F :
⎛
⎞
R cos ϕ cos θ
⎜
⎟
x(ϕ, r) = ⎝ R sin ϕ cos θ ⎠ ,
R sin θ
0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ θ ≤ π
2
und den Geschwindigkeitsvektor
u = (yα(r), −xα(r), β(r)) T ∈ IR 3 , r =
�
x 2 + y 2 ,
mit vorgegebenen Funktionen α, β : IR → IR . In (2.2) hatten wir bereits berechnet
xϕ × xθ = R 2 ⎛
⎞
cos ϕ cos θ
⎜
⎟
cos θ ⎝ sin ϕ cos θ ⎠ ,
sin θ
sodaß die Normale nach oben gerichtet ist. Daher wird mit �
F u · dσ der Fluß von unten nach
¯
oben berechnet. Wir schreiben u in Kugelkoordinaten
⎛
⎞
R sin ϕ cos θ α(R cos θ)
⎜
⎟
r = R cos θ, u = ⎝ −R cos ϕ cos θ α(R cos θ) ⎠
β(R cos θ)
und erhalten für den Fluß
�
u · dσ
F ¯
=
⎛
� π/2 � 2π R sin ϕ cos θ α(R cos θ)
⎜
⎝ −R cos ϕ cos θ α(R cos θ)
0 0
β(R cos θ)
=
� π/2 � 2π
0
0
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ · ⎝
cos ϕ cos θ
sin ϕ cos θ
sin θ
R 2 cos θ sin θ β(R cos θ) dϕ dθ = 2πR 2
� π/2
0
⎞
⎟
⎠ R 2 cos θ dϕ dθ
cos θ sin θ β(R cos θ) dθ .
Mit der Substitution r = R cos θ läßt sich dieses Integral noch etwas vereinfachen, denn
−R sin θ dθ = dr, also
�
F
� 0
� R
u · dσ = 2π −rβ(r) dr = 2π rβ(r) dr .
¯ R
0
Wenn wir den Fluß von u durch die ganze Kugeloberfläche F ′
berechnen wollen, so erhalten
wir �
F ′ u · dσ ¯ =
�
obere Hälfte +
�
= 0 ,
untere Hälfte
weil die Normale in der unteren Hälfte entgegengesetzt gerichtet ist, der Integrand aber nur
von r abhängt.
20

3 Der Gaußsche Integralsatz
3.1 Einfach und mehrfach zusammenhängende Gebiete
Def. 3.1 G ⊆ IR n , n = 2, 3, heißt Gebiet, wenn es offen und zusammenhängend ist. Ein Gebiet
heißt einfach zusammenhängend, wenn sich jede geschlossene Kurve in G auch innerhalb
von G zuziehen läßt, andernfalls heißt G mehrfach zusammenhängend. Die Definition bleibt
auch für glatte Flächen des IR 3 gültig.
Ein ebenes Gebiet, das Löcher enthält, ist nicht einfach zusammenhängend, denn eine das
Loch umschließende Kurve läßt sich innerhalb von G nicht zusammenziehen. Dagegen ist
IR 3 \ {0} einfach zusammenhängend.
3.2 Der Divergenzoperator
Ein stetig differenzierbares Vektorfeld u : G → IR 3 wollen wir uns als stationäre Strömung
einer Flüssigkeit oder eines Gases vorstellen, wobei u(x) = (u1(x), u2(x), u3(x)) ∈ IR 3 den
Geschwindigkeitsvektor des Teilchens bezeichnet, das sich am Ort x ∈ G befindet.
Nun betrachten wir einen achsenparallelen Quader Q ⊆ G und wollen untersuchen, wie
die Bilanz der in den Quader in einer Zeiteinheit ein– bzw. ausfließenden Teilchen aussieht.
Dazu legen wir die Normale n auf ∂Q als äußere Normale fest. Nach Abschnitt 2.3 gilt dann
für den Fluß ϕ durch Q in einer Zeiteinheit
�
(3.1)
ϕ = u · n dσ ,
∂Q
wobei das Integral über ∂Q als die Summe der Integrale über die sechs Seitenflächen zu
interpretieren ist. Die Normale ist ja auf den Kanten des Quaders nicht definiert.
Wir wollen (3.1) mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential– und Integralrechnung in
ein Volumenintegral umformen. Dazu ist zu beachten, daß im Integranden von (3.1) bei
gegenüberliegenden Flächen nur eine Komponente von u zum Zuge kommt, weil der Normalenvektor
in den beiden anderen Komponenten verschwindet. Bezeichnen wir die orthogonal
zur x1–Achse gelegenen Seitenflächen mit
wobei Q ′ ein Rechteck des IR 2 ist,
F = {x ∈ IR 3 : x1 = a1 und (x2, x3) ∈ Q ′ } ,
G = {x ∈ IR 3 : x1 = b1 und (x2, x3) ∈ Q ′ } ,
Q ′ = [a2, b2] × [a3, b3] ,
so folgt aus dem Hauptsatz und dem Satz von Fubini
�
� �
�
u · n dσ =
u1 dσ = {u1(b1, x2, x3) − u1(a1, x2, x3)} d(x2, x3)
F +G
=
=
u1 dσ −
G
� � b3 b2
a3
a3
a2
a2
F
Q ′
{u1(b1, x2, x3) − u1(a1, x2, x3)} dx2 dx3
� � � �
b3 b2 b1
∂1u(x1, x2, x3) dx1 dx2 dx3 = ∂1u dV .
Q
a1
21

