Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven - Elektro Ehinger

2.1.4 Die Grenzrate der Substitution
Schon im Zusammenhang mit dem 1. Gossenschen
Gesetz sind wir auf den Begriff des Grenznutzens
eingegangen, der die Veränderung des Nutzens durch den
Konsum einer zusätzlichen (infinitesimal kleinen) Einheit
eines Gutes beschreibt. Wir können ihn nun verwenden,
um im Rahmen der ordinalen Nutzentheorie die
sogenannte Grenzrate der Substitution (MRS – marginal
rate of substitution) herzuleiten.
Die Grenzrate der Substitution ist die Steigung der
Indifferenzkurve in einem Punkt. Sie gibt die Rate an, zu
der ein Konsument bereit ist, daß eine Gut durch ein
anderes zu substituieren.
Angenommen, der Konsumenten verliere ein wenig von
Gut 1, ∆x 1 . Damit er auf der selben Indifferenzkurve
bleiben, sein Nutzenniveau konstant halten kann, muß er
eine Menge von Gut 2, ∆x 2 erhalten, die gerade ausreicht,
die Nutzeneinbuße, die durch den Verlust der Menge an Gut 1 entstanden ist, auszugleichen. Der Konsument soll
also nach der Substitution von x 1 durch x 2 genauso gut gestellt sein wie zuvor. Das Verhältnis ∆x 2 /∆x 1 ist
demnach die Rate, zu der der Konsument bereit ist, Gut 2 für Gut 1 zu substituieren (=subjektive
Alternativkosten). Betrachtet man marginale Änderungen der Gütermenge x 1 , gelangt man zur Grenzrate der
Substitution.
Formal bedeutet das, daß sich Veränderungen im Nutzenniveau, die durch Substitutionsvorgänge zwischen
Güterbündeln ausgelöst werden, zu Null addieren müssen. Die Veränderungen des Nutzens eines einzelnen
Gutes bei Mengenänderungen lassen sich über seinen Grenznutzen beschreiben, also mit Hilfe einer partiellen
Ableitung der Nutzenfunktion. Die Veränderung des Gesamtnutzens muß sich demnach über das totale
Differential beschreiben lassen. Der Haushalt möchte sein Nutzenniveau konstant halten. Deshalb muß das totale
Differential Null ergeben:
∂U
∂U
dU = dx1
+ dx2
= 0
∂x1
∂x2
Wir fassen zusammen:
Formal erhält man die Grenzrate der Substitution aus dem totalen Differential der Nutzenfunktion:
∂U
∂U
!
dU = dx1
+ dx2
= 0
∂ x1
∂ x2
Daraus folgt:
∂U
dx1
∂ x2
dx 1
= , wobei < 0, da ein mehr an x2 immer ein weniger an x
dx ∂U
1 bedeutet.
2
dx2
∂ x1
Das Verhältnis der Grenznutzen ist umgekehrt proportional zur Grenzrate der Substitution. Dabei handelt es sich
um eine Identitätsgleichung: Die Grenznutzenverhältnisse von Gütern sind gerade über die
Ersetzungsverhältnisse des Haushalts definiert.
Zu beachten ist hier der Unterschied zwischen der kardinalen und der ordinalen Nutzentheorie:
Während in der kardinalen Nutzentheorie von der Meßbarkeit und interpersonellen Vergleichbarkeit des
Grenznutzens ausgegangen wurde, ist in der ordinalen Nutzentheorie der Grenznutzen eine aus der MRS
abgeleitete Größe. Er ist damit nur beim Vergleich mehrerer Güter interpretierbar.
Wir haben konvexe Indifferenzkurven unterstellt. Bei konvexen Indifferenzkurven nimmt die Grenzrate der
Substitution ab. Dies erscheint plausibel: Je mehr ein Konsument schon von Gut 1 abgegeben hat, desto weniger
wird er zu weiteren Abgaben bereit sein, oder anders: Desto mehr wird er von Gut 2 bei weiteren Abgaben
verlangen, um sein Nutzenniveau waren zu können. Das Verhältnis, zu dem jemand x 1 für x 2 auszutauschen
bereit ist, nimmt mit steigendem x 1 ab.