Da die anderen beiden Komponenten genauso bearbeitet werden können, ergibt sich
�
�
(3.2)
ϕ = u · n dσ = div u dV
mit dem Divergenzoperator
∂Q
div u = ∂1u1 + ∂2u2 + ∂3u3 .
(3.2) ist schon der Gaußsche Integralsatz für quaderförmige Grundgebiete. Wir betrachten
nun Quader Qh mit Kantenlänge h und x ∈ Qh . Da div u stetig ist, folgt
�
1
div u(x) = lim
div u dV .
h→0 µ(Qh) Qh
Zusammen mit (3.2) können wir diese Gleichung so interpretieren, daß div u(x) die Quellenstärke
(oder auch negative Senkenstärke) der Strömung u angibt. Wenn Q ein kleiner
Quader mit x ∈ Q ist, so fließt in einer Zeiteinheit ungefähr div u(x)µ(Q) Masse aus Q aus
oder — wenn div u(x) < 0 — in Q hinein. Als Spezialfall haben wir die inkompressiblen
Fluide (=Flüssigkeiten), die, wenn keine echten Quellen oder Senken vorliegen, die partielle
Differentialgleichung div u = 0 erfüllen. Bei gasförmigen Fluiden kann dagegen Materie durch
Verdünnung in Q austreten.
Rechenregeln für den Divergenzoperator: (i) Die Divergenz ist linear auf den stetig
differenzierbaren Vektorfeldern, denn
div (αu + βv) = αdiv u + βdiv v , α, β ∈ IR .
(ii) Für das Produkt einer skalaren Funktion ϕ und einem Vektorfeld u erhalten wir aus der
Produktregel
div (ϕu) = ∇ϕ · u + ϕdiv u .
(iii) Für ein kugelsymmetrisches Vektorfeld f(r)x mit r = |x| liefert (ii)
denn div x = ∂1x1 + ∂2x2 + ∂3x3 = 3 .
div (f(r)x) = ∇f(r) · x + 3f(r) ,
Beispiele 3.2 (i) Das Coulombfeld ist durch u(x) = |x| −3 x gegeben. Mit
erhalten wir
und
�
3�
∂i|x| = ∂i x
j=1
2 �1/2 j = |x| −1 xi , i = 1, 2, 3 ,
∂iui(x) = ∂i
div u = 3�
Q
�
|x| −3 �
xi = (−3)|x| −4 |x| −1 x 2 i + |x| −3
∂iui(x) = −3|x|
i=1
−3 + 3|x| −3 = 0 .
Damit ist das Coulombfeld in IR 3 \ {0} quellenfrei.
22

�
(ii) Für welche Funktionen α(r), r = x2 1 + x22 , und g(x3) ist das Vektorfeld
u(x) = α(r)
r
⎛
⎜
⎝
x2
−x1
g(x3)
quellenfrei ? Wie in Beispiel (i) erhalten wir ∂ir = r −1 xi , i = 1, 2 , und ∂3r = 0 . Daher
und nach den Rechenregeln (ii)
⎛
∇ α(r)
r = rα′ − α
r3 ⎜
⎝
div u(x) = rα′ − α
r 3 (x1x2 − x2x1) + α
r g′ (x3) = α
r g′ (x3) .
Für α(r) �= 0 verschwindet die rechte Seite genau dann, wenn g(x3) = const.
3.3 Der Gaußsche Integralsatz für räumliche Bereiche
Wir wollen zeigen, daß die Formel (3.2) auch für allgemeine räumliche Gebiete richtig bleibt
und genauso interpretiert werden kann wie im letzten Abschnitt. Dazu muß das Gebiet G
so beschaffen sein, daß man dem Ausdruck �
∂G u · n dσ einen Sinn geben kann; insbesondere
muß der Normalenvektor n fast überall“ auf ∂G existieren. Erinnert sei an den Satz, daß der
”
Rand einer ebenen meßbaren und kompakten Menge meßbar ist und Maß 0 besitzt. Dieser
Satz bleibt natürlich auch für glatte Flächen richtig. Daher kann u · n auf Rändern integriert
werden, die aus glatten Flächen zusammengesetzt sind; nur an den Nahtstellen ist dann n
undefiniert. Weil diese Nahtstellen Nullmengen sind, kann das Oberflächenintegral als Summe
über die glatten Teilflächen interpretiert werden. Von dieser Konvention haben wir im letzten
Abschnitt schon Gebrauch gemacht.
Satz 3.3 (Gaußscher Integralsatz) Sei u : G → IR 3 stetig differenzierbar auf dem beschränkten
Gebiet G mit stückweise glattem Rand. Dann gilt
�
�
�
u · n dσ = u · dσ =
¯
div u dV ,
∂G
∂G
wobei die Normale n nach außen gerichtet ist.
Folg. 3.4 Sei G wie in Satz 3.3 definiert. Für eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : G → IR
gilt �
�
ϕni dσ =
∂G
∂iϕ dV ,
G
i = 1, 2, 3 ,
wobei ni die i– te Komponente des nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektors bezeichnet.
23
x1
x2
0
G
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

Diese Versionen des Gaußschen Integralsatzes sind äquivalent. Die Folgerung erhalten wir,
indem wir den letzten Satz auf das Vektorfeld anwenden, das in der i– ten Komponente
aus ϕ besteht und ansonsten verschwindet. Die umgekehrte Richtung zeigt man durch Anwendung
der Formel in der Folgerung auf die einzelnen Komponenten des Vektorfeldes und
anschließender Addition.
G 1
Γ
G 2
�
G
�
∂G
�
div u dV =
�
u · n dσ =
Beim Beweis dieses Satzes werden wir vom Zerlegungsprinzip
für Oberflächenintegrale zweiter Art Gebrauch
machen, das aber auch für sich recht nützlich ist. Wenn G
in zwei stückweise glatte Teilbereiche G1 und G2 zerlegt
wird, so sind beide Seiten des Gaußschen Integralsatzes
additiv, wenn n die äußere Normale auch der beiden Teilgebiete
bezeichnet:
G1
∂G1
�
div u dV + div u dV ,
G2
�
u · n dσ + u · n dσ ,
denn die Flächenintegrale über Γ heben sich aufgrund der entgegengesetzten Normalenrichtungen
auf Γ auf. Es genügt also, den Satz für ” einfache“ Gebiete zu zeigen.
x 3
x 2
B
ψ 2(x 1,x 2)
ψ 1(x 1,x 2)
x 1
∂G2
Beweis des Integralsatzes: Wir zeigen den skalaren
Fall in der Folgerung. Nach dem Zerlegungsprinzip
unterteilen wir ein kompliziertes Gebiet so
lange bis die nebenstehende Situation erreicht ist.
Über einem ebenen Bereich B betrachten wir die
Säule, die durch die Funktionen x3 = ψ2(x1, x2)
und x3 = ψ1(x1, x2) begrenzt ist. Der Hauptsatz
der Differential– und Integralrechnung liefert
� ψ2(x1,x2)
∂3ϕ(x1, x2, x3) dx3 = ϕ(x1, x2, ψ2(x1, x2)) − ϕ(x1, x2, ψ1(x1, x2)) .
ψ1(x1,x2)
Diese Identität wird bezüglich (x1, x2) über B integriert und auf der linken Seite der Satz
von Fubini angewendet,
�
�
∂3ϕ(x) dV = {ϕ(x1, x2, ψ2(x1, x2)) − ϕ(x1, x2, ψ1(x1, x2))} d(x1, x2) .
G
B
Für eine durch eine Funktion ψ : B → IR parametrisierte Fläche hatten wir in (2.3) hergeleitet
und für die Normale
dσ =
�
1 + ψ 2 x1 + ψ2 x2 d(x1, x2)
n = (1 + ψ 2 x1 + ψ2 x2 )−1/2
24
⎛
⎜
⎝
−ψx
−ψy
1
⎞
⎟
⎠ ,

also
�
{ϕ(x1, x2, ψ2(x1, x2)) − ϕ(x1, x2, ψ1(x1, x2))} d(x1, x2) =
B
�
F2
�
ϕ(x)n3 dσ + ϕ(x)n3 dσ ,
F1
wobei n jeweils aus G zeigt. Da auf dem restlichen Rand n3 = 0 gilt, ist der Satz bewiesen.
Die geometrische Deutung des Integralsatzes als Verknüpfung der Bilanz von in V ein– und
ausströmenden Teilchen mit der Quellenstärke div u bleibt die gleiche wie im letzten Abschnitt.
Trotzdem können wir aus diesem allgemeineren Satz eine Folgerung über den Divergenzoperator
ziehen. Die meisten Ingredienzen der Gaußschen Formel sind geometrische
Objekte ∂G, n, dσ, dV, die unabhängig von ihrer Darstellung sind. Damit muß auch div u,
bei dessen Bestimmung die Koordinatenrichtungen scheinbar ausgezeichnet sind, vom Koordinatensystem
unabhängig sein und in jedem orthogonalen Koordinatensystem den gleichen
Wert, der also der Strömung u(x) eigen ist, annehmen.
Beispiel 3.5 G sei die Kugelschale, die durch die Kugeln mit Radien R1 < R2 begrenzt
wird. Das Vektorfeld sei u(x) = (0, 0, x3) T ∈ IR 3 . Dann gilt div u = 1 und
�
G
div u dV = µ(G) = 4
3 π(R3 2 − R 3 1) .
In Kugelkoordinaten sind die Randstücke durch
⎛
⎞
cos ϕ cos θ
⎜
⎟
x(ϕ, θ) = Ri ⎝ sin ϕ cos θ ⎠ , i = 1, 2 ,
sin θ
gegeben, für die wir in (2.2)
(xϕ × xθ)3 = R 2 i cos θ sin θ
bestimmt hatten. Mit u3 = R sin θ und in Anbetracht der Tatsache, daß die äußere Normale
für die Innenkugel nach innen gerichtet ist, erhalten wir
�
∂G
=
u · n dσ =
� π/2 � 2π
R2 sin θR
−π/2 0
2 � π/2 � 2π
2 cos θ sin θ dϕ dθ − R1 sin θR
−π/2 0
2 1 cos θ sin θ dϕ dθ
� π/2 � 2π
sin
−π/2 0
2 θ cos θ(R 3 2 − R 3 1) dϕ dθ = 2π(R 3 2 − R 3 1) 1
3 sin3 �
�π/2
θ�
�
−π/2
3.4 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene
(3.3)
ds =
= 4
3 π(R3 2 − R 3 1) .
Ein ebenes Gebiet G ∈ IR 2 sei wie in der nebenstehenden
Zeichnung berandet: Der äußere Rand
werde durch eine im Gegenuhrzeigersinn verlaufende
Kurve beschrieben, die Löcher seien im Uhrzeigersinn
orientiert. Für eine solche Randkurve
(x(t), y(t)) ist das Linienelement gegeben durch
�
|x ′ (t)| 2 + |y ′ (t)| 2 dt
25

und die nach außen gerichtete Normale
(3.4)
n =
�
|x ′ (t)| 2 + |y ′ (t)| 2� −1/2
� y ′ (t)
−x ′ (t)
wobei wir hier wie im folgenden voraussetzen, daß die Parametrisierung regulär ist, also
(x ′ , y ′ ) �= 0 erfüllt ist.
Für ein zweidimensionales Vektorfeld u = (u1, u2) gilt für das Kurvenintegral
�
u · n ds
C
wieder das Zerlegungsprinzip, denn die in (3.4) definierte Normale liegt immer rechts, wenn
wir längs der Orientierung der Kurve gehen. Damit verschwindet das Teilintegral über Kurvenstücke,
die in beiden Richtungen durchlaufen werden. Also hat n ds die gleichen Eigenschaften
wie dσ ¯ = n dσ in drei Raumdimensionen. Freunde einer ausufernden Notation verwenden
manchmal auch im IR 2 die Schreibweise dσ ¯ = n ds , was wir aber nicht tun wollen,
um Verwechselungen mit dem vektoriellen Kurvenelement ds ¯ , das später eingeführt wird, zu
vermeiden.
Mit dem zweidimensionalen Divergenzoperator
gilt der
div u = ∂xu1 + ∂yu2 , u(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) T ,
Satz 3.6 (Gaußscher Integralsatz in der Ebene) Sei G ⊆ IR 2 durch stückweise glatte
Kurven berandet. Dann gilt für auf G stetig differenzierbare Vektorfelder u
�
�
u · n ds = div u dF .
∂G
Der Beweis kann genauso geführt werden wie im IR 3 . Auch die skalare Version dieses Satzes
�
�
ϕni ds =
∂G
∂iϕ dF ,
G
i = 1, 2 ,
bleibt richtig.
In parametrischer Form läßt sich der Integralsatz noch vereinfachen. Wenn G einfach
zusammenhängend ist, also ∂G im Gegenuhrzeigersinn durch eine Kurve C : (x, y) T : [a, b] →
IR 2 parametrisiert wird, so folgt aus (3.3) und (3.4)
�
� b �
u · n ds = u1(x(t), y(t))y ′ (t) − u2(x(t), y(t))x ′ (t) � dt .
∂G
a
Man schreibt den Gaußschen Integralsatz daher auch in der Form
�
�
{u1 dy − u2 dx} = div u d(x, y)
C
G
mit den symbolischen Größen
dx = x ′ (t) dt , dy = y ′ (t) dt .
Die Übertragung auf mehrfach zusammenhängende Gebiete dürfte klar sein: Aus dem Integral
über [a, b] wird eine Summe von Integralen über die einzelnen Randkurven, wobei auf die
richtige Orientierung zu achten ist.
26
G
�
.

Beispiel 3.7 Der Gaußsche Integralsatz läßt sich auch zur Berechnung des Flächeninhalts
von G ⊆ IR 2 heranziehen, wenn G durch eine Kurve (x(t), y(t)) T : [a, b] → IR 2 berandet ist.
Wegen ∂xx = 1 , ∂yy = 1 , erhalten wir z. B. die Formel
µ(G) = 1
� b
{x(t)y
2 a
′ (t) − y(t)x ′ (t)} dt
Für eine Ellipse E gilt x(t) = c cos t , y(t) = d sin t , also
µ(E) = 1
� 2π
{cd cos
2 0
2 t + cd sin 2 t} dt = πcd .
3.5 Folgerungen aus dem Integralsatz
Im folgenden ist G ⊆ IR n , n = 2, 3 , stets ein Gebiet mit stückweise glattem Rand.
Satz 3.8 (Partielle Integration) Seien f, g : G → IR stetig differenzierbar auf G . Dann
gilt �
�
�
∂ifg dV = −
G
f∂ig dV +
G
fgni dσ
∂G
, i = 1, . . . , n .
Beweis : Setze im Gaußschen Integralsatz, Folg. 3.4, ϕ = fg und wende die Produktformel
an.
Für die Ableitung einer Funktion in Richtung der äußeren Normalen schreibt man auch
∂nϕ = ∇ϕ · n ,
was der üblichen Definition der Richtungsableitung entspricht. Weiter ist der Laplace – Operator
∆ definiert durch
n�
∆ϕ = ∂ 2 iiϕ = div ∇ϕ , n = 2, 3 .
Damit haben wir:
Satz 3.9 (Greensche Formeln) Für ϕ, ψ ∈ C2 (G) gilt
�
�
{ϕ∆ψ + ∇ϕ · ∇ψ} dV = ϕ∂nψ dσ ,
G
�
G
i=1
{ϕ∆ψ − ψ∆ϕ} dV =
∂G
�
∂G
{ϕ∂nψ − ψ∂nϕ} dσ .
Beweis: Mit Hilfe der partiellen Integration erhalten wir
�
�
�
�
ϕ∆ψ dV = ϕdiv ∇ψ dV = − ∇ϕ · ∇ψ dV +
G
G
was die erste Greensche Formel ist, und weiter mit partieller Integration
�
�
�
= ∆ϕψ dV − ∇ϕ · nψ dσ + ϕ∇ψ · n dσ .
G
∂G
27
G
∂G
∂G
ϕ∇ψ · n dσ ,

Damit sind beide Formeln bewiesen.
Als Anwendung der Greenschen Formeln zeigen wir, daß das 1. Randwertproblem der Potentialtheorie
∆ϕ = f in G , ϕ = g auf ∂G ,
in der Klasse C 2 (G) höchstens eine Lösung besitzt. Hier sind f, g vorgegebene Funktionen,
ϕ ist gesucht. Angenommen, wir hätten zwei Lösungen ϕ1, ϕ2 ∈ C 2 (G) . Dann erfüllt die
Differenz ψ = ϕ1 − ϕ2 das Randwertproblem (∆ ist linear !)
∆ψ = 0 in G , ψ = 0 auf ∂G .
Die erste Greensche Formel lautet für ϕ = ψ,
�
{ψ∆ψ + |∇ψ| 2 } dV =
was in unserem Fall �
G
G
�
∂G
|∇ψ| 2 dV = 0
ψ∂nψ dσ ,
ergibt. Daraus schließen wir ψ = const. und wegen der Randbedingung ψ = 0, also ϕ1 = ϕ2 .
3.6 Weitere Integralsätze vom Gauß – Typ
Formal verknüpft der Gaußsche Integralsatz das Volumenelement dV mit dem vektoriellen
Oberflächenelement dσ = n dσ, mit dem wir (formal) rechnen können wie mit einem Vektor
¯
des IR n . Aus der Beziehung �
�
∂iϕ dV = niϕ dσ ,
G
∂G
wird ersichtlich, daß – auch wieder formal – der Operator ∂i ersetzt wird durch ni . Daher
erhalten wir für skalares ϕ und vektorielles u die Integralsätze
�
�
∇ϕ dV = ϕ dσ ,
¯
�
G
G
�
∇ × u dV =
∂G
∂G
�
dσ × u = −
¯
∂G
u × dσ ¯ ,
Die Bedeutung von ∇ × u wird im nächsten Kapitel genauer erläutert. Diese Integralsätze
können in einer Formel zusammengefaßt werden,
�
�
dV ∇ ◦ A = dσ ◦ A ,
¯
G
wobei A ein skalares oder vektorielles Feld bezeichnet und ◦ eine der Operationen ” · ”, ” ”
oder ” × ” ist.
28
∂G

4 Der Integralsatz von Stokes
4.1 Der Rotationsoperator
Def. 4.1 Sei u = (u1, u2, u3) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem Gebiet G ⊆
IR 3 . Dann heißt
⎛
⎞
die Rotation von u.
Man kann die Rotation formal als
deuten; denn setzen wir
rot u =
⎜
⎝
∂2u3 − ∂3u2
∂3u1 − ∂1u3
∂1u2 − ∂2u1
rot u = ∇ × u
∇ =
als formalen 3–Vektor an, so gilt tatsächlich
⎛
⎜
∇ × u = det ⎝
⎛
⎜
⎝
∂1
∂2
∂3
⎞
⎟
⎠
e1 e2 e3
∂1 ∂2 ∂3
u1 u2 u3
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ = rot u .
Mit dieser Darstellung oder direkt aus der Definition lassen sich die folgenden Rechenregeln
beweisen.
Rechenregeln: Für skalares ϕ und Vektorfelder u, v gilt:
(i) rot (αu + βv) = αrot u + β rot v α, β ∈ IR (Linearität) ,
(ii) rot (ϕu) = ∇ϕ × u + ϕ rot u ,
(iii) div rot u = 0 ,
(iv) rot ∇u = 0 .
Physikalisch läßt sich die Rotation an Hand eines stationären Geschwindigkeitsvektors u(x)
einer Strömung deuten. Dann gilt
rot u = 2ω,
wobei ω die Winkelgeschwindigkeit des Partikels am Ort x ist.
∆y
y
α∆y∆t
α∆y∆t
x
29
Zur Erläuterung betrachten wir die Scherströmung
u(x) = (αy, 0, 0) T und legen eine
Rolle in die Strömung. Nach einer Zeit
∆t möchte sich das Röllchen oben und unten
um den Winkel −α∆t drehen, die Achse
in x-Richtung möchte in dieser Position
verharren, so daß für die Resultierende gilt
ω = 1 2
(−α + 0) = −α
2
. Wegen rot u = −α
ist obige Beziehung für diesen Spezialfall
bewiesen.

In manchen Büchern wird rot u auch als Wirbelvektor bezeichnet, was im Hinblick auf die
Scherströmung, bei der keine Verwirbelung der Strömung vorhanden ist, etwas verwirrend
erscheint.
4.2 Das vektorielle Kurvenintegral
In der Ingenieurmathematik III hatten wir Kurven als stetige, stückweise differenzierbare
Funktionen x : [a, b] → IR n , n = 2, 3 , eingeführt, die einen Anfangspunkt x(a), einen Endpunkt
x(b) und damit eine Orientierung besitzen. Mit
hatten wir das Kurvenintegral durch
�
C
ds = |x ′ (t)| dt
� b
f(x)ds := f(x(t))|x ′ (t)| dt
a
definiert, wobei x(t) die Kurve C parametrisiert. Nach Kenntnis des Oberflächenintegrals
können wir die rechte Seite auch so interpretieren, daß die Funktionswerte von f zusammen
mit der Längenverzerrung, die x(t) auf das Intervall [a, b] ausübt, aufsummiert werden und
dann der Grenzwert gebildet wird. Die anschauliche Bedeutung des Kurvenintegrals ist für
n = 2 und f ≥ 0 genau die gleiche wie beim gewöhnlichen Integral, nämlich der Flächeninhalt,
den f oberhalb der Kurve mit dieser einschließt.
Es sei an die Bedingung der regulären Parametrisierung x ′ (t) �= 0 als Grundvoraussetzung
erinnert, die garantiert, daß wir mit
(4.1)
t = x′
|x ′ ∈ IRn
|
die Einheitstangente der Kurve bestimmen können.
Def. 4.2 Sei C eine durch x : [a, b] → IR n regulär parametrisierte Kurve und u(x) ein stetiges
Vektorfeld des IR n . Dann heißt
�
� b
u · ds := u(x(t)) · x
¯ ′ (t) dt
C
das vektorielle Kurvenintegral oder auch das Kurvenintegral zweiter Art, wobei
das vektorielle Kurvenelement genannt wird.
a
ds ¯ = x ′ (t) dt
Mit (4.1) können wir das vektorielle Kurvenelement auch in der Form
ds ¯ = t ds
schreiben. Wir hatten im Abschnitt 3.4 für ebene Gebiete ebenfalls ein vektorielles Kurvenelement
verwendet, nämlich n ds, für das wir keine eigene Notation verwenden wollen.
30

γ
C 2
C 1
Wenn wir die zur Kurve C entgegengesetzt orientierte
Kurve mit −C bezeichnen, so gilt nach
Definition das Integrals � �
C = − −C . Weiter ist
das Integral über Teilstücke der Kurve additiv,
� � �
+ = . Aus diesen Eigenschaften folgt
C1 C2 C1+C2
das Zerlegungsprinzip für Kurvenintegrale zweiter
Art. Z.B. kann man im nebenstehenden Bild statt
des Integrals � �
+ auch das Integral über die
C1 C2
geschlossene Kurve, die über die Hilfslinie führt,
berechnen.
Beispiel 4.3 Das Vektorfeld u(x) = (x1x2, x2x3, x2) T ∈ IR 3 soll längs der Schraubenlinie
x(t) = (cos t, sin t, t) T , t ∈ [0, 2π] , integriert werden. Mit
⎛ ⎞
− sin t
⎜ ⎟
ds = ⎝ cos t ⎠ dt
¯
1
erhalten wir
�
C
u · ds ¯ =
=
� 2π
0
⎛
⎜
⎝
cos t sin t
t sin t
sin t
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ · ⎝
�
− cos t + 1
�
sin 2t
2 4
− sin t
cos t
1
⎞
⎟
⎠ dt =
� 2π
�
t cos 2t
− −
2
1
3 sin3 ��
��� 2π
t = −
0
π
2 .
0
�
sin t + t sin t cos t − cos t sin 2 �
t dt
Physikalisch läßt sich das vektorielle Kurvenintegral an Hand der Bewegung eines Massenpunktes
in einem Kraftfeld K(x) ∈ IR 3 deuten. Wenn das Kraftfeld konstant ist, so gilt nach
der Schulphysik ”Arbeit = Kraft × Weg” oder
Arbeit = K · (xb − xa) ,
wenn das Teilchen gradlinig von xa nach xb bewegt wird. Für kleinere Teilstrecken ist diese
Formel auch bei variablem K(x) ungefähr richtig, sodaß wir für die geleistete Arbeit über
einer Kurve C erhalten
�
Arbeit = K · ds .
¯
4.3 Der Satz von Stokes
Sei F ⊆ IR 3 eine Fläche mit stückweise glattem Rand ∂F und stetiger Normalenfunktion
n(x) . Wir sagen, die Randkurve(n), die ∂F parametrisieren, sind positiv orientiert, wenn
beim Durchlaufen der Kurve mit dem Kopf in Richtung der Normalen das Gebiet links liegt.
Diese Vereinbarung stimmt mit der bisherigen Orientierung der Teilflächen des IR 2 überein,
wenn man davon ausgeht, daß der Normalenvektor in Richtung der z-Achse zeigt. Erinnert
sei an das vektorielle Flächen– bzw. Kurvenelement in parametrischer Form,
dσ ¯ = n dσ = xu × xv d(u, v) , ds ¯ = t ds = x ′ (t) dt .
31
C

Satz 4.4 (Integralsatz von Stokes) Sei F ⊆ IR 3 eine Fläche mit positiv orientierter Randkurve
C und w : F → IR 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt
�
�
rot w · dσ = w · ds
¯ ¯
F
Beweis: Sei F einfach zusammenhängend mit x(u, v) über B ⊆ IR 2 parametrisiert. Dann gilt
�
�
rot w · dσ = (∇x × w)(xu × xv) d(u, v)
F ¯ B
Nun gilt für 3–Vektoren
für den Integranden daher
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) ,
(∇x × w)(xu × xv) = xu · (∇xw) T xv − xv · (∇xw) T xu .
Wir können ∇x mit der Hilfe der Kettenregel beseitigen,
xu(∇xw) T xv = ∇xw xu · xv = ∂uw · xv ,
xv(∇xw) T xu = ∇xw xv · xu = ∂vw · xu ,
und erhalten mit dem Gaußschen Integralsatz
�
�
�
rot w · dσ =
¯
(∂uw · xv − ∂vw · xu) d(u, v) =
F
B
�
=
∂B
C
B
{w · xu du + w · xv dv} .
{∂u(w · xv) − ∂v(w · xu)} d(u, v) =
Als Parametrisierung der Randkurve von ∂F können wir x(u(t), v(t)) nehmen, wobei (u(t), v(t))
eine Parametrisierung von ∂B ist. Dann gilt
ds ¯ = x ′ (t) dt = (xuu ′ (t) + xvv ′ (t)) dt ,
d.h. auf der rechten Seite steht das gewünschte Kurvenintegral über ∂F . Für mehrfach zusammenhängende
Flächen läßt sich wieder das Zerlegungsprinzip verwenden.
Für den Spezialfall ∂F = ø, also eine geschlossene Fläche, liefert der Satz
�
rot w · dσ = 0 ,
¯
was man auch mit dem Gaußschen Integralsatz hätte beweisen können,
�
�
rot w · dσ = div rot w dV = 0 ,
¯
wobei V ⊆ IR 3 mit ∂V = F .
F
F
V
Die obige physikalische Deutung der Rotation als Winkelgeschwindigkeit bleibt auch für
zweidimensionale Strömungen u(x) ∈ IR 2 richtig, wenn wir die Rotation als eine skalare Größe
erklären,
rot u = ∂xu2 − ∂yu1 .
32

Für G ⊆ IR 2 lautet der Integralsatz von Stokes
�
�
�
u · t ds = u · ds =
¯
∂G
∂G
G
rot u dV ,
was auch direkt aus dem Gaußschen Integralsatz bewiesen werden kann. Man bezeichnet
�
∂G u · t ds auch als Zirkulation der Flüssigkeit längs der Randkurve, sodaß uns der Satz von
Stokes zeigt, daß der Ausdruck rot u als die spezifische Zirkulation oder die Zirkulationsdichte
an einer bestimmten Stelle zu betrachten ist. Statt des Wortes Zirkulation pflegt man auch
das Wort Wirbelstärke (längs einer Kurve) zu gebrauchen. Der Satz von Stokes besagt dann,
daß die Wirbelstärke längs der Kurve C gleich dem Integral der Wirbeldichte über dem
eingeschlossenen Bereich ist.
Auch hier sind wieder solche Strömungen von besonderem Interesse, bei denen längs jeder
geschlossenen Kurve die Zirkulation Null ist, und somit wegen des Stokeschen Integralsatzes
auch die Wirbeldichte überall verschwindet. Eine solche Strömung heißt wirbelfrei. Sie ist
durch das Bestehen der Gleichung
rot u = 0
charakterisiert.
4.4 Weitere Integralsätze vom Stokes – Typ
Formal wird im Integralsatz von Stokes der Ausdruck dσ × ∇ ersetzt durch ds, denn
¯ ¯
�
�
�
�
rot w · dσ =
¯
(∇ × w) · n dσ = (n × ∇) · w dσ =: (dσ × ∇) · w .
¯
F
F
Setzen wir speziell wj = ϕ, wi = 0 für i �= j, so erhalten wir für skalares ϕ
�
F
F
�
(dσ × ∇)ϕ =
¯
∂F
ds ¯ ϕ ,
und die Ersetzung von w durch w × a , a ∈ IR 3 , liefert (13 = Einheitsmatrix)
�
F
�
rot (w × a) · dσ =
¯
sowie �
F
� �
((a · ∇)w − div w) dσ = a · (∇w)
¯ F
T �
− div w 13 dσ =
¯
∂F
�
= a · (dσ × ∇) × w
F ¯
�
(w × a) · ds = −a w × ds .
¯ ∂F ¯
Da diese Beziehung für alle a ∈ IR 3 richtig ist, erhalten wir
�
�
(dσ × ∇) × w == − w × ds .
¯ ¯
F
33
∂F
F

Diese Integralsätze lassen sich zusammenfassen in
�
�
(dσ × ∇) ◦ A = ds ◦ A ,
¯ ¯
F
wobei A ein skalares oder vektorielles Feld bezeichnet und ◦ eine der Verknüpfungen ” · ”,
” ” oder ” × ” ist.
5 Stammfunktionen und Wegunabhängigkeit von Kurven– und
Flächenintegralen
5.1 Gradientenfelder
Gegeben seien ein Gebiet G = IR n , n = 2, 3 , und ein stetiges Vektorfeld u : G → IR n . Wann
existiert eine skalare Funktion ϕ ∈ C 1 (G) mit
(5.1)
∂F
u(x) = ∇ϕ(x)
in G ? Für n = 1 läuft diese Frage auf die Bildung der Stammfunktion ϕ = � u dx hinaus,
was ja klar ist und daher hier ausgeschlossen wird. Im IR n muß es nicht zu jedem Feld eine
Stammfunktion geben.
Def. 5.1 u heißt konservatives Vektorfeld, wenn (5.1) für ein ϕ erfüllt ist. ϕ wird in diesem
Fall auch Potential genannt.
Beispiele 5.2 (i) Wenn ϕ = ϕ(r), r = |x| , rotationssymmetrisch ist, so ergibt sich wegen
∂i|x| = |x| −1 xi , i = 1, . . . , n , ∇ϕ(r) = 1
r ∂rϕ(r) x ,
ein kugelsymmetrisches Feld. Vektorfelder der Form u(x) = h(r)x sind also konservativ und
besitzen das Potential ϕ = � r h(r) dr .
(ii) Für ebene Bereiche (n = 2) hat das Vektorfeld u(x, y) = (y, −x) T kein Potential, denn
die Beziehungen ∂xϕ = y , ∂yϕ = −x führen auf
und damit zu einem Widerspruch.
ϕ = yx + c(y) , ϕ = −xy + c(x)
Wenn es ein Potential ϕ zu einem Vektorfeld u(x) gibt, so ist dieses bis auf eine Konstante
c eindeutig bestimmt, denn aus ∇ϕ1 = u, ∇ϕ2 = u folgt ∇(ϕ1 − ϕ2) = 0 , was auf der
zusammenhängenden Menge G zu ϕ1 = ϕ2 + c führt.
Für ein stetig differenzierbares ebenes Vektorfeld u(x, y) können wir die Beziehungen
u1(x, y) = ∂xϕ(x, y), u2(x, y) = ∂yϕ(x, y)
differenzieren und erhalten aus dem Satz von Schwarz
rot u = ∂xu2 − ∂yu1 = 0 .
Im dreidimensionalen Fall läßt sich auf jedes Paar der drei Beziehungen u = ∇ϕ das gleiche
Argument anwenden. Also gilt:
34

Satz 5.3 Für die Existenz eines Potentials für ein stetig differenzierbares Vektorfeld u(x) ∈
IR n , n = 2, 3 , ist die Bedingung
rot u = 0
notwendig.
Wir wollen die Untersuchung, wann die Rotationsfreiheit eines Feldes auch hinreichend für
die Existenz eines Potentials ist, verknüpfen mit einem anderen Problem.
Def. 5.4 Sei u : G → IR n , n = 2, 3 , ein auf einem Gebiet G ⊆ IR n definiertes stetiges
Vektorfeld. Das orientierte Kurvenintegral �
C u · ds heißt wegunabhängig, wenn sein Wert nur
vom Anfangs– und Endpunkt der Kurve C, aber nicht vom sonstigen Verlauf von C ⊆ G
abhängt.
C 1
C 2
Offenbar ist die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals
eine Eigenschaft von u, hängt aber auch – wie wir später
sehen werden – von der Wahl des Definitionsbereichs G
ab.
Aus der nebenstehenden Zeichnung ergibt sich ein äquivalentes
Kriterium für die Wegunabhängigkeit. Denn wenn
� �
�
= , so folgt = 0 , also:
C1
C2
C1−C2
Die Wegunabhängigkeit ist äquivalent dazu, daß das Kurvenintegral über geschlossene Kurven
verschwindet.
Satz 5.5 Sei G ⊆ IR n , n = 2, 3 , ein einfach zusammenhängendes Gebiet und u(x) ∈ IR n ein
stetig differenzierbares Vektorfeld in G . Dann sind äquivalent:
(i) rot u = 0
(ii) Es existiert ein Potential ϕ ∈ C2 (G) zu u, das sich berechnen läßt mit
�
(5.2)
ϕ(x) = u · ds ,
¯
wobei C eine beliebige Kurve ist mit Anfangspunkt x0 ∈ G und Endpunkt x ∈ G . ϕ hat
dann die zusätzliche Eigenschaft ϕ(x0) = 0 . Für dieses ϕ gilt
�
(5.3)
u · ds = ϕ(x(b)) − ϕ(x(a))
¯
C
für alle Kurven C ⊆ G, wobei x : [a, b] → IR n die Parametrisierung der Kurve bezeichnet.
Insbesondere ist das Kurvenintegral wegunabhängig und sein Wert läßt sich durch Auswerten
von ϕ in den Endpunkten der Kurve bestimmen.
Beweis: Wir zeigen nur den Fall n = 3 . Der ebene Fall kann auf diesen zurückgeführt werden,
wenn man für u(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) setzt
Dann gilt rot u = (rot v)3 .
v3(x, y, z) = 0 , vi(x, y, z) = ui(x, y) , i = 1, 2 .
Jede geschlossene Kurve kann mit Hilfe des Zerlegungsprinzips so in einfachere geschlossene
Kurven C unterteilt werden, sodaß für die einfacheren Kurven folgendes gilt. Zu C ⊆ G
C
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gibt es eine einfach zusammenhängende Fläche F ⊆ G mit ∂F = C . Der Integralsatz von
Stokes lautet dann �
�
(5.4)
rot u · dσ =
¯
u · ds .
¯
F
Daher verschwindet das Kurvenintegral für konservative Felder über geschlossene Kurven.
Wenn umgekehrt eine Komponente von rot u, sagen wir die erste, in x0 ∈ G nicht verschwindet,
so gilt auch (rot u)1(x) �= 0 in einer Umgebung von x0 . Wir wählen für F ein kleines
Flächenstück in dieser Umgebung, das parallel zur x2, x3– Ebene liegt. Dann gilt für die
Normale n = e1 und nach (5.4) verschwindet das Kurvenintegral über ∂F nicht. Wir haben
gezeigt:
rot u = 0 ⇔ Das Kurvenintegral ist wegunabhängig .
x 0
C 1
y y+he 1
� b+h
ϕ(y + he1) − ϕ(y) =
b
C
In diesem Fall ist (5.2) jedenfalls eine sinnvolle Definition
und stellt eine eindeutig bestimmte Funktion
ϕ(x) dar. Zu einem Punkt y ∈ G können wir eine
beliebige Kurve C1 wählen, die x0 und y verbindet
und durch x : [a, b] → IR 3 parametrisiert wird.
An diese heften wir die Kurve x : [b, b + h] → IR 3 ,
x(t) = y +(t−b)e1 , sodaß gilt x(b) = y , x(b+h) =
hy + he1 . Dann
u(x(t)) · x ′ � b+h
(t) dt = u1(x(t)) dt = hu1(ξ) ,
wobei nach dem Mittelwertsatz ξ ein Punkt auf der Strecke zwischen y und y+he1 ist. Division
durch h und Grenzübergang h → 0 liefert ∂1ϕ(y) = u1(y) . Analog erhält man ∇ϕ = u .
�
C
Die Formel (5.3) beweist man mit Hilfe der Kettenregel:
� b
u·ds = u(x(t))·x
¯ ′ � b
(t) dt = ∇ϕ(x(t))·x ′ � b d
(t) dt = ϕ(x(t)) dt = ϕ(x(b))−ϕ(x(a)) .
dt
a
a
(x,y)
Für die praktische Berechnung des Potentials wählt
man am besten einfache Kurven, deren Teilstücke
(x0,y0) (x,y0) in Richtung der Koordinatenachsen verlaufen und
direkt über der jeweiligen Koordinatenachse parametrisiert
werden. In drei Dimensionen liefert die
Vorgehensweise wie in der Abbildung
� x
� y
� z
ϕ(x, y, z) = u1(ξ, y0, z0) dξ + u2(x, ξ, z0) dξ + u3(x, y, ξ) dξ .
x0
y0
z0
In diesem Fall ist ϕ(x0, y0, z0) = 0 .
Beispiele 5.6 (i) Das orientierte Kurvenintegral soll für (n = 2)
C :
� � �
x(t) sin
=
y(t)
100 �
(t)
,
cos(t)
�
t ∈ 0, π
�
2
für das Vektorfeld u1(x, y) = 2x − y 2 , u2(x, y) = −2xy bestimmt werden. Die direkte Berechnung
ist hier sehr aufwendig. Daher untersuchen wir die Rotation
rot u = ∂xu2 − ∂yu1 = −2y + 2y = 0
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b
a

und können nun eine Stammfunktion bestimmen mit
� x � y
ϕ(x, y) = (2ξ) dξ + (−2xξ) dξ = x 2 − xy 2 .
C
0
Für das Kurvenintegral folgt dann
�
�
u · ds = ϕ sin
¯ 100
� � � ��
π π �
, cos − ϕ sin
2 2
100 �
(0), cos(0) = 1 − 0 = 1 .
(ii) Wir betrachten das ebene Vektorfeld
0
�
u1(x, y) = − x 2 + y 2� −1
�
y , u2(x, y) = x 2 + y 2� −1
x
im Definitionsbereich G = IR 2 \ {0} . Wegen
�
−rot u = − x 2 + y 2� −1 �
+ 2 x 2 + y 2� −2
y 2 �
− x 2 + y 2� −1 �
+ 2 x 2 + y 2� −2
x 2 = 0
ist dieses zwar rotationsfrei, aber für das Kurvenintegral über dem Einheitskreis erhalten wir
� � � � � �
2π − sin(ϕ) − sin(ϕ)
u · ds =
·
dϕ = 2π .
¯ cos(ϕ) cos(ϕ)
C
0
Das letzte Beispiel zeigt, daß bei mehrfach zusammenhängenden Gebieten das Kurvenintegral
für rotationsfreie Vektorfelder nicht wegunabhängig zu sein braucht. Umschließt jedoch eine
geschlossene Kurve einen Teilbereich von G, so läßt sich G soweit verkleinern, daß die Kurve
γ
C 2
C 1
C 1+γ+C 2 -γ
umschliesst das
Loch
nicht !
5.2 Stammfunktionen für die Rotation
über einem einfach zusammenhängenden Bereich
verläuft und das Kurvenintegral verschwinden muß.
Zusammen mit dem Zerlegungsprinzip folgern wir
aus dieser Betrachtung, daß – bei rotationsfreien
Feldern – allein die Anzahl der Umläufe um ein
Loch den Wert des Kurvenintegrals bestimmt. In
der nebenstehenden Abbildung erhalten wir z. B.
� �
= . Dieser Gedanke wird in der komplexen
C1 C2
Analysis weiterverfolgt.
Im Gebiet G ⊆ IR 3 sei ein Vektorfeld u : G → IR 3 gegeben. Gesucht ist ein Vektorfeld
A : G → IR 3 mit
rot A = u .
A heißt dann Vektorpotential von u . Die Frage der Eindeutigkeit des Vektorpotentials klärt
man ähnlich wie im letzten Abschnitt. Wenn rot A1 = rot A2 = u, so folgt rot (A1 − A2) = 0
und A1 − A2 ist konservativ. Auf einfach zusammenhängendem Gebiet liefert Satz 5.5
A1 = A2 + ∇ϕ
für ein skalares Feld ϕ : G → IR . Diese Gleichung zeigt, daß wir im Gegensatz zum Potential
über eine große Freiheit bei der Wahl von A, falls es existiert, verfügen. Eine Normierung von
ϕ erreicht man z. B. mit der Forderung div A1 = 0, das heißt ∆ϕ = −div A2 .
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Satz 5.7 Sei G ⊆ IR 3 ein Quader. Dann existiert zu einem Vektorfeld u ∈ C1 (G) genau dann
ein Vektorpotential A, wenn div u = 0 in G . In diesem Fall läßt sich A = (A1, A2, A3) T z. B.
durch die Formeln
A3 = 0 ,
� z
� y
A1(x, y, z) = u2(x, y, ξ) dξ − u3(x, ξ, z0) dξ ,
z0
y0
� z
A2(x, y, z) = − u1(x, y, ξ) dξ
berechnen, wobei (x0, y0, z0) T ein beliebiger Punkt von G ist.
Beweis: Wegen div rot A = 0 ist die Bedingung div u = 0 notwendig für die Existenz des
Vektorpotentials. Mit den in der Behauptung angegebenen Formeln läßt sich A für jeden
Punkt in G bestimmen. Es gilt
mit
rot A =
⎛
⎜
⎝
z0
−∂zA2
∂zA1
∂xA2 − ∂yA1
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
� z
v =
=
− {∂xu1(x, y, ξ) + ∂yu2(x, y, ξ)}dξ + u3(x, y, z0) =
z0
� z
∂zu3(x, y, ξ)dξ + u3(x, y, z0) = u3(x, y, z) .
z0
Der Satz gilt auch für allgemeinere Gebiete als Quader, wenn auch Schwierigkeiten bei der
bestimmung von A auftreten können. Wenn u ein Vektorpotential A besitzt, gibt es wieder
einen Zusammenhang mit dem Integralsatz von Stokes; nämlich für zwei Flächen mit gleicher
Orientierung der Normalen und gleicher Randkurve C gilt
�
�
� �
u · dσ = rot A · dσ = A · ds = u · dσ .
¯ ¯ ¯ ¯
F1
F1
Das Flächenintegral hängt also nur von der Randkurve ab; insbesondere verschwindet das
Integral über geschlossene Flächen, wenn es auf der Fläche ein Vektorpotential gibt.
Beispiel 5.8 Für u(x) = |x| −3 x in IR 3 \ {0} gilt div u = 0, aber für die Einheitssphäre F
�
F
�
u · n dσ =
F
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ · ⎝
x
y
z
C
⎞
⎟
⎠ dσ =
�
u1
u2
v
F
⎞
⎟
⎠
F2
dσ = 4π .
Daher existiert aufgrund der Singularität im Ursprung kein Vektorpotential, obwohl das Feld
divergenzfrei ist.
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